文档内容
9.2 坐标方法的简单应用【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 利用坐标表示位置】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用“表示方向的角+距离”确定位置】...........................................................................................1
【必考点2 利用坐标确定位置】..............................................................................................................................3
【知识点2 点在坐标系中的平移】..........................................................................................................................4
【必考点3 点在坐标系中的平移】..........................................................................................................................5
【知识点3 图形在坐标系中的平移】.....................................................................................................................5
【必考点4 图形在坐标系中的平移】.....................................................................................................................6
【必考点5 利用坐标系中的平移规律求值】.........................................................................................................7
【必考点6 坐标系中平移变换作图】.....................................................................................................................8
【必考点7 点在坐标系中的平移与新定义问题】...............................................................................................10
【必考点8 坐标与图形综合问题】........................................................................................................................11
【知识点1 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【必考点1 利用“表示方向的角+距离”确定位置】
【例1】下列表述中，不能确定一点的具体位置的是（ ）
A．东经117°，北纬36°
B．礼堂3排12号
C．东风路中段
D．万达广场北偏东60°方向，2千米处
【例2】如图，位于A处的1班与相距5m的B处的2班，共同做一次联谊活动，用方向和距离描述 1班相
对于2班的位置（ ）A．南偏东50°，5m处 B．南偏西50°，5m处
C．北偏西50°，5m处 D．北偏东50°，5m处
【变式1】生态园位于县城东北方向5公里处，如图表示准确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，一艘船在A处遇险后向相距80海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述救生船B
相对于遇险船A的位置（ ）
A．南偏西75°，80海里 B．南偏西15°，80海里
C．北偏东15°，80海里 D．北偏东75°，80海里
【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标 A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标
C，F的位置表示为C（6，120°），F（5，210°）．（1）按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A： ；B： ；D： ；E： ．
（2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站
1500米，写出目标A，B，D，E的实际位置；
（3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G，H
的位置表示．
【必考点2 利用坐标确定位置】
【例1】同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色 5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一
盘棋，若白①的位置是（1，﹣1），黑②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，甲认为黑棋放在（2，
4）位置就胜利了；乙认为黑棋放在（7，﹣1）位置就胜利了．你认为（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
【变式1】象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．
如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“帥”的点的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则表
示棋子“炮”的点的坐标为（ ）A．（2，3） B．（0，2） C．（2，0） D．（1，3）
【变式2】车、马、炮三个棋子所处位置不同．车说：“以我为坐标原点，马的位置是（2，3）“．炮
说：“以我为坐标原点，马的位置是（﹣3，﹣2）”．若以马为坐标原点，车、炮的坐标分别是（已知
三棋子所建立的坐标系x轴、y轴的正方向相同）（ ）
A．（﹣3，﹣2），（2，﹣3） B．（﹣2，2），（2，3）
C．（﹣2，﹣3），（3，2） D．（﹣3，﹣2），（﹣2，﹣3）
【变式3】如图是长汀县城区部分景点的平面示意图，图中小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，若
卧龙山的坐标为（3，a），总兵府邸的坐标为（b，﹣3）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并回答以下问题：
博物馆的坐标是（ ， ），卧龙书院的坐标是（ ， ），汀州文庙在第
象限；
（2）写出实数a＝ ，实数b＝ ；
（3）若长汀一中的坐标为（2，2），请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出长汀一中的位置．
【知识点2 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，
向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，
向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【必考点3 点在坐标系中的平移】
【例1】已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，则点C（a，b）向左平移2个
单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A．（5，﹣6） B．（3，0） C．（5，﹣3） D．（7，﹣6）
【例 2】将点 P（2m+1，2﹣m）向左平移 3个单位长度得到点 Q，且 Q在y轴上，则点 P的坐标为
（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（0，1） D．（3，0）
【变式1】如果将平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，那么下列平移方法中
正确的是（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
【变式2】把点A（m，m+2）先向左平移2个单位长度，在向上平移3个单位长度得到点B，点B正好落
在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣5，0） B．（﹣7，0） C．（4，0） D．（3，0）
【变式3】在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若
点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【知识点3 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
原图形向 右 ( 或向左 )平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向 上 ( 或向下 )平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下
减，横不变”．【必考点4 图形在坐标系中的平移】
【例1】已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是（﹣2，1）、（2，3）、（﹣3，﹣1），把三角形ABC移
动到一个确定位置，平移后各对应点的坐标可能是（ ）
A．（0，3）、（0，1）、（﹣1，﹣1）
B．（﹣1，3）、（3，5）、（﹣2，1）
C．（1，﹣2）、（3，2）、（﹣1，﹣3）
D．（﹣3，2）、（3，2）、（﹣4，0）
【例2】如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC的顶点A的坐标为（﹣3，2），点C的坐标为（1，
0），将三角形ABC平移至三角形A B C 的位置，使得点A的对应点A 与坐标原点O重合，则点C的
1 1 1 1
对应点C 的坐标为（ ）
1
A．（﹣4，﹣2） B．（0，﹣2） C．（5，﹣2） D．（4，﹣2）
【变式1】如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到
点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，4）
【变式2】第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别
在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A B C ，点P（a，b）是三角形ABC
1 1 1
内一点，经平移后得到三角形A B C 内对应点P （a+8，b﹣5），若点A 的坐标为（5，﹣1），则点A
1 1 1 1 1
的坐标为（ ）A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4）
【必考点5 利用坐标系中的平移规律求值】
【例1】如图，已知点A（﹣2，1），B（a，n）．若将线段AB平移到CD，其中C（1，0），D（4，
m），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【例2】已知点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，﹣3），点M（a，b）也经过这样的平移后对应
点是N（m，n），则m+n﹣a﹣b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【变式1】如图，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B 的位置，则a+b的
1 1
值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
【变式2】△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n）．已知点A（4，3）
也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），则m+n﹣a﹣b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【变式3】已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+❑√b−8=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【必考点6 坐标系中平移变换作图】
【例1】如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，
点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关
系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到
的．
（2）若M（a﹣2，2b﹣3）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点
为N（2a﹣7，9﹣b），分别求a和b的值．
（3）求线段AB扫过的面积．
【变式1】如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点
C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（2）若点M（a+1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N
（2a﹣7，4+b），求a和b的值；
（3）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ．【变式2】已知：如图△ABC的位置如图所示，（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形．△ABC的
顶点都在格点上）．点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（1，5）．
（1）请在图中画出坐标轴，建立直角坐标系；
（2）点P（m．n）是△ABC内部一点，平移△ABC．点P随△ABC一起平移，点A落在A′（0，
4），点P落在P′（n，6），求点P的坐标并直接写出平移过程中线段PC扫过的面积．
【变式3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为
（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位
长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．【必考点7 点在坐标系中的平移与新定义问题】
【例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P
的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，
1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P ．点P
1 1
的“﹣4阶派生点”P 位于坐标轴上，求点P 的坐标．
2 2
1 1
【变式1】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：如果a= x﹣2，b= y+1，
2 2
那么点M（a，b）就是点P的“关联点”．例如，点P（6，2）的“关联点”是点M（1，2）．
（1）求点A（2，1）的“关联点”坐标．
（2）坐标平面内有一点C（a，b），将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点
C′，如果点C与点C′的“关联点”互相重合，求点C的坐标．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点B进行1次“乙变
换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 ；
（2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，
求m的值及点D的坐标；
（3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接
写出点Q的坐标．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第I类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第II类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①已知点A（3，0），对点A进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标是 ；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第II类变换”后得到点（0，2），则点B的坐标是
．
（2）已知点C（m，n），若对点C连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后
得到点D，求点D的坐标（用m，n表示）．
（3）点P的坐标（﹣10，3），对点P进行“第I类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点Q，
请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；
如果不存在，请说明理由．
【必考点8 坐标与图形综合问题】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2
个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；
（1）直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，
点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与
∠PCD，∠PAB的数量关系．1
【变式1】已知A（0，a），B（﹣b，﹣1），C（b，0）且满足 ❑√7−a+|b+2|+❑√2a−14=0．
2
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1所示，CD∥AB，∠DCO的角平分线与∠BAO的补角的角平分线交于点E，求出∠E的度
数；
（3）如图2，把直线AB以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点（0，
﹣5）．
【变式2】如图，点A的坐标为（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后得到
的图形为三角形DEC，点C的坐标为（m，n），且数m是﹣27的立方根，数n是4的算术平方根．
（1）求点E的坐标：
（2）点P是线段CE上的一个动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，试确定x，y，z之间的数
量关系，并说明理由．【变式3】如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，
0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足 ．
❑√4−a+(b−3) 2=0
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开
始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试
求t的值及点P的坐标．
