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22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 分层作业
基础训练
1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为 ，
若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是： ，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第9.5秒，
∵炮弹所处的高度与时间的函数图象的开口向下，
∴距离对称轴越近的点函数值越大，即炮弹的高度越高，
∴第9秒时炮弹所在高度最高，故B正确．
故选：B．
2．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为
，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标
为 ，则实心球飞行的水平距离 的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【解答】解：把A 代入 得：
，
∴ ，∴ ，
令 得 ，
解得 （舍去）或 ，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C.
3．竖直上抛物体离地面的高度 与运动时间 之间的关系可以近似地用公式 表示，
其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 的
高处以 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：依题意得： = ， = ，
把 = ， = 代入 得
当 时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
4．一位运动员在距篮筐正下方水平距离 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为
时，达到最大高度 ，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地
面的距离为 ，该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方 处出手，球出手时，他跳离
地面的高度是( )
A． B． C． D．【详解】∵当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ，∴抛物线的顶点坐标为 ，∴设抛
物线的解析式为 ．由题意知图像过点 ，∴ ，解得 ，抛物线
的解析式为 ．设球出手时，他跳离地面的高度为 ．
∵抛物线的解析式为 ，球出手时，球的高度为 ．
∴ ，∴ ．
故选：A．
5．2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协
作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物
线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为
5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球
网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点 ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函
数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，，解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为 ，
故选：A．
6．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够
长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三
种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【详解】解：方案1，设 米，则 米，
则菜园的面积
当 时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠ 时，菜园最大面积 平方米；方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积 平方米>8平方米，
故选：C
7．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进
行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食
用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常
数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(
)
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入 得:
②－①和③－②得
⑤－④得 ,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴= ．
故选C．
8．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线 的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【详解】解：当y=14时， ，
解得 ， ，
∴A（ ，14），C（ ，14），
∴AC= ．
故选：C．
9．如图，四边形 中， ，若 ，则四边形 的面积最大值为（ ）
A．6 B．18 C．36 D．144
【详解】如图，设AC、BD交于点M设
四边形 的面积
即四边形 的面积
当 时，四边形 的面积最大，最大为18．
故选：B．
10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，小球
的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为
s时，小球达到最高点．
【详解】根据题意，有 ，
当 时， 有最大值．
故答案为：2．
11．如图，用一段长为 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为
．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为 米，
∴围栏的面积 ，
∴当 时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
12．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为 的
正方形，则阴影部分面积的最小值为 ．详解】设阴影部分的面积为 ，其中 ，
则 ，
当 时， 有最小值为7，
故答案为：7.
13．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行
进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高
度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
∵ 经过点(0， )，
∴
解得∶∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当y=0时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ >6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
能力提升
1．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt 4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，
初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图1）；小球落地后，竖直向上
1 1 1
弹起，初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图2）．若h＝2h，则
2 2 2 1 2
t：t＝ ．
1 2
【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝vt 4.9t2，令h=0， 或 （舍去），
1，
图2中的函数解析式为：h＝vt 4.9t2， 或 （舍去）， ，
2
∵h＝2h，
1 2
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t：t ： = ，
1 2=
故答案是： ．
2．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的
高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式 ．已知球网与O点的水平距离为9m，高
度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为
．
【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝ ，
∴抛物线的表达式为y＝ （x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞ ；
当x＝18时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （18﹣6）2+h≤0，解得：h≥ ，
故h的取值范围是h≥ ．
故答案为：
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2
﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x ，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD 2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO 3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
4．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，
且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的
水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2
所示的平面直角坐标系．(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣ ．
∴y＝﹣ （x﹣20）2＋10．即y＝﹣ x2＋x（0≤x≤40）．
（2）解：把x＝30代入y＝﹣ x2＋x，得y＝﹣ ×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
（3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝ ．
故直线OA的解析式为y＝ x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣ t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t， t）．
∴PQ＝﹣ t2＋t﹣ t＝﹣ t2＋ t＝﹣ （t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
拔高拓展
1．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方
1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关
系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据： 取1.4）
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6 ＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
2．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三
边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门
不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃 的一边 长为x米．
(1) 长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃 的面积为 ，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃 的面积最大，最大面积为多少？
【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃 的一边 长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得， ，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃 的面积为w，
，
∵4<36-3x 14，
∴ ，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当 时，w取得最大值，w最大为 ；
