文档内容
24.1.2 圆-垂径定理
【考点1 利用垂径定理求值】
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【考点5 垂径定理的实际应用】
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【考点1 利用垂径定理求值】
【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面
米，净高 米，则 的长为 ．【答案】5
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
根据垂径定理可得 ，用半径表示出 ，再根据勾股定理即可得到
答案．
【详解】解：设半径为r，
∵ 且 经过点 ，
，
，
，
在 中根据勾股定理可得， ，
解得： ．
∴ ，
故答案为：5．
【变式1-1】如图， 为 的直径，弦 于点E，已知 ，则
的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧．
连接 ，设 的半径为 ，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：连接 ，设 的半径为 ，则 ，
∵ 为 的直径，
，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得， ，
则 的半径为5，
故答案为：5．
【变式1-2】如图， 的半径 为 ，弦 的长是 ， ，垂足为 ，则
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据垂径定理得出 ，再用勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：∵弦 的长是 ， ，
∴ ，
又∵半径 为 ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为 ．
【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：
在圆上找两点A，B，连接并确定 的中点C，弧 的中点D．若测得 为20分米，
为5分米，则半径为 分米．
【答案】12.5
【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾
股定理的应用，根据题意， 垂直平分 ，则圆心 在 上，连接 ，设半径
分米，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点 为弦 的中点，点D为弧 的中点，
∴ 垂直平分 ，则圆心 在 上，则 分米，
连接 ，
设半径 分米， 分米，
在 中， ，即： ，
解得： ，
即：半径为12.5分米，
故答案为：12.5．
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【典例2】⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与 的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作 于E， 于F，由垂径定理得
，由于 ，易得E、O、F三点共线，在 和
中，利用勾股定理分别计算出 与 ，然后讨论：当圆心O在弦 与 之
间时， 与 的距离 ；当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离
．
【详解】解：如图，作 于E， 于F，连 ，
则 ，
∵ ，
∴E、O、F三点共线，
在 中， ，
在 中， ，
当圆心O在弦 与 之间时， 与 的距离 ；
当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离 ．
所以 与 的距离是14或2．
故选：C．
【变式2-1】已知在 中两条平行弦 ， ， ， 的半径是10，
则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当 和 位于圆心同侧时和②当和 位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当 和 位于圆心同侧时，如图，连接 ，过点O作
于点E，交 于点F．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即此时AB与CD间的距离是2；
②当 和 位于圆心异侧时，如图，连接 ，过点O作 于点P，延长
交 于点Q．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
【变式2-2】已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ，
， ，则 与 之间的距离为 cm．
【答案】2或14
【分析】作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图，利用平行线的性质
，根据垂径定理得到 ， ，则利用勾股定理可计算
出 ， ，讨论：当点O在 与 之间时， ；当点O不
在 与 之间时， ．
【详解】解：作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中， ，
在 中， ，
当点O在 与 之间时，如图1， ，
当点O不在 与 之间时，如图2， ，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意分类讨论．
【变式2-3】在半径为10的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之间的距离是 ．
【答案】2或14
【分析】由于弦 与 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦 与
在圆心同侧；②弦 与 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定
理求解即可．
【详解】解：①当弦 与 在圆心同侧时，如图①，
过点O作 ，垂足为F，交 于点E，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理得： ， ，
∴ ；
②当弦 与 在圆心异侧时，如图，
过点O作 于点E，反向延长 交 于点F，连接 ，
同理 ， ，
，
所以 与 之间的距离是2或14．故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【典例3】如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理
求解是解题的关键．
（1）过O作 于点E，由垂径定理可得 ， ，再用等式的性质即
可得证；
（2）连接 、 ，利用垂径定理求出 ，在 中，由勾股定理求出 ，然后
在 中，利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图，
由垂径定理可得 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，即小圆的半径r为
【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC= =6；
并且OC⊥AB，在 中，
由勾股定理得 ，
所以 ；AO=8cm，
所以 ，所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉
勾股定理的内容.
【变式3-2】如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作 于点E，由垂径定理可知E为 和 的中点，则可证得
结论；
（2）连接 ，由条件可求得 的长，则可求得 和 的长，在 中，利
用勾股定理可求得 的长，在 中可求得 的长；
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴∴
（2）解：连接 ，如图2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
在 中，由勾股定理可得
∴ ，即小圆的半径r为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形
结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
【答案】证明见解析.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为
AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．
【详解】过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点睛】本题考查垂径定理的实际应用．
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【典例4】如图， 的两条弦 、 互相垂直，垂足为E，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点M，作 于点N，证明四边形 为矩形，可得
， ， ，可得 ，证明四边形 是正方形，可得
．证明 ，从而可得结论；
（2）连接 ，求解 ，可得 ，可得 ，再由勾
股定理可得答案.
【详解】（1）证明：作 于点M，作 于点N，
又∵ ，∴四边形 为矩形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
（2）连接 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，
弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键.
【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 、 、．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)点 在圆 外
【分析】（1）根据垂径定理，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分
线 ，直线 与直线 的交点即为点 ；
（2）由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，在 中，运用勾股
定理即可求得圆 半径的长度；
（3）根据 ， ，求得 ，由圆 半径的长度为 ，可得点
在圆 外．
【详解】（1）解：如图1，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线
，直线 与直线 的交点即为点 ，
则 ．（2）解：如图2，由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故圆 半径的长度为 ．
（3）解：∵圆心 ， ，
∴ ，
∵圆 半径的长度 ，
又∵ ，
∴点 在圆 外．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概
念与性质是解题的关键．
【变式4-2】如图， 的两条弦 、 互相垂直，垂足为E，且 ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点M，作 于点N，证明四边形 为矩形，可得
， ， ，可得 ，证明四边形 是正方形，可得
．证明 ，从而可得结论；
（2）连接 ，求解 ，可得 ，可得 ，再由勾
股定理可得答案.
【详解】（1）证明：作 于点M，作 于点N，
又∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
（2）连接 ，
由（1）可知 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，
弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键.
【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 、 、
．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)点 在圆 外
【分析】（1）根据垂径定理，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，直线 与直线 的交点即为点 ；
（2）由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，在 中，运用勾股
定理即可求得圆 半径的长度；
（3）根据 ， ，求得 ，由圆 半径的长度为 ，可得点
在圆 外．
【详解】（1）解：如图1，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线
，直线 与直线 的交点即为点 ，
则 ．
（2）解：如图2，由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故圆 半径的长度为 ．
（3）解：∵圆心 ， ，
∴ ，∵圆 半径的长度 ，
又∵ ，
∴点 在圆 外．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概
念与性质是解题的关键．
【考点5 垂径定理的实际应用】
【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而
盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当
圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一
点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多
少米？
【答案】(1)该圆的半径为5米
(2)水面上涨的高度为1米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过O作 于点C，交 于点D，根据垂径定理有 米，设圆的半
径为r米，则 米， （米）， 在 中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）设水面升到如图 ，过点O作 于点 ，交 于点 ，根据垂径定理
有 米，在 中，根据勾股定理求得 米，则
米，从而可求出水面上涨的高度．
【详解】（1）解：过O作 于点C，交 于点D，则 ，
∴ （米）
设圆的半径为r米，则 米， （米），
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴该圆的半径为5米；
（2）设水面升到如图 ，过点O作 于点 ，交 于点 ，
∴ （米），
∵ 的半径为5米，
∴ 米
∴在 中， （米），
∴ （米），∴水面上涨的高度为 （米）．
【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的
美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ，
，求拱门的圆弧半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性
质及勾股定理是解题的关键，
（1）在拱门上找任意一点，分别与 相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆
心的位置；
（2）先证四边形 是矩形，设 ，再根据勾股定理求得 的值，即可得到拱门
的圆弧半径．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求，（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
过点 作 于 ， 交优弧 于点 ， 交 于 ， 则
， ， ，
设 ， 则 ，
，
在 中， ，
∴ ，
，
解得 ，
∴拱门的圆弧半径为 ．
【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面 宽度 时，拱顶高出水平面 ，货船宽 ，船舱顶部为矩形并高出水面
．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【答案】此货船不能顺利通过这座拱桥，理由见解析
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和矩形的性质，能求出圆的半径长度是解此题的
关键．
设船舱顶部为矩形 ， 交 于 ，连接 ， ，设 的半径为 ，则
， ，根据垂径定理得出 ， ， ，根
据矩形的性质得出 ，在 中，根据勾股定理得出 ，求出 ，
再在 中，根据勾股定理求出 ，求出 ，再比较大小即可．
【详解】解：此货船不能顺利通过这座拱桥，
理由是：设船舱顶部为矩形 ， 交 于 ，连接 ， ，设 的半径为
，则 ， ，
四边形 是矩形，
∴ ，
，
，
过圆心 ， ，
， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ， ，在 中， ，
，
此货船不能顺利通过这座拱桥．
【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽
为 ，隧道的顶端E（圆弧 的中点）高出道路（ ） ．
(1)求圆弧 所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高 ，宽 ，通过计算问这辆货运
卡车能否通过该隧道，写出理由．
【答案】(1)
(2)这辆货运卡车不能通过该隧道，理由见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的性质，熟练
掌握垂径定理是解题关键．
（1）设圆心为点O，半径为 ，根据垂径定理得到 ，再求出
，在 中，由勾股定理建立方程 ，解方程即可得到答
案；
（2）如图，在 上取点 ，且使 ，过 作 交 于 点，连接 ，
利用勾股定理 的长，然后与车宽进行大小比较即可．
【详解】（1）解：如图，设圆弧 所在圆的圆心为点O，半径为 ，连接 交 于
点F，连接 ，由垂径定理得： 垂直平分 ，
四边形 是矩形， ，点E到 的距离为
， ，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴
解得
∴ 所在圆的半径为 ；
（2）解：这辆货运卡车不能通过该隧道，理由如下：
如图，在 上取点 ，且使 ，过 作 交 于 点，连接 ，
依题意，圆弧所在圆的半径为 ， 到 的距离为 ，则点 到 的距离为 ，
∴ 点到 的距离为 ，
在 中， ，
∵
∴这辆货运卡车不能通过该隧道．【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【典例6】如图，在 中，弦 是直径，点 ， 是 上的两点，连接 ， ，
且满足 ．
(1)若 的度数为 ，求 的度数．
(2)求证： ．
(3)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟
练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接 ，根据弧 的度数求出 ，再利用等边对等角结合三角形内角和定理
即可得出 的度数；
（2）利用平行线的性质可得 ， ，结合 从而得出
，即可得证；
（3）连接 ，交 于点 ，先根据勾股定理得出 ，再利用勾股定理求出 ，最后
再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：连接 ，，
的度数为 ，
，
，
；
（2）证明： ，
， ，
又∵ ，
，
；
（3）解：连接 ，交 于点 ，
，
弦 是直径，
，
， ，
，
，
，
，
，
，．
【变式6-1】如图，点A，B，C在 上，顺次连结 ， ， ，且 ，
，
(1)求 的度数；
(2)若 的半径为3．求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关
结论即可．
（1）根据 即可求解；
（2）求出 的度数可得 ，过点 作 交 于点 连接 ，分别
求出 即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
．
（2）解： ，
，，
如图，过点 作 交 于点 连接 ，
则 过 ，
由（1）可得 ．
∴ ，
∵ 的半径为3，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式6-2】如图，已知圆O的弦 与直径 交于点 ，且 平分 ．
(1)已知 ， ，求圆O的半径；
(2)如果 ，求弦 所对的圆心角的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，先根据垂径定理得到 ， ，在 中利用勾股定理得到 ，然后
解方程即可；
（2）连接 ，如图，先利用 得到 ，即 ，再利用正弦的定
义得到 ，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算 即可．
【详解】（1）解：连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，
平分 ，
， ，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径为 ；
（2）连接 ，如图，
，
，
即 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
即弦 所对的圆心角的度数为 ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和
勾股定理．
【变式6-3】如图，在 中， ，以点C为圆心， 长为半径的 与
相交于点 ．
(1)若弧 的度数为 ，则 ______°；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)35
(2)
【分析】（1）先求得 ，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得
，据此即可求解；
（2）作 于 ，由垂径定理和勾股定理求得 ， ，利用等积法求
得 的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵弧 的度数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：35；
（2）解：作 于 ，如图，
由垂径定理得 ，
由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【典例7】如图，半圆 中，点 是 的中点，点 在直径 上，且 ，半径
交 于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和
熟练掌握这些定理是解题的关键．
（1）连接 ，交 于点 ，根据圆周角定理得 ，根据垂径定理得
，所以 ，所以 ，再根据 ，所以
，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出 ， ，所以 ，所以
．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，交 于点 ，
是半圆 的直径，
，
，
是 的中点， 是半径，
，
∴ ，
，
，
，
，
；
（2）解： ， ，， ，
， ，
在 中， ，
是半径且 ，
，
在 中， ，
，
在 中， ．
【变式7-1】如图，在 中， 是直径， 且交圆于 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系．
连接 ，根据平行线的性质得出 ， ，再根据等边对等角得出
，然后根据等量代换得出 ，最后根据弧与圆心角关系即可得证．
【详解】证明：连接 ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．【变式7-2】如图，在 中， ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关
键．
根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式7-3】 是 的弦，半径 、 分别交 于点E、F，且 ，连接 、
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)证明过程见详解．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质(等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合)是解此题
的关键．
(1)过O作 于M，根据等腰三角形的性质求出 ， ，再求出答案
即可；
(2)根据等腰三角形的性质求出 ，求出 ，
再求出答案即可．
【详解】（1）证明：过O作 于M，
（2）证明： ，
，
，
一、单选题
1．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧
相交于点M；②作直线OM交AB于点N，交⊙O于点C．若OB=10，AB=16，则CN=
（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了作图-基本作图，垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是根据作图过
程可得AN=BN．
根据作图过程和圆的性质可得OM是AB的垂直平分线，先根据勾股定理可得ON的长，进
而可得CN的值．
【详解】解：如图，连接OA，
∴OA=OB
，
根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，
1
∴AN=BN= AB=8，
2
在Rt△OBN中，OB=10,BN=8，
根据勾股定理，得ON=❑√OB2−BN2=6，
∴CN=OC−ON=4，
故选：A．
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为
（ ）A．4 B．4❑√2 C．5 D．5❑√2
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE，再根据勾股定理求解
即可．
【详解】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，
1
∴OE⊥AB，AE= AB=4，
2
在Rt△AOE中，OA=❑√OE2+AE2=❑√42+42=4❑√2，
故选：B．
3．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m,F是线段CD的中点，EF经
过圆心O交⊙O与点E，EF=3m，则⊙O直径的长是（ ）
2 5 4 10
A． m B． m C． m D． m
3 3 3 3
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．根
据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可．
【详解】如图，连接OC∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF=FD．
∵CD=2，
∴CF=1，
设OC=x，则OF=3−x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+(3−x) 2=x2．
5
解得x= ，
3
10
∴⊙O的直径为 ．
3
故选：D．
4．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，
则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．3❑√2cm B．3❑√3cm C．6❑√3cm D．8cm
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是
解题的关键．
1
由垂径定理得AC=BC= AB，再由勾股定理得AC，进而完成解答．
2
【详解】解：由题意得：OC⊥AB，1
∴AC=BC= AB，∠OCA=90°，
2
∵OA=OD=5cm，CD=2cm，
∴OC=OD−CD=5−2=3cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=❑√52−32=4 cm，
∴AB=2AC=8cm．
∴截面圆中弦AB的长为8cm．
故选：D．
5．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系xOy中，一条圆弧经过
A(0,3),B(2,3)C(3,2)三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0)
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合
是解答此题的关键．根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据
图形得出即可．
【详解】解：如图，线段AB的垂直平分线即x=1，
线段BC的垂直平分线的交点即为弧的圆心．
即圆心的坐标是(1,1)，故选：B．
6．已知⊙O的半径是5cm，弦AB平行于弦CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之
间的距离是（ ）
A．7cm B．7cm或1cm C．5cm或2cm D．7cm或2cm
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，以及垂径定理的应用，有两种情况，需分类讨论，即AB
和CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，分别解答即可，考虑两种情况是解题的关键．
【详解】解：如图①，过点O，作OF⊥AB，分别交CD,AB于点F,E，连接OA,OC，
∵AB∥CD，OF⊥AB，
∴OE⊥CD，
1 1
根据垂径定理可得AF=FB= AB=3cm，CE=ED= CD=4cm，
2 2
根据勾股定理可得OF=❑√OA2−AF2=4cm，OE=❑√OC2−CE2=3cm，
∴EF=OF−OE=1cm；
如图②，过点O，作OF⊥AB，分别交CD,AB于点F,E，连接OA,OC，
∵AB∥CD，OF⊥AB，
∴OE⊥CD，
1 1
根据垂径定理可得AF=FB= AB=3cm，CE=ED= CD=4cm，
2 2
根据勾股定理可得OF=❑√OA2−AF2=4cm，OE=❑√OC2−CE2=3cm，∴EF=OF+OE=7cm，
∴AB与CD之间的距离是7cm或1cm，
故选：B．
7．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安
然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径为
（ ）
A．25米 B．30米 C．35米 D．50米
【答案】A
1
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解AD=BD= AB=20，
2
再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=40，
1
∴AD=BD= AB=20米．
2
设圆的半径是R，则OD=R−10，
∴R2=202+(R−10) 2，
解得R=25米．
故选A
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，
不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦
AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=14寸，则直径CD的长度是（ ）A．24寸 B．48寸 C．50寸 D．56寸
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解答本题的关
键．连结OA，设OA=r寸，根据垂径定理求出AE的长，根据勾股定理列方程并求解，得
到半径的长，即得答案．
【详解】解：连结OA，
设OA=r寸，则OE=(r−1)寸，
∵AB⊥CD，
1
∴AE= AB=7寸，
2
∵AE2+OE2=OA2，
∴72+(r−1) 2=r2，
解得r=25，
∴CD=2r=50寸．
故选C．
二、填空题
9．如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC=3，则
DE的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到CE=2CD，再利用勾
股定理求出CD=4即可得到答案．【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=10，
1
∴OD= AB=5，
2
∵DE⊥AB，
∴CE=2CD，
在Rt△DOC中，由勾股定理得CD=❑√OD2−OC2=4，
∴CE=2CD=8，
故答案为：8．
10．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽AB为
8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为 ．
【答案】10cm/10厘米
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角
形是解答此题的关键．连接OB，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的
长，即可得到答案．
【详解】解：连接OB，如图所示：
1
由题意知，AB=8cm,CD=2cm，则BC= AB=4cm，
2
设⊙O的半径为Rcm，则OB=OD=R,OC=(R−2)cm，
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2，∴R2=(R−2) 2+42，
解得R=5cm，
∴此管件的直径为10cm，
故答案为：10cm．
11．如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设A´B所在圆的圆心为O，
半径为rcm．过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，交A´B于点C．经测量，AB=120
cm，CD=30 cm，则此车轮半径为 cm．
【答案】75
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟悉相关的知识点是解题的关键；由垂径定理
得AD=60cm，利用勾股定理即可求得半径．
【详解】
解∵OC⊥AB于点D，AB=120cm，
1
∴ AD= AB=60cm，
2
由题意，得OD=(r－30)cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得r2=602+(r－30) 2，
解得r=75，
即车轮半径为75 cm，
故答案为：75．
12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如
图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯
长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸．【答案】26
【分析】
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且
OC⊥AB，AD=BD=5，设圆形木材半径为r，可知OD=(r−1)寸，OA=r寸，根据
OA2=OD2+AD2列方程求解可得．
【详解】
解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
1
则AD=BD= AB=5，
2
设圆形木材半径为r寸，
则OD=(r−1)寸，OA=r寸，
∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−1) 2+52，
解得：r=13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
13．一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
【答案】2.25米
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段OD的长．
根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂
径定理求出点D为BE的中点，利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度．
【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽BE为1.5米，高AE为2米，
∴AB=❑√1.52+22=2.5（米），
1
∴圆的半径= AB=1.25（米），
2
∵OD⊥BE，
∴点D为BE的中点，
∵点O为线段AB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，
1
∴OD= BC=1（米），
2
则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25（米）；
故答案为：2.25米．
14．如图，在⊙O中，直径AB=10cm，位于点O两侧且垂直于直径AB的两条弦长分别为CD=8cm，EF=6cm，若点G为直径AB上任意一点，则CG+EG的最小值为 cm．
【答案】7❑√2
【分析】根据垂径定理可得，EG=FG，根据两点之间线段最短，CF的长度即为所求，
在Rt△CHF中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知
弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到EG的等长线段EF．
【详解】解：连接CF，交AB于点G，过点F作CD的垂线，垂足为点H，
∵EF⊥AB AB
， 是直径，
∴AB垂直平分弦EF，
∴EG=FG，
CG+EG的最小值=CF，
√ (AB) 2 (CD) 2 √ (10) 2 (8) 2
CD弦心距=❑ − =❑ − =3(cm)，
2 2 2 2
√ (AB) 2 (EF) 2 √ (10) 2 (6) 2
EF弦心距=❑ − =❑ − =4(cm)，
2 2 2 2
∴ FH=7(cm)，CH=7(cm)，
∴CF=❑√FH2+CH2=❑√72+72=7❑√2(cm)，
故答案为：7❑√2．
三、解答题
15．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE=8,DE=2，求AB的长．【答案】AB=8
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
也考查了勾股定理．连接OA，如图，先计算出OA=OD=5,OE=OD−DE=3，再利用
垂径定理得到AE=BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【详解】解：连接OA，如图，
∵CE=8,DE=2，
∴CD=10，
∴OA=OD=5,OE=OD−DE=3，
∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，
∴AE=BE，
在Rt△OAE中，AE=❑√OA2−OE2=❑√52−32=4，
∴AB=2AE=8．
16．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉
好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若
一”的含义可以表示为：中孔直径d=2ℎ，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需
推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设
弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB=12，半径OC⊥AB于点D，测得
CD=3，连接OB，求该玉环中孔半径的长．15
【答案】该玉环中孔半径的长
2
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出AD=BD=6，设
OB=OC=r，则OD=OC−CD=r−3，由勾股定理得出r2=(r−3) 2+62，求解即可得出
答案．
【详解】解：∵半径OC⊥AB于点D，AB=12，
1 1
∴AD=BD= AB= ×12=6，
2 2
设OB=OC=r，则OD=OC−CD=r−3，
∵OB2=OD2+BD2，
∴r2=(r−3) 2+62，
15
解得：r= ，
2
15
∴该玉环中孔半径的长 ．
2
17．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，若
AB=52cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，AB∥MN∥GH．
(1)请在图1中画出线段CP，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出CP的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多
少．
【答案】(1)图见解析，16cm
(2)28cm
【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题
的关键．
（1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案；
（2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案．
【详解】（1）解：CP=16cm，
如图，连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN，MN=48cm，
1
∴MC= MN=24cm，
2
∵AB=52cm，
1
∴OM= AB=26cm，
2
在Rt△OMC中， OC=❑√OM2−MC2=❑√262−242=10cm，
∴CP=OP−OC=26−10=16cm，
∴CP的长为16cm；
（2）过O作OD⊥EF，连接OE，由题得，OD=10+14=24cm，
在Rt△OED中，ED=❑√OE2−OD2=❑√262−242=10cm，
EF=2ED=20cm，
∴MN−EF=48−20=28cm，
∴水面截线减少了28cm．
