文档内容
27.2.3 相似三角形应用举例 分层作业
基础训练
1．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为
时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，可得 ，可得 ，进而得出 即可．
【详解】解：如图， ，则 ，
∴ ，
，即 ，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
2．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为 ，到
屏幕的距离为 ，且幻灯片上图形的高度为 ，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【详解】如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
设屏幕上的图形高是 ，则 ，
解得： ．经检验， 是原方程的解，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列
出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
3．两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，
一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用
如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（ ） ，光屏在距小孔 处，
小宇测得蜡烛的火焰高度为 ，则光屏上火焰所成像的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出图像，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高
度．
【详解】解：如图，设蜡烛的高度为线段 ，蜡烛的像为 ， 于C， 于 ，则
， ．由题知 ，
，
，
，
，
解得 ，
即光屏上火焰所成像的高度为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题．熟练掌握这一性质是
解题的关键．
4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在处立一根垂直于井口的木
杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与井口的直径 相交于点 ，如果测得 米，
米， 米，那么 为（ ）
A．7 B．7.4 C．8 D．9.2
【答案】A
【分析】根据 字模型相似三角形证明 ，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
， ，∴ ，
，
，
解得： ，
答：古井水面以上部分深度 的长为 米，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握 字模型相似三角形是解题的关键．
5．如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱 的高为 米，踏板 长为 米，支撑点A到踏脚点D
的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）．
A．1.5米 B．1.2米 C．1米 D．0.9米
【答案】D
【分析】如图，先证明 ，然后根据对应边成比例列列方程求解即可．
【详解】解：如图：
∵由题意可得 ，
∴ ，
∴
∴
∴ 米．
∴捣头点E上升了 米．
故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中并利用相似三
角形对应边成比例列出方程是解答本题的关键．
6．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径
AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度
解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴9+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
7．图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，
A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的
长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理确定 ，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可．
【详解】解：∵直线BD，CE均与直线AC垂直，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵AB的长为x，
∴AC=AB+BC=x+BC．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，
CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河
的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【答案】B【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥DC．
∴△EAB∽△EDC．
∴ ．
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，
∴ ，
解得：AB＝40（m）．
故选：B．
9．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 米的竹竿的影长为 米，同时
另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得
此影子长为 米，一级台阶高为 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
【答案】C
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以
及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台
阶的高就是树高．
【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，
∴AE=11.5米，
∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，
∴树的高度是11.8米，
故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列
出方程进行求解是关键.
10．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如
图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同
一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m．
【答案】9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形
的性质即可求解．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴ ，即 ，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在
太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．11．如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 处， 光线从点 出发，经过
平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 的顶端 处． 如果 ， 米，
米， 米， 那么该古城墙的高度是 米
【答案】10
【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度．
【详解】∵入射角=反射角
∴入射角的余角∠APB=反射角的余角∠CPD
又AB⊥BD；CD⊥BD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴CD=PD× =10
故答案为：10
【点睛】本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键．
12．如图，为估算某鱼塘的宽 的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，
C，E在同一条直线上，且 ．若测得 的长为 ，则 的长为
m．
【答案】20
【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明 ，再由相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明 是解答本题的关键．
13．如图，小明测得长 的竹竿落在地面上的影长为 ．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影
子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长 为 ，落在墙面
上的影长 为 ，则这棵树的高度是 m．
【答案】8
【分析】根据在同一时刻物高和影长的比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳
光线三者构成的两个直角三角形相似，然后求解作答即可．
【详解】解：如图，延长 、 交于 ，由物高与影长成正比得， ，即 ，解得 （ ），
∴ （ ），
同理 ，即 ，解得 （ ），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
14．如图， ， 为两路灯，身高均为 的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距 ，小明站在
处，小亮站在 处，小明在路灯 下的影长 为 ，路灯 高 ，则路灯 的高为 ．
【答案】
【分析】根据 ， ， ， 得到 ，可知
， ，再运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得， ， ， ， ， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即路灯 的高是 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定与性质的实际运用，理解实际情况并能准确判定三角形的相似，
熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．15．小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如
图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时 ，已知树高 米，楼
房 米，E处离地面25米．
(1)求树与楼房之间的距离AB的长；
(2)小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)小亮向前走 米刚好看不到楼房BD
【分析】（1）根据30°直角三角形分别求出AF、BF的值即可；
（2）构造直角三角形，利用相似三角形的性质进行解答即可．
【详解】（1）∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，∴小亮向前走 米刚好看不到楼房BD．
【点睛】本题考查30°直角三角形、相似三角形的判断和性质，画出图形并利用相似三角形的性质是解决
问题的前提．
能力提升
1．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利
用镜子，第一次把镜子放在 点（如图所示），人在 点正好在镜中看到树尖 ；第二次他把镜子放在
处，人在 处正好看到树尖 ．已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ，
为 ，求树高．
【答案】这棵古树的高为10m
【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、
△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得 ．
∴这棵古树的高为10m．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出
方程，建立适当的数学模型来解决问题．
2．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平
面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙
上的点E处，点E到地面的高度 ，点F到地面的高度 ，灯泡到木板的水平距离
，木板到墙的水平距离为 ．图中A，B，C，D在同一条直线上．
(1)求 的长；
(2)求灯泡到地面的高度 ．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）先证明 ，再利用相似三角形的性质得出 ，代入数据即可求 的长；
（2）先证明 ，再利用相似三角形的性质得出 ，代入数据即可求 的长．
【详解】（1）解：（1）由题意可得： ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
答： 的长为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
答：灯泡到地面的高度 为 ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
拔高拓展
1．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知
识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网
上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离
（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），
测量相关数据．
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝
米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，
为什么？
【答案】(1)3，2
(2)离B地 （或离D地 ），理由见解析
【分析】（1）通过证明 ， ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得， ， ，设 ，可求出 ，求出x的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得 ；
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得 ；
故答案为：3；2；
（2）小明站在离B点 米处的位置，理由如下：
由（1）得， ， ，
，设 ，
，
，
，
，解得 ，
，
所以，小明站在离B点 米处的位置．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图
①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，
只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
(1)已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
(2)如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，
两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
(3)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图
②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的
直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观
测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为
米．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；
（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．
【详解】（1）解：图①中GH即为所求；
（2）∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴ ，即 ，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴ ，即 ，
解得：FG= ，
答：榕树FG的高度为 米；
（3）∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴ ，即 ，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴ ，即 ，
解得：MF= ，∴EM=EF-MF=70- = （米），
故答案为： ．
【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关
键．
