文档内容
24.4 弧长和扇形面积(第 1 课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念；
3．圆心角为n°的扇形面积是S = ；
扇形
4．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它
们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L= 和扇形面积
S = 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
扇
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长L= ，扇形面积S = 及其它们的应用．
扇
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2 R
（2）圆的面积S = R2
图
（3）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
1 ..5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n°的圆心角所对的弧长为
例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的
管道的展直长度，即 的长（结果精确到0.1mm）
A B
110
40mm
O
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分析：要求 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴ 的长= = ≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，
绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为
半径的圆的面积．
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两
个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
5
n
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像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S= R2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S =_______．
扇形
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S =_______．
扇形
2 ..4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S =_______．
扇形
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S =_______．
扇形
老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S = R2 3．S = R2 4．S = 5．S =
扇形 扇形 扇形 扇形
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S =
扇形
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求 的长（结果精确到0．1）和扇
形AOB的面积结果精确到0．1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
解： 的长= ×10= ≈10.5
S = ×102= ≈52.3
扇形
因此， 的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．
三、巩固练习
课本P122练习．
四、应用拓展
例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够
长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边
被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a
的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为
________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，
正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
3 ..A
E
B
O
C D
(a) (b)
（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边
形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被
纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若
为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．
解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结
OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）120°；70°
（3） ；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是 ．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．圆心角为n°的扇形面积是S =
扇形
4．运用以上内容，解决具体问题．
六、布置作业
1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D
旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）
4 ..A．1 B． C． D．
(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经
过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12 m B．18 m C．20 m D．24 m
二、填空题
1．如果一条弧长等于 R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，
当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则 的长是 的长的_____倍．
三、综合提高题
1．已知如图所示， 所在圆的半径为R， 的长为 R，⊙O′和OA、OB分别相切于
点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
2．如图，若⊙O的周长为20 cm，⊙A、⊙B的周长都是4 cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，
⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你
能说出其中的道理吗？
B
A
O
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3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD= ，将画刷以B
为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的
面积．
5 ..答案:
一、1．B 2．D 3．D
二、1．45° R 2．3
三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上
由 = R，解得：∠AOB=60°，
由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r= R，所以⊙O′的周长为2 r= R．
2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20 cm，4 cm，4 cm，
可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，
所以OA=8cm，OB=12cm，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A滚动回原位置经过距离为2 ×8=16 =4 ×4，
而⊙B滚动回原位置经过距离为2 ×12=24 =4 ×6．
因此，与原题意相符．
3．设屏幕被着色面积为S，
则S=S +S +S =S +S ，
△ABD 扇形BDD` △BC`D` 矩形ABCD 扇形BDD`
连结BD′，
在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD= ，
∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，
∴S= ·22+1· = + ．
6 ..
