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24.1.4 圆周角（第二课时） 分层作业
基础训练
1．如图，四边形 是 的内接四边形．若 ，则 的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
2．如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．3．如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故选：B.
4．如图所示，等边 的顶点 在⊙ 上，边 、 与⊙ 分别交于点 、 ，点 是劣弧 上
一点，且与 、 不重合，连接 、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
故选C．
5．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）A．40° B．60° C．56° D．68°
【详解】解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
6．如图， 中，点C为弦 中点，连接 ， ， ，点D是 上任意一点，则
度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接OA，在 上取点E，连接AE，BE，∵点C为弦 中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴ ，
∴∠AOC= ，即：∠AOB=112°，
∴∠E= ∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是 的内接四边形，
∴ =180°-56°=124°，
故选B．
7．如图， 是 的直径.D是弧 的中点， 与 延长线交于P点，若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵D是弧 的中点，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
故选B．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，
若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110° B．115° C．120° D．125°
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上， 经过A，B，O，C四
点， ， ，则圆心点D的坐标是（ ）A． B． C． D．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABO=180°-120°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO=60°，
∴OB= AB=2， ∴OA= ，
∴
∴D点坐标为 ．
故选B．
10．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝ 度．
【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
11．如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 ， ， 的度数之比为 ，则
．
【详解】解：如图，延长 到H，
四边形 内接于 ，
，
，
， ， 的度数之比为 ，
， ， ， 的度数之比为 ，
，
，
．
故答案为： ．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于G．(1)求证：∠FGC＝∠ACD；
(2)若AE=CD=8，试求⊙O的半径．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵四边形AGCD内接于⊙O，
∴∠AGC+∠D=180°，
∵∠AGC+∠FGC=180°，
∴∠D=∠FGC，
∴∠ACD=∠FGC；
（2）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，AE=CD=8，
∴CE=ED=4，
设OA=OC=r，则OE=8-r，
在Rt△COE中， ，即 ，
解得r=5，
即⊙O的半径为5.
能力提升
1．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE
＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【详解】解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，， ，
直径 ，
，
，
．
故选：A．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，
EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC+∠ADC=180゜
∵∠ABH+∠ABC=180゜
∴∠ABH=∠ADF
在△ABH和△ADF中∴△ABH≌△ADF
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF
∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜
∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜
∵∠EAF=30゜
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜
∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜
在△AHE和△AFE中
∴△AHE≌△AFE
∴HE=EF=3
∴BE=HE-BH=3-1=2
故选：B
3． 如图，四边形 内接于 ， ，交 的延长线于点E．若 平分 ， ，
，则 的长度为 ．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 平分 ，∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
4． 如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=
cm．
【详解】
如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∴∠CAD+∠DAE＝90°
又∵∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：
5．如图①，在 中， ， 是 外接圆 上一点，连接 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，交 于点 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②，若 为 直径， ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）连接 ， ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴
拔高拓展
1．如图，圆内接四边形 ， ，对角线 平分 ，过点 作 交 的延长
线于点 ，若 ， ，则 的面积为 ．
【详解】∵四边形 内接于圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
过点A作 ，垂足为点M，过点B作 ，垂足为点N．
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
中， ，
∵ 是等边三角形，
∴四边形 的面积
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ 的面积=四边形 的面积 ．
故答案为：
2．【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个
顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)【问题探究】如图1，在矩形 中，点E为 上一点，将 沿 翻折，点C的对应点F恰好
落在边 上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该
圆上；
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形， ， ， ，求四边形
的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形 是某公园的一块空地，现计划在空地中修建 与 两条小路，
（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中 与 空地中种植草
坪 ， 与 空 地 中 分 别 种 植 郁 金 香 和 牡 丹 花 ． 已 知
，且点C到 的距离是 ，求种植牡丹花的
地块 的面积比种植郁金香的地块 的面积多多少 ？
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴四点B、C、E、F共圆，
∴点B在点C、E、F确定的圆上，
故答案为：在；
（2）解：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
由勾股定理 ， ，
；
（3）解：如图，过点C作 于E，过点B作 ，交 的延长线于点F，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
，
∴ ．
