文档内容
27.2.3 相似三角形应用举例 导学案
学习目标
1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问
题的能力.
重点难点突破
★知识点1： 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量
（4）写出答案
核心知识
一、利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出_________
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的_________________
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出_______________
（4）写出___________
引入新课
【提问1】相似三角形的判定方法有哪几种呢？
【提问2】简述相似三角形的性质？
新知探究
【情景】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
你还有其它方法吗？
【问题一】如图，木杆长2 m，木杆的影长为3 m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201 m，尝试用
多种方法求金字塔的高度．
简述利用三角形相似解决实际问题的一般步骤？
典例分析
例1 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前
后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小
明的眼高1.6m，求树的高度.例2 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
【针对训练】
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．
立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影
子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，问竹竿
长为几丈几尺？
2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的
高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB？
3.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ
的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，
PD＝12米，求该古城墙的高度.
新知探究
【问题二】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，
使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确
定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这
些数据，计算河宽 PQ．
【问题三】如图，为了估算河的宽度，还有别的方法吗？典例分析
例3 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然
后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活
动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
【针对训练】
1. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一
棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，
再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量
信息，求河宽AB．
2 . 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，
该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在
AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，DE=200米，且点E到河岸BC
的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．探究新知
【问题四】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5
m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边
较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
感受中考
1．（2022·江苏盐城·统考中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距
离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点
的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测
点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水
平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的
顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距
离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：
如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、
EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，
人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述利用三角形相似解决实际问题的一般步骤？【参考答案】
新知探究
【情景】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，
天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
你还有其它方法吗？
【方法一】下面是借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高
度的示意图：
原理：在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等，即△ABO∽△DEF．
【方法二】构建数学模型：
方法：在金字塔影子处立一根木棍，使木棍影子的顶端恰好和金字塔影子顶端重合.
原理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似，即△ACD∽△AOB．
【方法三】构建数学模型：
原理：利用光的反射定律，入射角等于反射角，可以通过∠EAF=∠BAO， ∠EFA=∠BOA 证明
△AFE∽△AOB
【问题一】如图，木杆长2 m，木杆的影长为3 m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201 m，尝试用多种方法求金字塔的高度．
【方法一】解：∵ BF∥ED
∴∠BAO=∠EDF，∠BOA=∠EFD=90°
BO AO
∴△ABO∽△≝¿∴ =
EF DF
而AO=201 m,EF=2 m,FD=3 m
AO 2
∴ BO= •EF=201× =134 m
DF 3
因此金字塔的高度为134m
【方法二】
解：∵ ∠BAO=∠DAC，∠BOA=∠DCA
DC AC
∴△ABO∽△ADC∴ = ,
BO AO
而AO=201 m,CD=2 m,AC=3 m
AO 201
∴ BO= •DC=2× =134 m
AC 3
因此金字塔的高度为134m
【方法三】
解：∵ ∠EAF=∠BAO， ∠EFA=∠BOA
EF AF
∴△ABO∽△AEF∴ = ,
BO AO
而AO=201 m,EF=2 m,AF=3 m
AO 201
∴ BO= •EF=2× =134 m
AF 3
因此金字塔的高度为134m
简述利用三角形相似解决实际问题的一般步骤？
（1）根据题意画出示意图
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量
（4）写出答案
典例分析
例1 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前
后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
EM AM
∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN ,∴ = .
CN AN
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
2−0.6 27−24
∴ = , ∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
CN AN
故树的高度为5.2m.
例2 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
DC CE 1.5 1.2
∴△DCE∽△BAE.∴ = ，则 = ,
BA AE BA 15
解得BA=18.75m.
因此树高约为18.75m.
【针对训练】
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．
立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，问竹竿
长为几丈几尺？
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，
影长五寸=0.5尺，
x 1.5
∴ = ，解得x=45（尺），
15 0.5
答：竹竿的长为四丈五尺．
2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的
高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB？
【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
BC DC
∴△DEF∽△DCB，∴ = ，
EF DE
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
BC 20
∴由勾股定理求得DE=40cm，∴ = ，
0.3 0.4
∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）
答：树高AB为16.5米
3.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ
的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
AB QD
∴△ABC∽△QDN，∴ = ．
BC DN
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
AB∗DN
QD= =1.5 米
BC
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．
答：木杆PQ的长度为2.3米．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，
PD＝12米，求该古城墙的高度.
【详解】
解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，
1.2×12
∴CD= =8（米）.
1.8
答：该古城墙的高度是8米新知探究
【问题二】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，
使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确
定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这
些数据，计算河宽 PQ．
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
PQ QR
∴△PQR∽△PST ∴ =
PS ST
PQ QR 60
即 = = ，
PQ+QS ST 90
解得 PQ=90（m）．
因此，河宽大约为 90 m
【问题三】如图，为了估算河的宽度，还有别的方法吗？
AB BD
提示：由于△ABD∽△ECD, 得 = ,
CE CD
而BD、CD、CE均可通过测量得到其长度，
故可以求得河宽长度
(方法不唯一)
典例分析
例3 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然
后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活
动的描述错误的是（D ）
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【针对训练】
1. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一
棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，
再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量
信息，求河宽AB．
【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA
＝90°，
∵∠ CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴
AD DE
= ，
AB BC
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
AB+8.5 1.5
∴ = ，∴AB＝17，即河宽为17米．
AB 1
2 . 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，
该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在
AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，DE=200米，且点E到河岸BC
的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，
BC AC 120 3 AC 3
∴ = = = ，∴ = ，
DE AE 200 5 CE 2
∵AF⊥BC，EG⊥BC．∴AF∥EG，
AC AF AF 3
∴△ACF∽△ECG，∴ = 即 =
EC EG 60 2
解得AF=90，
答：桥AF的长度为90米．探究新知
【问题四】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5
m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边
较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
解：∵ AB⊥l，CD⊥l ∴AB∥CD
EH AH
∴△AEH∽△CEK．∴ =
EK CK
x 8−1.6
设EH长为x ，即 = ，
x+5 12−1.6
解得 EH =8（m）．
因此距左边较低的树为8m时，恰好看到两树顶端，若小于8m，则看不到右边树的顶端C点
感受中考
1．（2022·江苏盐城·统考中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距
离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点
的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测
点的距离约为（ C ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水
平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的
顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距
离为10m，则旗杆高度为（ B ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：
如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、
EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，
人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18. 2
米．
【详解】解：如图，过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，
则FH=CE=10，QH=AC=20，FQ=AE=AC+CE=30，EF=CH=AQ=1.4，
∴DH=7−1.4=5.6，
DH FH
∵DC∥BA，∴△FDH∽△FBQ∴ = ，
BQ FQ10 5.6
∴ = ，解得：QB=16.8，经检验符合题意；
30 QB
∴AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；
