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专题 02 二次函数 的相图像和性质（七大类型）
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
1．（2020九上·南丹期中）抛物线 y=−2x2 的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
2 2
【答案】C
b
【解析】解：由抛物线 y=−2x2 可得：对称轴为直线 x=− =0 .
2a
故答案为：C.
2．（2021九上·武汉开学考）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
【答案】B
【解析】解：抛物线 y=2x2 的开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点；
抛物线 y=−2x2 开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点；
故抛物线 y=2x2 与 y=−2x2 相同的性质是对称轴都是 y 轴.
故答案为：B.
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
1
3.抛物线y=− x2 的开口方向是（ ）
3A．向上 B．向下 C．向右 D．向左
【答案】B
1 1
【解答】解：∵y=− x2 中，a=− <0，
3 3
∴二次函数的图像开口向下，
故答案为：B
4．（2022九上·普陀期中）已知抛物线y=(a−1)x2的开口向上，那么a的取值
可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2开口向上，
∴a−1>0，
∴a>1，
那么a的取值可以是2．
故答案为：D
5．（2021九上·连山期末）如果抛物线 y=(a−2)x2 开口向下，那么 a 的取值
范围是（ ）
A．a>2 B．a<2 C．a>−2 D．a<−2
【答案】B
【解析】解：∵抛物线 y=(a−2)x2 开口向下，
∴a−2<0 ，
∴a<2 .
故答案为：B.
6．（2023九上·义乌期末）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 .
【答案】向上
【解析】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.7．（2023九上·平桂期末）二次函数y=ax2的图像经过点(−2，8)，则a的值为
.
【答案】2
【解析】解：将(−2，8)代入y=ax2得8=4a，解得a=2，
故答案为：2.
4
8．（2022九上·永嘉月考）二次函数y=− x2 的图像开口向 (填
3
“上”或“下”)
【答案】下
4
【解析】解：∵a=− ＜0，
3
∴抛物线的开口向下.
故答案为：下
9.（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；
②y＝ x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次
是（填序号） ．
【答案】①③②
【解答】解：①y＝3x2，
②y＝ x2，
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y＝ x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．10．（2022九上·柳林期中）若二次函数y=(m−1)xm2+1的图象开口向下，则m
的值为 ．
【答案】-1
【解析】解：∵二次函数 y=(m−1)xm2+1 的图象开口向下，
∴m2+1=2 ， m−1<0 ，
∴m=−1 ，
故答案为：-1．
11．（2021九上·台安期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝
．
【答案】4
【解析】解：∵抛物线y＝ax2开口向上，
∴a＞0，
∵|a|＝4，
∴a＝4，
故答案为：4．
12．（2021九上·奉贤期中）如果抛物线 y=(m+1)x2 的最低点是原点，那么
实数 m 的取值范围是 ．
【答案】m＞－1
【解析】 ∵ 抛物线 y=(m+1)x2 的最低点是原点，且该抛物线是二次函数
开口向上， m+1>0，m>−1
13．（2021九上·龙岩期末）已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝
.
【答案】-1
【解析】∵二次函数y＝ax2开口向下，
∴a<0 ，
∴2−a>0 ，
∴2−a=3 ，解得 a=−1 ，
故答案为 −1 .【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
14.（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故选：A．
15.（2022 秋•滨江区期末）已知二次函数 y＝（m﹣2）x2（m 为实数，且
m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2
【答案】B
【解答】解：当x≤0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴m﹣2＞0，
∴m＞2，
故选：B．
16．（2021九上·蓬江期末）关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴
D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】解：∵y＝3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），
∴A、B都不符合题意，C符合题意，
∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D不符合题意，故答案为：C．
17．（2022九上·东阳期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增
大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(a−1)x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而
增大，
∴二次函数 y=(a−1)x2的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故答案为：B.
18．（2022九上·通州月考）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【答案】B
【解析】A将x=−1代入求得y=2，故不符合题意；
B根据函数的性质，当x<0时，y随x的增大而减小，故符合题意；
C图像的对称轴是直线x=0，故不符合题意；
D当x=0时，y取最小值0，故不符合题意；
故答案为：B
1
19．（2022九上·杨村月考）同一坐标系中作y=3x2，y=−3x2，y= x2的图像，
3
它们的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，抛物线开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点
D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
【答案】C
1
【解析】解：因为y=3x2，y=−3x2，y= x2 都符合y=ax2形式，
3
y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．
故答案为：C．
20．（2022九上·拱墅期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣
1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
【答案】A
【解析】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），
∴点（2，﹣1）必在该图象上，
故答案为：A.
21．（2021九上·长丰期末）若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-
5），则它也经过（ ）
A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．
（-5，2）
【答案】A
【解析】解：∵y=mx2，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵图象经过点（2，-5），
∴图象经过点（-2，-5），
故答案为：A．
22．（2021九上·余杭月考）若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它
也经过（ ）
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)
【答案】A
【解析】解：∵图象经过点（1，-2），
∴a=-2，
∴y=-2x2，
AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；
C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.
故答案为：A.
23．（2020九上·沙河口期末）关于二次函数 y=x2 图象，下列叙述正确的有
（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过 (0，0) ； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】解：二次函数 y=x2 图象是抛物线；①符合题意；
函数 y=x2 的图像有最低点；②符合题意；
函数 y=x2 的图像经过点（0，0）；③符合题意；
函数 y=x2 的图像开口向上；④符合题意；
∴正确的选项有4个；
故答案为：A
24．（2022九上·嘉兴期中）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m
的范围是 ．
【答案】m＜﹣1
【解析】解：∵y＝（m+1）x2，
∴抛物线顶点坐标为（0，0），
当m+1＜0时，抛物线有最高点，
∴m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1
25．（2021九上·汉阳月考）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
【解析】（1）解：∵二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3，
∴3=9a ，
1
∴a= ，
3
1
∴二次函数解析式为 y= x2 ，
31 4
∴当 x=−2 时， y= ×(−2) 2= ；
3 ❑ 3
1 1
（2）解：∵二次函数的解析式为 y= x2 ， >0 ，
3 3
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.
26．（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2 相交
于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【解析】（1）解：把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）解：抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点
坐标为（0，0）．
【解析】【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点
坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；（2）由（1）易得抛物线的表
达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
27．（2023九上·衢州期末）将抛物线y=−x2向左平移2个单位，所得抛物线是
（ ）
A．y=(x−2) 2B．y=−(x−2) 2 C．y=−(x+2) 2 D．y=−x2+2
【答案】C
【解析】解：抛物线y=−x2向左平移2个单位，得到的抛物线为：y=−(x+2) 2，
故答案为：C.
28.（2022秋•承德县期末）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y
＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
【答案】B【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）2的图象是由y＝﹣3x2向右平移1个单位得到的，
故选：B．
29.（2022秋•新丰县期末）将抛物线 的图象向下平移3个单位长度，则
平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将抛物线 的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物
线的解析式为y＝ x2﹣3．
故选：A．
30．（2023九上·泰兴期末）将抛物线y=−2x3向上平移3个单位长度，所得抛
物线解析式为 .
【答案】y=−2x2+3
【解析】解：将抛物线 y=−2x3向上平移 3 个单位长度得
y=−2x2+3.
故答案为：y=-2x2+3.
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
31.已知点A（－2，y ），B（1，y ），C（3，y ）在二次函数y=−2x2图象上，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0时，函数y=ax2与y=ax+b的
图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、对于直线y=ax+b，得a>0，b<0，与ab>0矛盾，所以A选项
错误；
B、由抛物线y=ax2开口向上得到a>0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得
到a<0，所以B选项错误；
C、由抛物线y=ax2开口向下得到a<0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得
到a>0，所以C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a<0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由
于ab>0，则b<0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确.
故答案为：D.
【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
36.（2022秋•栖霞市期末）如图， O的半径为2，C 是函数 的图象，
1
⊙
C 是函数 的图象，则阴影部分的面积是（ ）
2
A．4 B．2 C． D．无法确定
【答案】B
π π π
【解答】解：∵C 是函数y＝﹣ x2的图象，C 是函数 的图象，且当
1 2
x相等时，两个函数的函数值互为相反数，
∴函数 的图象与函数 的图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为： ．
故选：B．
37．（2021九上·福山期中）二次函数y=❑√3x2的图象如图，点A在y轴的正半轴
上，点B，C在二次函数y=❑√3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且
∠ACO=120°，则菱形OBAC的面积为 ．【答案】2❑√3
【解析】连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，∠ACO=∠ABO，BC=2BD，OA=2OD，BC平分∠ABO，
∵∠ACO=120°
∴∠ABO=120°
∴∠OBD=60°
∴OD=❑√3BD
设BD=t，则OD=❑√3t
∴B(t，❑√3t)
把B(t，❑√3t)代入y=❑√3x2得：
❑√3t=❑√3t2
解得：t =0（舍去），t =1，
1 2
∴BD=1，OD=❑√3
∴BC=2BD=2，OA=2OD=2❑√3
1 1
∴S = BC⋅OA= ×2×2❑√3=2❑√3
菱 形OB2AC 2
故答案为：2❑√3．
38.（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积
是 ．
【答案】8
【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
39．（2021九上·通州期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别
1
交抛物线y =x2 (x≥0)与y = x2 (x≥0)于B、C两点，那么线段BC的长是
1 2 4
．
【答案】2
{y=4) {x=2)
【解析】解：∵x≥0，则 解得 ，即B(2，4)
y=x2 y=4{
y=4
) {x=4)
1 解得 ，即C(4，4)
y = x2 y=4
2 4
∴BC=4−2=2
故答案为：2
40．（2021九上·互助期中）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，
1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a
的取值范围是 ．
1
【答案】 ≤a≤3
9
【解析】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
1
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
9
1
观察图象可知 ≤a≤3，
9
1
故答案为： ≤a≤3．
9
41．（2020九上·砀山期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B
（-1，-1），若抛物线 y=ax2 (a≠0) 与线段AB有交点，则 a 的取值范围是
.1
【答案】−1≤a≤−
4
1
【解析】解：把A（-2，-1）代入y=ax2得a= − ；
4
把B（-1，-1）代入y=ax2得a=-1，
1
所以a的取值范围为 −1≤a≤−
4
1
故答案为： −1≤a≤−
4
42．（2020九上·禹城期末）如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O
是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过
C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
9
【答案】 π
8
【解析】解：根据题意图中阴影部分恰是一个半圆，
1 1 3 2 9
则图中阴影部分的面积= πr2= π( ) = π
2 2 2 8
9
故答案为： π
8
1
43．（2021九上·甘州期末）如图，⊙O的半径为2，C 是函数y＝ x2的图象，
1 2
1
C 是函数y＝－ x2的图象，则阴影部分的面积是 .
2 2【答案】2π
1 1
【解析】解：∵ 与－ 互为相反数，
2 2
∴C 与C 的图象关于x轴对称，
1 2
∴x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，
1
∴阴影部分的面积= ×π•22=2π.
2
故答案为：2π.
44.（2022九上·长汀月考）已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若
存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），
1
∴4a=1，解得a= ，
4
1
∴这个函数的解析式为y= x2；
4
（2）解：∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵
坐标相同，
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）
（3）解：如图：∵点A（2，1），B（-2，1），
1
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△ = ×4×1=2，
OAB 2
假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
1 1
则S△ = •AB•h= ×4h，
ABC 2 2
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
1 1 1
∴ ×4h= ×2，解得h= ，
2 2 2
1 1
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1− = ，
2 2
1 1
此时 x2= ，解得x =❑√2，x =−❑√2，
4 2 1 2
1 1
则此时C的坐标为（❑√2， ）或（−❑√2， ），
2 2
1 3
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+ = ，
2 2
1 3
此时 x2= ，解得x =❑√6，x =−❑√6，
4 2 1 2
3 3
则此时C的坐标为（❑√6， ）或（−❑√6， ），
2 2
1 1 3 3
综上，存在点C（❑√2， ）或（−❑√2， ）或（❑√6， ）或（−❑√6， ），使
2 2 2 2
△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
