文档内容
专题 02 一元二次方程实际应用的四种考法
【知识点精讲】
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变
化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运
用面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
类型一、增长率问题
例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人
民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若
把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设平均每天票房的增长率为 ，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于 的一元二次
方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为 ，
根据题意得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周
作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少
了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 ，
列方程即可得到结论．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
可列方程为 ，
即
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式训练2】某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口
罩的月平均增长率为 ，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程即可作答．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加 ，这两年平
均每年绿化面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 ，则有
，解这个方程即可求出答案．
【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
，
解得 （舍去）， ．
所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．类型二、利润问题
例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现
该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为 ；
(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为 ，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每次下降百分率为 ，
根据题意，得 ，
解得： ， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为 ；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得： 或 ，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，
∴ ，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的
基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，
该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，
当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?
【答案】(1) 的值为25%
(2)当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元
【分析】（1）利用9月份的销售量=7月份的销售量 月平均增长率 ，即可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出x的值；
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包，
利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得： ，解得： ， （不合题意，舍去）．
答： 的值为25%．
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
∵为了尽快减少库存，
∴ ．
答：当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品
的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提
高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多
少元？
【答案】(1)1350元
(2)50元
【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，由题意得，
，计算求解，然后判断即可．
【详解】（1）解：由题意知， （元），
∴当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元；
（2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，
由题意得， ，解得 ， ，
∵ ，∴该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用
了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价
格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销
售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
【答案】(1)甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件；(2)3580
【分析】(1)设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进 件，根据甲种款型每件的进价比乙
种款型每件的进价少30元列出分式方程，解方程即可；
(2)根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，列出一元二次方程，解方程，即可解
决问题．
【详解】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进 件，
依题意得
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2）乙种款型每件的进价为 (元)
则甲种款型每件的进价为 (元)，
由题意得：
整理得 ，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴
答：第二个月的销售利润为3580元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列
出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
类型三、工程问题
例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定
每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
(2)2022年老旧小区改造的平均费用约为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增
加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；
(2)该市在2023年最多可以改造19个老旧小区
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2022年投入资金金额=2020年投入
资金金额×（1+年平均增长率） ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，根据2023年改造老旧小区所需资金不多于2023年投入资
金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ．
（2）解：设该市在2023年可以改造y个老旧小区，
依题意得： ，
解得： ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为19．
答：该市在2023年最多可以改造19个老旧小区．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5
至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长
率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决
定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之
和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子
由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子
由题意得：
整理得：
解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端
向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．
甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则
每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于a的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
类型四、几何图形问题
例．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平分线交 于点
．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒
个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为 秒．(1)填空： _______， _______（用含 的代数式表示）
(2)设 的面积为 ， 的面积为 ，当 为何值时， 的值为 ．
(3)求当 为何值时， 为直角三角形．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达 ， ；
（2）连接 ，过点 作 于点 ，根据 ，得 ，又根据 ，则
，根据勾股定理得 ，推出 是等腰直角三角形，得 ； 是直角三角形，
当 在 左侧时 ，根据三角形面积公式得： ；当 在 右侧时
，面积为： ，分类讨论 ，即可求出 时 的值；
（3）当 为直角三角形时， 或 或 ，根据 是等腰直角三角形，
则 ；根据勾股定理，即可求出 的值．
【详解】（1）∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出
发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动
∴ ； ．
（2）连接 ，过点 作 于点
∵四边形 是矩形，点 ，点
∴ ，
∵
∴
∴在直角三角形 中，
∴
∵
∴
∴在直角三角形 中，∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵ 当 在 左侧时，即 时，
∴
∴
∴当 时
∴解得 ， （舍）
不满足 ；
在 右侧时， 时，
∴
∴
∴当 时，解得 ， （舍）
∴当 ， ．
（3）连接 ， ，
由（2）得 ，
∵ 是直角三角形，∴
∵
∴ ，
∴在 ，
∴
∵ 为直角三角形时
∴ 或 或
∵ 是等腰直角三角形，则
∴ 或
时，
∴
整理得：
解得： （舍），
∴
时，
∴
解得： ，
∴ 或
∴综上所述，当 或 或 时， 为直角三角形时．
【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾
股定理和解一元二次方程的解法．
【变式训练1】等边 ，边长为 ，点P从点C出发以 向点B运动，同时点Q以 向点A
运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ，(1)求当 为直角三角形时的时间 ；
(2) 的面积能否为 ，若存在求时间 ，若不存在请说明理由．
【答案】(1) 或者
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意有 ， ，即 ，即可得 ，分当 为直角
三角形,且 时和当 为直角三角形,且 时，两种情况讨论，根据含 角的直角
三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）过Q点作 于点M，先求出 ，即有 ，进而有
，即 ，令
，可得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意有 ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
当 为直角三角形,且 时，如图，
∵等边 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得： ；
当 为直角三角形,且 时，如图，
∵等边 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
即t的值为 或者 ；
（2）存在，理由如下：
过Q点作 于点M，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
令 ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，或者 ，
∵ ，
∴ ，
即t的值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次
方程的应用等知识，明确题意，根据含 角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ．动点P
从点D出发，沿射线 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线 的方向以每
秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止
运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】 或
【详解】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当 时，当 时，当
时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
【分析】解：如图1，当 时，过点P作 于E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
解得： ；
如图2，当 时，过点Q作 于E，
同理可证四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得： ；
如图3，当 时，过点P作 于E，
同理可证明四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故方程无解．
综上所述， 或 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解
法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 点 从 开始沿边 向点 以
的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．点 ， 同时出发，
当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ______ ， ______ ； 用含 的代数式表示 ；
(2)当 为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出 的值，如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)t为 秒或 秒
(3)存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；
（3）由题意可得 的面积等于 面积的 ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1） 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动，， ，
，
故答案为： ， ；
（2）由题意得 ，
即
，
解得： ， ，
当t为 秒或 秒时， 的长度等于 ；
（3）存在，理由如下：
若四边形 的面积等于 面积的 ，
的面积等于 面积的 ，
，
，
解得： 或 ，
当 时，
当 时， ，四边形 变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这
些性质解决问题是解题的关键．
课后训练
1.如图1，在矩形 中， ，点E和F同时从点A出发，点E以 的速度沿 的方向
运动，点F以 的速度沿 的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为 ， 的面
积为 ，y关于x的函数图象如图2，图象经过点 ，则n的值为 ．
【答案】【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点 在 上时；当点 在 上，且点 在 上时；
当点 在 上，且点 在 上时．图2中的最高点是当点 与点 重合时， 的值为4；当点 和点
相遇时，即到达点 时，用时6秒．由此可求出 ，由此可求出当点 运动3秒后 的
值，即可求出 的值，进而可求出 的取值．
【详解】解：由图2可知，当点 运动到点 时，
，即 ，
当点 和点 相遇时，即到达点 时，运动了6秒，即 ，
解得： ，
当 时，如图， ，
∴ ；
当 时，点 在 上，点 在 上，如图，
此时，
∴ ；
解得 ，或 （舍）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系是
解决问题的关键．
2．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：
利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣 件
(2)30元或34元
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣 件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850
元，建立一元一次方程即可求解；
（2）设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出
关于y的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣 件，
由题意得： ，
解得： ，
则 （件）；
答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣 件．
（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到
等量关系并列出方程是钥匙的关键．
3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18
元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
(1)求樱桃的进价是每千克多少元？
(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千
克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上
每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售
第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【答案】(1)樱桃的进价是每千克10元
(2)第二天樱桃的售价是每千克15元或19元
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，
每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为 千克，再根据总利润为850元列
方程解答即可．
【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克x元，依题意得： ，
解得： ，
答：樱桃的进价是每千克10元；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为 千克，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键．
4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销
售额为 万元，“定制游”的销售额为 万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费
用少 万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算．
(1)求“定制游”的单数为多少？
(2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别
比上月对应订单数多 和 ，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多 和
，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元，且 ，求a的值．
【答案】(1)50
(2)100
【分析】（1）设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为 ，根据“6月份该旅行社跟团游的销
售额为 万元”列出分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）由（1）可知，6月份“跟团游”平均每单的费用为 万元，6月份“定制游”平均每单的
费用为 万元，根据“7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元”列出方
程，解方程并取符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为 ，
根据题意得
解得： ，
经检验， 是原方程的解，也符合问题的实际意义
答：“定制游”的单数为50．
（2）由（1）可知，6月份“跟团游”平均每单的费用为 万元，6月份“定制游”平均每单的
费用为 万元，“跟团游”的订单数为 ，由题意得：则 ，
化简得： ，
解得： ，
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键．
5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区
设置了 、 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知 点平均每人采样720份， 点平均每
人采样700份．
(1)求 、 两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商
户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从 点抽调部分医护人员到 点经调查发现， 点每减
少1名医护人员，人均采样量增加10份， 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从 点抽调
了多少名医护人员到 点？
【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人
(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队
【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，
且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样 份,根据重新规划后当天共采
样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A检测队有 人，B检测队有 人，
依题意得： ，分解得：
答：A检测队有6人，B检测队有7人；
（2）解：设从B检测队中抽调了 人到A检测队，则B检测队人均采样 人，
依题意得： ，
解得： ，解得： ， ，
由于从B对抽调部分人到A检测队，则 故 ，
答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
6．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种
绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，根据题意列出方程
即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为 元每棵， 元每棵，
再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求
出满足条件 的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，
根据题意，可得 ，
解得， ．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列
出正确的方程解决本题的关键．
