文档内容
8.1 平方根（第 2 课时 算术平方根）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容
包括：第2课时 算术平方根.
2.内容解析
本节课是在学生学习了平方根的基础上来学习算术平方根，之前的平方根的学习为本
节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生理解算术平方根的概念. 它不仅是对前面所
学知识的巩固,也为后面估算算术平方根，求算术平方根的整数和小数部分的学习奠定了基
础.教材通过对平方根概念的复习引入，直接给出算术平方根的定义，再由具体例子讲解便
于学生理解与掌握算术平方根的概念，并运用概念，会求一个数的算术平方根.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 理解算术平方根的概念并会求一个数的算术平
方根.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
（2）根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；
（3）了解算术平方根的性质并用其解题.
2.目标解析
（1）教材由复习平方根引入，利于学生理解算术平方根的概念，理清平方根与算术平
方根之间的区别与联系，知识生成开门见山，简单深刻.通过小组讨论，培养合作精神，让
学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
（2）学生能根据算术平方根的定义求一个非负数的平方根.
（3）了解算术平方根的双重非负性，并会用其解题，在具体的试题中，感受算术平方
根双重非负性条件的隐蔽性.
三、教学问题诊断分析
在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识,熟
练地掌握了求一个数的平方根能很自然快速掌握求一个数的算术平方根，并对 0的算术平
方根作出规定，容易理解算术平方根的双重非负性，但是对于用非负性解决问题存在问题
在实际问题中双重非负性条件的隐蔽性，学生容易忽略，通过做题归纳初中阶段所有的非负性，便于学生掌握知识.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 了解算术平方根的性质并用其解题.
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.求下列各数的平方根
【设计意图】回顾旧知引入，再次理解平方根，正的平方根和负的平方根，为引入新
知做准备.
（二）新知讲解
定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根❑√a 叫作a的算术平方根
1.判断下列说法是否正确.
(1) －7是49的平方根，7是49的算术平方根 （ √ ）
(2)6是❑√6的算术平方根 （ ×）
(3)❑√16的算术平方根是4 （ × ）
(4) 5是−25的算术平方根 （ × ）
25 5
(5) 的算术平方根的相反数是− （ √ ）
49 7
【设计意图】通过正反例讲解让学生深刻理解算术平方根的概念，也让学生初步体验
平方根与算术平方根之间的区别与联系.
（三）典例讲解
例1 求下列各数的算术平方根：
25 15
(1)100 (2) (3) 1 (4)0.16
4 49(5) (6) (7) (8)-16
(0.2) 2 (−0.01) 2 0
解(1)∵ ,∴ 的算术平方根是
(10) 2=100 100 10
5 2 25 25 5
(2)∵( ) = ,∴ 的算术平方根是
2 4 4 2
8 2 64 15 15 8
(3)∵( ) = =1 ,∴1 的算术平方根是
7 49 49 49 7
(4)∵ ,∴ 的算术平方根是
(0.4) 2=0.16 0.16 0.4
(5)∵ ,∴ 的算术平方根是
(0.2) 2=(0.2) 2 (0.2) 2 0.2
(6)∵ ,∴ 的算术平方根是
(0.01) 2=(−0.01) 2 (−0.01) 2 0.01
(7)∵ ,∴ 的算术平方根是
(0) 2=0 0 0
(8)∵任何数的平方都是非负数， ∴-16没有算术平方根
点拨：1.正数的算术平方根是个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根；
2.被开方数越大，其算术平方根也越大
归纳总结：
平方根等于本身的数是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0 ， 1 ，
算术平方根和平方根相等的数是 0 ；【设计意图】通过练习让学生熟练运用算术平方根的定义，求一个数的算术平方根，
并归纳出正数，负数，0的算术平方根的情况，通过归纳总结平方根和算术平方根之间的
区别和联系，让学生深刻理解算术平方根的定义.
（四）针对训练
1.说出下列各式的意义，并求它们的值
√ 1 √ 16
(1)❑√289 (2)❑√3.24 (3)±❑5 (4)−❑1− (5)❑√(−3) 2
16 25
解(1) 289的算术平方根，❑√289=17
(2)3.24的算术平方根，❑√3.24=1.8
1 √ 1 9
(3)5 的平方根，±❑5 =±
16 16 4
16 √ 16 3
(4)1− 的算术平方根的相反数， −❑1− =−
25 25 5
(5)-3的平方的算术平方根，
❑√(−3) 2=3
2.计算下列各式的值
(1)❑√49+❑√9−❑√1
√ 9
(2)❑1 −❑√1.21+❑√3.61
16
(3)
❑√(−8)×(−2)−❑√132−123
解：(1)原式=7+3−1=9；
5
(2)原式= −1.1+1.9=2.05
4
(3)原式=4−5=−1
3.填空(1)若a的平方根为±3，则a的算术平方根为___3__
(2)若 是 的算术平方根, 是 的负平方根则 的算术平方根为___ _____
m 169 n 121 ❑√(m+n) 2 ❑√2
(3)如果❑√x−2=2，那么x =____6_
(4)如果❑√x−2的算术平方根等于2，那么x=____18____
(5)若 ， = ；
❑√x2=3 x ±3
点拨：❑√❑是一种运算符号，有根号时，要先算带根号的.【设计意图】通过练习让学生能熟练地运用算术平方根的定义解题，也能根据一个数
的算术平方根求这个数，通过（3）（4）对比练习让学生体会❑√❑是一种运算，攻克这个
易错易混点.
（五）变式训练
1.已知2x−1的平方根是±6，2x+ y−1的算术平方根是5，求2x−3 y+11的算术平方根.
解：由题意可得
{ 2x−1=36
2x+ y−1=25
37
解得：x= ,y=−11
2
√ 37
∴❑√2x−3 y+11=❑2× −3×(−11)+11=9
2
1 1 1
2.已知2a+1的算术平方根是其本身，b+ 的算术平方根是 ，求 ab的算术平方根．
2 2 2
1 1 1
解：由题意得：b+ = 解得b=−
2 4 4
∵算术平方根是其本身的数是0和1
∴当2a+1=0时
1
解得：a=− ,
2
∴ 1 1 ( 1) ( 1) 1 ∴√1 1
ab= × − × − = ❑ ab=
2 2 2 4 16 2 4
当2a+1=1时
解得：a=0,
∴ 1 1 ( 1)
ab= ×0× − =0
2 2 4
√1
∴ ❑ ab=0
2
1 1
综上所述： ab的算术平方根是 或0
2 4
【设计意图】通过此题变式练习让学生更加熟练理解算术平方根的定义，考查学生的
综合解题能力.（六）新知讲解
a的算术平方根❑√a
(1) 结果为非负数❑√a≥0
(2) 被开方数为非负数a≥0
算术平方根具有双重非负性
【设计意图】通过对算术平方根结果的探究和被开方数的探究，得到算术平方根具有
双重非负性这一隐含条件，利于学生运用这个知识点解题.
（七）典例讲解
例2.已知： ,求 的值
|x+2y|+❑√3x−7+(5 y+z) 2=0 x−3 y+4z
解：由题意得：x+2y=0,3x−7=0,5 y+z=0
7 7 35
解得：x= ,y=− ,z=
3 6 6
∴ 7 ( 7) 35 175
x−3 y+4z= −3× − +4× =
3 6 6 6
几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值|a|≥0、偶次幂
(n为正整数)及一个数的算术平方根 .
a2n≥0 ❑√a≥0(a≥0)
【设计意图】通过本题练习一方面让学生理解算术平方根的非负性，另一方面归纳整
个初中阶段的非负性，得到几个非负数的和为0，则每个数均为0.
（八）针对训练
1.已知❑√1−3a与❑√b−27互为相反数，求ab的算术平方根
解：由题意可得❑√1−3a+❑√b−27=0
∴1−3a=0,b−27=0
1
解得a= ,b=27
3
1
∴ab= ×27=9
3
∵32=9
∴ ab的算术平方根是3【设计意图】通过本题练习让学生深刻理解算术平方根的非负性和熟练地运用算术平
方根的非负性解题.
（九）拓展探究
1.已知❑√a−17+❑√17−a=b+8，求a＋b的算术平方根．
解：∵ a−17和17−a都为非负数
∴a=17
∴b=−8
∴❑√a+b=❑√17−8=3
2.若|2022−a|+❑√a−2023=a,求a−20222的值
解：由题意可得：
∵a−2023为非负数(即减数小于被减数)
∴a≥2023
∴a−2022+❑√a−2023=a
∴❑√a−2023=2022
∴a−2023=20222
∴a−20222=2023
【设计意图】通过本题学生深刻理解算术平方根的双重非负性，由于这条件较为隐含，
学生易忽略，利用练习让学生能够熟练解题，以及双重非负性的考查途径和考查方式.
（十）当堂测试
1.数4的算术平方根是（ A ）
A．2 B．－2 C．±2 D.❑√2
2．下列说法正确的是（ A ）
A.❑√25表示25的算术平方根
B．−❑√2表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作±❑√2
D．2是❑√2的算术平方根
3.计算
(1)256的平方根___________;算术平方根__________
(2)❑√256的平方根_________;算术平方根___________
1 2
(3)(−2 ) 的平方根_________;算术平方根_________
6(4) 的平方根________;算术平方根_________
❑√(−5) 2
13 13
解(1) ±16；16 (2)±4；4 (3)± ； (4)±❑√5 ；❑√5
6 6
4.计算下列各式的值
(1)❑√4+❑√9−❑√16
(2)❑√0.09−❑√0.64+❑√1.44
√ 1 √1
(3)❑√625×❑ +3×❑ +❑√0
25 9
解(1)原式=2+3−4=1.
(2)原式=0.3−0.8+1.2=0.7
1 1
(3)原式=25× +3× +0=5+1=6
5 3
5.已知2a−1的平方根为±3，3a+b−1的算术平方根为4
(1)求a,b的值
(2)求a+2b的算术平方根5. 解方程
解(1)由题意可得:2a−1=9,3a+b−1=16
解得：a=5,b=2
(2)❑√a+2b=❑√5+2×2=❑√9=3
6.已知 求 的值．
|x−2|+(4 y−1) 2+❑√8z−6=0, ❑√2x+❑√y−❑√3z
解：∵
|x−2|≥0,(4 y−1) 2≥0,❑√8z−6≥0
∴x−2=0,4 y−1=0,8z−6=0
1 3
∴x=2,y= ,z=
4 4
√1 √ 3
即可得❑√2x+❑√y−❑√3z=❑√2×2+❑ −❑3× =1
4 4
7.若x,y,m满足关系式❑√3x−6+❑√3 y−8=❑√m−2025∙❑√2025−m,求x+3 y的算术平方
根
解：由题意可得：
∵m−2025和2025−m为非负数
∴m=2025
∴❑√3x−6+❑√3 y−8=08
∴x=2,y=
3
∴❑√x+3 y=❑√10
8.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60m2的会议室的地面，每块地板
砖的边长是多少？
解:设每块地板砖的边长为xm.
由题意得240x2=60
1
∴x2=
4
√1 1
∴x=❑ =
4 2
故每块地板砖的边长是0.5m.
【设计意图】针对本节课所学，巩固学生求一个数的算术平方根，会利用算术平方根
的双重非负性解题和培养学生综合解题的能力.
（九）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而
形成一个清晰的脉络，加深学生对算术平方根理解与掌握．
（十三）布置作业
P43.练习1，P44练习2，3题.
五、教学反思
