文档内容
2024-2025 学年七年级数学下学期期中测试卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：相交线与平行线~平面直角坐标系（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
π 1
1．（3分）在下列实数❑√3，0.35， ， ，❑√9，1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）中，无理数的
3 7
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：❑√9=3，3 是整数，属于有理数；
π 1 π
在实数❑√3，0.35， ， ，❑√9，1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）中，无理数有❑√3， ，
3 7 3
1.212212221……（每两个1之间依次多一个2），共3个．
故选：C．
2．（3分）若点P（a，b）在第二象限，则M（ab，﹣a）应在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数确定出a、b的正负情况，再求出ab，﹣a的正
负情况，然后确定出点M所在的象限，即可得解．
【解答】解：∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，﹣a＞0，
∴点M（ab，﹣a）在第二象限．
故选：B．
3．（3分）如图所示，下列条件中，能判定FB∥CE的条件是（ ）A．∠F+∠FBC＝180° B．∠ABF＝∠C
C．∠A＝∠D D．∠F＝∠C
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定DF∥AC，不能判定FB∥CE，故A不符合题意；
B、由同位角相等，两直线平行判定FB∥CE，故B符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定FD∥AC，不能判定FB∥CE，故C不符合题意；
D、∠F和∠C不是同位角也不是内错角，不能判定FB∥CE，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①若a＝﹣b，则√3 a+√3 b=0；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据立方根的概念、平行线的性质、平行公理及其推论判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣b时，√3 a=−√3 b，则√3 a+√3 b=0，故本小题命题是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故本小题命题是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题命题是假命题；
故选：B．
5．（3分）△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n）．已知点A（4，3）也
经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），则m+n﹣a﹣b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n），点A（4，3）
也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），
∴m﹣a＝6﹣4＝2①，n﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5②，
∴①+②得，m+n﹣a﹣b＝2﹣5＝﹣3．
故选：D．6．（3分）若一个正数的两个不同的平方根分别是3a﹣4和﹣2a，则这个数的立方根为（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．64
【分析】根据平方根的性质及定义即可求得这个正数，然后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是3a﹣4和﹣2a，
∴3a﹣4﹣2a＝0，
解得：a＝4，
则﹣2a＝﹣2×4＝﹣8，
这个正数为64，
那么这个数的立方根为4，
故选：B．
7．（3分）如图，一公路修到湖边时，需拐弯绕湖通过．第一个拐角∠A＝90°，第二个拐角∠B＝165°．如果
道路CF与第一条路DA平行，则第三个拐角∠C的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】过B作BM∥AD，而CF∥AD，推出CF∥BM，得到∠ABM＝∠A＝90°，∠C+∠CBM＝180°，求
出∠CBM＝∠ABC﹣∠ABM＝75°，即可得到∠C＝105°．
【解答】解：过B作BM∥AD，
∵CF∥AD，
∴CF∥BM，
∴∠ABM＝∠A＝90°，∠C+∠CBM＝180°
∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABM＝165°﹣90°＝75°，
∴∠C＝105°．
故选：B．
8．（3分）若整数m，n满足m＜❑√5，n＞❑√11，则n﹣m的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【分析】题目中给出的条件是 m＜❑√5和n＞❑√11，我们需要找到 n、m 的值，为了使n﹣m最小，我们需要选择m和n的值，使得它们的差最小，显然，m 应该尽可能大而 n 应该尽可能小．
【解答】解：∵整数 m＜❑√5，2＜❑√5＜3，
∴m 的最大值为2，
∵整数n＞❑√11，3＜❑√11＜4，
∴n的最小值为4，
当m 取最大值 2，n取最小值 4时，n﹣m有最小值，
此时，n﹣m＝4﹣2＝2，
∴n﹣m 的最小值为 2．
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形 A A A ，三角形 A A A ，三角形 A A A ，……，是斜边在x
1 2 3 3 4 5 5 6 7
轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形 A A A 的顶点坐标分别为A （2，0），A
1 2 3 1 2
（1，﹣1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
3 2027
A．（﹣1012，0） B．（1012，0） C．（1015，0） D．（﹣1015，0）
【分析】根据所给等腰直角三角形，依次求出点A ，A ，A ，…的坐标，发现规律即可解决问题．
3 7 11
【解答】解：由题知，
点A 的坐标为（0，0）；
3
点A 的坐标为（﹣2，0）；
7
点A 的坐标为（﹣4，0）；
11
…，
所以点A
4n﹣1
的坐标为（﹣2n+2，0），
令4n﹣1＝2027得，
解得n＝507，所以﹣2n+2＝﹣1012，
则点A 的坐标为（﹣1012，0）．
2027
故选：A．
10．（3分）如图，AB∥CD，N为CD上一点，直线EM交AB于M，交CD于F，且∠AME＝70°，若点P为
射线FE上一点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC交AB于H，PT∥NH交CD于T，则∠TPQ的度数为（
）
A．30° B．35° C．30°或150° D．35°或125°
【分析】分点P在线段FM上和在射线ME上，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：当点P在线段FM上时，如图：
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠MPQ＝∠NPQ，∠MNH＝∠CNH，
设∠MPQ＝∠NPQ＝ ，∠MNH＝∠CNH＝ ，
∴∠PNT＝180°﹣∠CNM＝180°﹣2 ，
α β
∵AB∥CD，
β
∴∠MFC＝∠AME＝70°，
∵PT∥NH，
∴∠PTC＝∠CNH＝ ，
∵∠PNT＝∠MPN﹣∠PFN＝2 ﹣70°，
β
∴180°﹣2 ＝2 ﹣70°，
α
∴ + ＝125°，
β α
∵∠NPT＝180°﹣∠PNT﹣∠PTN＝ ，
α β
∴∠TPQ＝∠NPT+∠NPQ＝ + ＝125°；
β
当点P在射线ME上时，如图：
α β∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠MPQ＝∠NPQ，∠MNH＝∠CNH，
设∠MPQ＝∠NPQ＝ ，∠MNH＝∠CNH＝ ，
∴∠PNT＝180°﹣∠CNM＝180°﹣2 ，
α β
∵AB∥CD，
β
∴∠MFC＝∠AME＝70°，
∵PT∥NH，
∴∠PTC＝∠CNH＝ ，
∵∠PNF+∠PFN+∠NPF＝180°，
β
∴180°﹣2 +2 +70°＝180°，
∴ ﹣ ＝35°，
β α
∵∠NPT＝180°﹣∠PNT﹣∠PTN＝ ，
β α
∴∠TPQ＝∠NPT﹣∠NPQ＝ ﹣ ＝35°；
β
综上：∠TPQ＝35°或125°；
α β
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√3 a 3
11．（3分）已知（a﹣9）2+|b﹣4|＝0，则 的立方的平方根是 ± ．
b 8
【分析】由平方根、立方根的定义，非负数的性质，即可求解．
【解答】解：∵（a﹣9）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣9＝0，b﹣4＝0，
∴a＝9，b＝4，
√3 a a 9
= =
∴ 的立方
b b3 64
√3 a 3
∴ 的立方的平方根是± ．
b 8
3
故答案为：± ．
812．（3分）已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长
4 ．
【分析】根据题意可得，点P与点M的横坐坐标值相等，可得2x＝x﹣1，即可求出x的值，再根据线段长
度计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
∴PM＝|x+3﹣2x|＝|﹣x+3|＝|﹣（﹣1）+3|＝4．
故答案为：4．
13．（3分）如图，将直角三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置，连接BE，若CD＝6，AF＝
14，则BE的长为 4 ．
【分析】根据平移的性质得到BE＝AD，DF＝AC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝AD，DF＝AC，
则DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，
1 1
∴AD= （AF﹣CD）= ×（14﹣6）＝4，
2 2
∴BE＝4，
故答案为：4．
14．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数
为 130 ° ．
【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，
2
∴∠BOD= ×180°=40°，
9
∴∠BOD＝∠AOC＝40°∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°，
故答案为：130°．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N
到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点 （3，﹣4），（4，﹣2）互为
“最距等点”；点（3，﹣3），（﹣3，0）互为“最距等点”．已知点P（2﹣n，﹣2n+1）与点Q（n+1，
2n﹣3）互为“最距等点”，则n的值为 2 ．
【分析】根据互为“最距等点”的定义可得：|2﹣n|＝|n+1|或|2﹣n|＝|2n﹣3|或|﹣2n+1|＝|n+1|或|﹣2n+1|＝|
2n﹣3|，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P（2﹣n，﹣2n+1）与点Q（n+1，2n﹣3）互为“最距等点”，
∴|2﹣n|＝|n+1|或|2﹣n|＝|2n﹣3|或|﹣2n+1|＝|n+1|或|﹣2n+1|＝|2n﹣3|，
当|2﹣n|＝|n+1|时，
∴2﹣n＝n+1或2﹣n＝﹣（n+1），
∵2﹣n＝n+1，
1
∴n= ，
2
3 3
∴点P的坐标为（ ，0），点Q的坐标为（ ，﹣2），不符合题意，舍去；
2 2
∵2﹣n＝﹣（n+1），
∴此方程无解；
当|2﹣n|＝|2n﹣3|时，
∴2﹣n＝±（2n﹣3），
∵2﹣n＝2n﹣3，
5
∴n= ，
3
1 7 8 1
∴点P的坐标为（ ，− ），点Q的坐标为（ ， ），不符合题意，舍去；
3 3 3 3
∵2﹣n＝﹣（2n﹣3），
∴n＝1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为（2，﹣1），不符合题意，舍去；
当|﹣2n+1|＝|n+1|时，
∴﹣2n+1＝±（n+1），
∵﹣2n+1＝n+1，∴n＝0，
∴点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（1，﹣3），不符合题意，舍去；
∵﹣2n+1＝﹣（n+1），
∴n＝2，
∴点P的坐标为（0，﹣3），点Q的坐标为（3，1），
∴点P（2﹣n，﹣2n+1）与点Q（n+1，2n﹣3）互为“最距等点”；
当|﹣2n+1|＝|2n﹣3|时，
∴﹣2n+1＝±（2n﹣3），
∵﹣2n+1＝2n﹣3，
∴n＝1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为（2，﹣1），不符合题意，舍去；
∵﹣2n+1＝﹣（2n﹣3），
∴此方程无解；
综上所述：n＝2，
答案为：2．
16．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的落点分别
是 C'、D'，ED'交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C'、D'的落点分别是 C′′，D′′，
GD′′交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD′′＝
2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【分析】根据折叠的性质、平行线的性质和各角之间的关系即可判断．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE．
根据折叠的性质得，∠GEF＝∠DEF，
∴∠GEF＝∠GFE．
故①正确，符合题意．
∵ED′∥FC′，
∴∠GFC′＝∠EGC，∵2∠EFC＝∠GFC′+180°
∴2∠EFC＝∠EGC+180°，
故②正确，符合题意．
∵∠D′GF＝∠GEF+∠GFE，
∴∠D′GF＝2∠EFG，
根据折叠的性质得，∠D″GF＝∠D′GF，
∵∠EGD′′+∠D″GF+∠D′GF＝180°，
∴当∠EGD′′＝∠D″GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD′′＝2∠EFG，
故③错误，不符合题意；
∵∠D″GF＝∠D′GF，
∴∠EHG＝∠EFB+∠D″GF＝∠EFB+2∠EFB＝3∠EFB．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算下列各题：
（1）（﹣3）2+2×（❑√2−1）﹣|﹣2❑√2|；
√ 27 √ 4 2
（2）❑√16+3− ×❑(− ) −|2−❑√5|．
64 3
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣3）2+2×（❑√2−1）﹣|﹣2❑√2|
＝9+2❑√2−2﹣2❑√2
＝7；
√ 27 √ 4 2
（2）❑√16+3− ×❑(− ) −|2−❑√5|
64 3
3 4
＝4+（− ）× −（❑√5−2）
4 3
＝4+（﹣1）−❑√5+2
＝4﹣1−❑√5+2
＝5−❑√5．
18．（8分）解下列方程．
（1）（2x﹣1）2﹣16＝9．2
（2）❑√7(❑√7+ )−(x+1) 3=−18．
❑√7
【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义得出答案即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得（2x﹣1）2＝16+9，
合并同类项得（2x﹣1）2＝25，
由平方根的定义得2x﹣1＝±5，
即x＝3或x＝﹣2；
（2）整理得7+2﹣（x+1）3＝﹣18，
移项，合并同类项得（x+1）3＝27，
由立方根的定义得，x+1＝3，
即x＝2．
19．（8分）根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
如图，EF∥AD，EF∥BC，CF平分∠ACE，∠DAC＝125°，∠ACF＝15°．求∠FEC 的度数．
证明：∵EF∥AD，EF∥BC（ 已知 ），
∴AD∥ BC （ 平行于同一直线的两直线互相平行 ）．
∴∠DAC+ ∠ ACB ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝125°，
∴∠ACB＝180°﹣∠DAC＝55°．
又∵CF平分∠ACE，∠ACF＝15°（已知），
∴∠ACE＝2∠ACF（ 角平分线定义 ）．
∴∠ACE＝30°．
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝25°．
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝ ∠ BCE ＝25° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】根据平行公理推论求出AD∥BC，再根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】证明：∵EF∥AD，EF∥BC（已知），
∴AD∥BC（平行于同一直线的两直线互相平行）．
∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝125°，
∴∠ACB＝180°﹣∠DAC＝55°．
又∵CF平分∠ACE，∠ACF＝15°（已知），
∴∠ACE＝2∠ACF（角平分线定义）．
∴∠ACE＝30°．
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝25°．
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE＝25° （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；BC；平行于同一直线的两直线互相平行；∠ACB；两直线平行，同旁内角互补；角平分
线定义；∠BCE；两直线平行，内错角相等．
20．（8分）如图，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若∠C＝∠DEF，∠ABC＝70°，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠A的度数．
【分析】（1）结合邻补角定义求出∠1＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）根据平行线的性质及判定求出DE∥BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠DEB＝110°，结
合题意求出∠DEF＝50°＝∠C，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠DFE+∠2＝180°．
∴∠DFE＝∠1，
∴EF∥AC；
（2）解：∵EF∥AC，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵∠C＝∠DEF，
∴∠ADE＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠DEB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°
∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°，∵∠DEF＝∠FEB﹣10°，
∴∠FEB＝∠DEF+10°，
∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°，
∴∠DEF＝50°＝∠ACB，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝60°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，﹣3），B（1，﹣1），C（﹣2，3）．
（1）三角形ABC 中任意一点P（x ，y ） 经平移后对应点为 P'（x +4，y +3），将三角形ABC作同样的
0 0 0 0
平移得到三角形 A'B'C'．画出平移后的三角形 A'B'C'，写出 A'、B'、C'的坐标：A' （ 0 ， 0 ） ，B'
（ 5 ， 2 ） ，C' （ 2 ， 6 ） ；
1
（2）直接写出线段BC与x轴交点D的坐标 （ ， 0 ） ；
4
（3）若将线段CB沿水平方向平移一次，再竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分．两次
平移后点B的对应点B′′的坐标为（1+a，﹣1+b），已知线段CB扫过的面积为20，请直接写出a，b的
数量关系： 4 a + 3 b ＝ 2 0 或 4 a + 3 b ＝﹣ 2 0 ．
【分析】（1）由平移的性质可得△ABC向右平移4个单位，向上平移3个单位，即可求解，根据点的坐标
画出图形即可；
（2）根据等面积法即可得出答案；
（3）将线段CB沿水平方向平移一次，平移的长度是|a|个单位长度，扫过的面积为（3+1）|a|＝4|a|，竖直
方向平移一次，平移的长度是|b|个单位长度，扫过的面积为（1+2）|b|＝3|b|，由已知可得4|a|+3|b|＝20，再
进行分类讨论即可得出答案．
【解答】解：（1）由P（x ，y ）到P'（x +4，y +3），可知向右平移了4个单位，向上平移了3个单位，
0 0 0 0
∴A'（﹣4+4，﹣3+3），B'（1+4，﹣1+3），C'（﹣2+4，3+3）．
即A'（0，0），B'（5，2），C'（2，6），故答案为：（0，0），（5，2），（2，6）．
（2）过点C、点B分别作y轴、x轴的平行线，相交于点E，
设点D的坐标为（x，0），
则S△BOC ＝S△BCE ﹣S△OCF ﹣S梯形OFEB
1 1 1
= ×BE×EC− OF×CF− ×（OF+BE）×EF
2 2 2
1 1 1
= ×3×4− ×2×3− ×（2+3）×1
2 2 2
1
= ，
2
1 1
S△BOC =
2
×OD×CF +
2
×OD×EF
1 1
= x×3+ x×1
2 2
＝2x，1
即2x= ，
2
1
∴x= ，
4
1
∴线段BC与x轴交点D的坐标为（ ，0）．
4
1
故答案为：（ ，0）．
4
（3）∵两次平移后点B的对应点B′′的坐标为（1+a，﹣1+b），B（1，﹣1）、C（﹣2，3），
∴将线段CB沿水平方向平移一次，平移的长度是|a|个单位长度，扫过的面积为（3+1）|a|＝4|a|，
竖直方向平移一次，平移的长度是|b|个单位长度，扫过的面积为（1+2）|b|＝3|b|，
∵两次平移扫过的图形没有重叠部分，
∴a、b同号，
∵线段CB扫过的面积为20，
∴4|a|+3|b|＝20，
若a＞0，b＞0，则4a+3b＝20，
若a＜0，b＜0，则4a+3b＝﹣20，
综上所述：4a+3b＝20或4a+3b＝﹣20．
故答案为：4a+3b＝20或4a+3b＝﹣20．
22．（10分）（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为
1200m2，则每块正方形基地的边长为 2 0 m．
（2）计划在厂房的东边围一个面积为 300m2 的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边
上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且
它的长与宽之比为5：2．若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画出设计图；若不能围成，请通过
计算说明理由．
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答即可；
（2）设长方形的长，宽，利用面积求出长，宽，再进行检验即可．
【解答】解：（1）每个正方形的面积为1200÷3＝400（m2），
所以正方形的边长为❑√400=20（m），故答案为：20；
（2）若可以围成，设长方形的长为5x m，宽为2x m，由题意得，
5x•2x＝300，
解得x=❑√30或x=−❑√30（舍去），
则长方形的长为5❑√30m，宽为2❑√30m，
∵5＜❑√30＜6，
∴25＜5❑√30＜30，10＜2❑√30＜12，
∴可以围成．
23．（10分）【问题原型】如图①和②，AB∥CD，点M在如图所在位置，请分别写出图①和②中∠M、
∠B、∠D之间的关系并选择一个结论进行证明；
（1）【推广应用】（1）如图③，AB∥CD，∠ABM邻补角的平分线BN与∠CDM的角平分线相交于点
N，试探究∠M、∠N的数量关系并写出证明过程；
（2）如图③，AB∥CD，∠ABG和∠CDE的三等分角线交于点M，∠G＝64°，∠F＝64°，∠E＝78°，求
∠M的度数．
【分析】【问题原型】作MN∥AB，根据平行线的性质解答即可；
【推广应用】（1）由【问题原型】的结论可得：∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∠N＝∠CDN﹣∠ABN，然后结合角平分线的定义和等量代换即可解答；
（3）如图，延长BG，DE交于点N，先判定GF∥DE，可得∠N＝∠BGF＝78°，再由（1）题的结论可
1
得：∠M= ×78°＝39°．
2
【解答】解：【问题原型】图①∠D＝∠MGA＝∠M+∠B；②∠BMD＝∠B+∠D；证明如下：
∠M+∠B＝∠D，理由如下：
如图，∵AB∥CD，
∴∠MGA＝∠D，
∴∠D＝∠MGA＝∠M+∠B；
如图，作MN∥AB，则∠B＝∠BMN，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠D＝∠DMN，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D；
（1）如图③，∵BN是∠ABM邻补角的平分线，DN平分∠CDM，
1 1
∴∠ABN= （180°﹣∠ABM），∠CDN= ∠CDM，
2 2
由如图①的结论可得，∠CDM＝∠ABM+∠M，
∴∠M＝∠CDM﹣∠ABM，
1 1 1
如图②的结论可得∠N＝∠ABN+∠CDN= （180°﹣∠ABM）+ ∠CDM＝90°+ ∠M，
2 2 2
1
∴∠N＝90°+ ∠M；
2
（2）如图，延长BG，DE交于点N，
∵∠G＝64°，∠F＝64°，∠E＝78°，∴∠G＝∠EFG，
∴GN∥EF，
∵∠DEF＝78°，
∴∠N＝∠DEF＝78°，
1
则由（1）题的结论可得：∠M= ×78°＝26°，
3
故答案为：26°．
24．（12分）如图，四边形ABCD为正方形（各边相等），AB∥y轴．已知B（a，0），C（b，0），
1
P( a，m)，且❑√a+2+|b−1|+(m+t−4) 2=0．
2
（1）求出点B、C的坐标；
（2）点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动，运动时间为t秒，
7
①点P在四边形ABCD内部，且S = 时，求t的值；
△BPQ 2
1
②当S = S 时，求t的值．
△BPQ 2 △BPC
【分析】（1）根据非负性，作答即可；
（2）①先表示出点P坐标，分情况讨论：当点P在Q上方时，S△BPQ ＝S△BPC +S△QCP ﹣S△BCQ ，当点P在Q
下方时，S△BPQ ＝S△BCQ ﹣S△BPC ﹣S△QCP ，然后由面积法求解即可；
1
②分情况讨论，当4﹣t＞t＞0，P在BQ上方时，由S△BPQ ＝S△BPC +S△QCP ﹣S△BCQ =
2
S△BPC ，再由三角形面1
积公式即可求解；当0＜4﹣t＜t，P在BQ下方时，由S△BPQ ＝S△BPC ﹣S△QCP ﹣S△BCQ =
2
S△BPC ，再由三角形
1
面积公式即可求解；4﹣t＜0时，S△BPQ ＝S△BPC +S△BCQ ﹣S△QCP =
2
S△BPC ，再由三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵且❑√a+2+|b−1|+(m+t−4) 2=0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，m+t﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，m＝4﹣t，
∴B（﹣2，0），C（1，0）；
（2）①∵a＝﹣2，m＝4﹣t，
∴P（﹣1，4﹣t），
∵m＝4﹣t，点P在四边形ABCD内部，
∴4﹣t＞0，且t＞0，
即0＜t＜4，
当点P在Q上方时，如图，
即4﹣t＞t，
∴0＜t＜2，
1 1 1 1 1
∴S△BPQ ＝S△BPC +S△QCP ﹣S△BCQ =
2
BC•y
P
+
2
QC•（x
Q
﹣x
P
）−
2
BC•CQ =
2
×3（4﹣t）+
2
×t×（1+1）
1
− ×3t＝6﹣2t，
2
7
∴6﹣2t= ，
2
5
∴t= ＜2，
4
当点P在Q下方时，如图，即0＜4﹣t＜t，0＜t＜4，
∴2＜t＜4，
1 1 1 1 1 1
∴S△BPQ ＝S△BCQ ﹣S△BPC ﹣S△QCP =
2
BC•CQ−
2
BC•y
P
−
2
QC•（x
Q
﹣x
P
）=
2
×3t−
2
×3（4﹣t）−
2
×t×
（1+1）＝2t﹣6，
7
∴2t﹣6= ，
2
19
∴t= ＞4（舍去），
4
5
∴t的值为 ；
4
②由①当0＜t＜4，P在正方形ABCD内部，
P在BQ上方时，
当4﹣t＞t时，
即0＜t＜2，
1 1 1
S△BPQ ＝S△BPC +S△QCP ﹣S△BCQ =
2
BC•y
P
+
2
QC•（x
Q
﹣x
P
）−
2
BC•CQ＝6﹣2t，
1 1 3
S△BPC =
2
BC•y
P
=
2
×3（4﹣t）＝6−
2
t，
1
S = S ，
△BPQ 2 △BPC
1 3
∴6﹣2t= （6− t），
2 2
12
∴t= ＞2（舍去）；
5
当0＜4﹣t＜t，且0＜t＜4时，
即2＜t＜4，
P在BQ下方时，
S△BPQ ＝S△BPC ﹣S△QCP ﹣S△BCQ ＝2t﹣6，1 1 3
S△BPC =
2
BC•y
P
=
2
×3（4﹣t）＝6−
2
t，
1
S = S ，
△BPQ 2 △BPC
1 3
∴2t﹣6= （6− t），
2 2
36
∴t= ＞2；
11
当4﹣t＜0时，
即t＞4，如图，
1 1 1 1 1 1
S△BPQ ＝S△BPC +S△BCQ ﹣S△QCP =
2
BC•|y
P
| +
2
BC•QC−
2
CQ•（x
Q
﹣x
P
）=
2
×3（t﹣4）+
2
×3t−
2
×t×
（1+1）＝2t﹣6，
1 1 3
S△BPC =
2
BC•|y
P
| =
2
×3（t﹣4）=
2
t﹣6，
1
S = S ，
△BPQ 2 △BPC
1 3
∴2t﹣6= （ t﹣6），
2 2
12
∴t= ＜4，
5
∴t的值为．
