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专题03 平面直角坐标系中点和图形变化的规律探究（解析版）
类型一 点的坐标中的猜想归纳思想
（一）点的移动规律
【典例1】（2023秋•贵池区期末）在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即（0，0）→
（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→……，按此规律，记（0，0）为第
1个点，则第15个点的坐标为（ ）
A．（9，9） B．（8，9） C．（9，10） D．（10，10）
【答案】A
【思路引领】根据所给点的运动方式，发现点的坐标变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第1个点的坐标为（0，0）；
第2个点的坐标为（0，1）；
第3个点的坐标为（1，1）；
第4个点的坐标为（2，2）；
第5个点的坐标为（2，3）；
第6个点的坐标为（3，3）；
第7个点的坐标为（4，4）；
第8个点的坐标为（4，5）；
第9个点的坐标为（5，5）；
第10个点的坐标为（6，6）；
…，
由此可见，点的横坐标依次为0，0，1，2，2，3，4，4，5，…；点纵坐标依次为0，1，1，2，3，3，
4，5，5，…，
所以第3n个点的横坐标可表示为：2n﹣1，纵坐标可表示为：2n﹣1．
当3n＝15，即n＝5时，2n﹣1＝2×5﹣1＝9，
所以点15个点的坐标为（9，9）．
故选：A．
【总结提升】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现第3n个点的坐标为（2n﹣1，2n﹣
1）是解题的关键．
【典例2】 （2023春•康巴什期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣
2），D（1，﹣2），把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定
在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的
坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】B
【思路引领】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，
从而确定答案．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2022÷10＝202……2，
∴细线另一端在绕四边形第203圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
【总结提升】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从
而确定2022个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋•崇左期中）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点
运动到点（1，1），第2秒运动到点（2，0），第3秒运动到点（3，﹣1），第4秒运动到点（4，0）
按这样的规律，第2023秒运动到点（ ）A．（2023，1） B．（2023，﹣1） C．（2023，0） D．（2022，0）
【答案】B
【思路引领】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【解答】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∴2023＝4×505+3，
当第2023秒点P位置在（2023，﹣1），
故选：B．
【总结提升】本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
2．（2023秋•安徽期中）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣1，
1
1），第二次向右跳动3个单位至点A （2，1），第三次跳动至点A （﹣2，2），第四次向右跳动5个
2 3
单位至点A （3，2），…，依此规律跳动下去，点A第2023次跳动至A 的坐标是（ ）
4 2023
A．（1012，1011） B．（﹣1012，1012）
C．（﹣1011，1011） D．（﹣1010，1010）
【答案】B
【思路引领】先分别求出点A ，A ，A ，A 的坐标，再归纳类推出一般规律即可求得答案．
1 3 5 7
【解答】解：由题意得：点A 的坐标为A （﹣3，3），
5 5
点A 的坐标为A （﹣3+7，3），即A （4，3），
6 6 6
点A 的坐标为A （﹣4，4），
7 7观察可知，点A
2×1﹣1
的坐标为（﹣1，1），
点A
2×2﹣1
的坐标为（﹣2，2），
点A
2×3﹣1
的坐标为（﹣3，3），
点A
2×4﹣1
的坐标为（﹣4，4），
归纳类推得：点A
2n﹣1
的坐标为（﹣n，n）（其中，n为正整数），
∵2023＝2×1012﹣1，
∴点A 的坐标为（﹣1012，1012）．
2023
故选：B．
【总结提升】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
3．（2023秋•贵阳期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规
律 摆 放 ． 点 P 从 原 点 O 出 发 ， 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 着 等 边 三 角 形 的 边
“OA →A A →A A →A A →A A …”的路线运动，设第n秒点P运动到点P （n为正整数），则点P
1 1 2 2 3 3 4 4 5 n 2023
的坐标是（ ）
A．（﹣2022，0） B．（﹣2023，−❑√3）
C．（﹣2022，❑√3） D．（﹣2023，❑√3）
【答案】D
【思路引领】先求出前6个点的坐标，找出规律，再计算求解．
【解答】解：∵A （﹣1，❑√3），A （﹣2，0），A （﹣3，❑√3），A （﹣4，0），A （﹣5，−❑√3
1 2 3 4 5
），A （﹣6，0），……，6个点为一个循环，
6
∵2023÷6＝337……1，
∴P 的坐标是（﹣2023，❑√3），
2023
故选：D．
【总结提升】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
4．（2023春•番禺区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动
到点P （1，1），第二次运动到点P （2，1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，
1 2 3 4﹣2），第五次运动到点P （5，0），第六次运动到点P （6，2），按这样的运动规律，点P 的纵坐
5 6 2023
标是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【思路引领】根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐
标每6次运动组成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P
1 2 3 4 5 6
（6，2），P （7，0），P （8，1）...，再根据规律直接求解即可．
7 8
【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，
1 2
1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到点P （5，0），第六
3 4 5
次运动到点P （6，2），运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动
6
组成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P （6，2），P
1 2 3 4 5 6 7
（7，0），P （8，1）…，
8
∵2023＝7×289，
∴动点P 的坐标是（2023，0），
2023
∴动点P 的纵坐标是0，
2023
故选：B．
【总结提升】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
5．（2023秋•茂南区期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第 1
次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1）……按这样的运动
规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ）A．（1011，1010） B．（1011，1011）
C．（1012，1011） D．（1012，1012）
【答案】C
【思路引领】根据吗，每次小蚂蚁运动的位置所对应的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
小蚂蚁第1次运动到点（1，0）；
第2次运动到点（1，1）；
第3次运动到点（2，1）；
第4次运动到点（2，2）；
第5次运动到点（3，2）；
第6次运动到点（3，3）；
…
由此可见，小蚂蚁运动2n（n为正整数）次，
所在位置的坐标为（n，n），且下一次运动所对应的点的坐标为（n+1，n）．
所以第2022次运动到点（1011，1011），
则第2023次运动到点（1012.1011）．
故选：C．
【总结提升】本题考查点的运动规律，能根据题中小蚂蚁的运动方式发现第 2n次运动后所对应点的坐
标为（n，n）是解题的关键．
6．（2022秋•文山市期末）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A 点，再向正北方向
1
走6米到达A 点，再向正西方向走9米到达A 点，再向正南方向走12米到达A 点，再向正东方向走
2 3 4
15米到达A 点，按如此规律走下去，当机器人走到A 点时，则A 的坐标为（ ）
5 6 6A．（9，15） B．（6，15） C．（9，9） D．（9，12）
【答案】D
【思路引领】由题意可知：OA 1 ＝3；A 1 A 2 ＝3×2；A 2 A 3 ＝3×3；可得规律：A n﹣1 A n ＝3n，根据规律可得到
A A ＝3×6＝18，进而求得A 的横纵坐标．
5 6 6
【解答】解：由题意可知：OA 1 ＝3；A 1 A 2 ＝3×2；A 2 A 3 ＝3×3；可得规律：A n﹣1 A n ＝3n，
当机器人走到A 点时，A A ＝18米，点A 的坐标是（9，12）．
6 5 6 6
故选：D．
【总结提升】本题主要考查的是点的坐标，根据题意找出各点坐标之间的关系是解答此题的关键．
（二）点的坐标变化规律
【典例3】（2023春•巴南区期末）在平面直角坐标系中，点P （0，2），P （1，6），P （2，12），P
1 2 3 4
（3，20），…，用你发现的规律确定P 的坐标为（ ）
8
A．（7，56） B．（7，72） C．（8，56） D．（8，72）
【答案】B
【思路引领】解出横纵坐标组成数列的规律即可．
【解答】解：由点的横坐标：0，1，2，3，…，得规律为n﹣1，
由点的纵坐标：2，6，12，20，…，得规律n2+n，
∴P8的坐标为（7，72）．
故选：B．
【总结提升】本题考查了点的规律的探究，数列规律的探究是解题关键．
【典例 4】（2023 春•晋安区期中）如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A A A ，△A A A ，
1 2 3 3 4 5
△A A A ，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A A A 的顶点坐
5 6 7 1 2 3
标分别为A （2，0），A （1，﹣1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的横坐标为（ ）
1 2 3 2023A．﹣1010 B．1010 C．1012 D．﹣1012
【答案】A
【思路引领】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，总结得出规律：A
4n+1
（2n+2，0），A （1，﹣2n﹣1），A （﹣2n，0），A （2，2n+2）；根据2023＝4×505+3，然
4n+2 4n+3 4n+4
后按照规律即可求解．
【解答】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，…
∴A （2，0），A （1，﹣1），A （0，0），A （2，2），A （4，0），A （1，﹣3），A （﹣2，
1 2 3 4 5 6 7
0），A （2，4），A （6，0），A （1，﹣5），A （﹣4，0），A （2，6），..．
8 9 10 11 12
总结得出规律：A （2n+2，0），A （1，﹣2n﹣1），A （﹣2n，0），A （2，2n+2），
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2023＝4×505+3，
∴点A 在x轴负半轴上，横坐标为﹣2×505＝﹣1010．
2023
故选：A．
【总结提升】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春•淮南期末）有如下一组点的坐标：（1，2），（3，﹣4），（5，8），（7，﹣16），（9，
32），（11，﹣64），…，根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）
A．（4045，22023） B．（4045，﹣22023）
C．（2023，﹣22023） D．（2023，22023）
【答案】A
【思路引领】由题意可知：横坐标是连续的奇数，第n个点的横坐标是2n﹣1，纵坐标是2的n次方，
奇数位置为正，偶数位置为负，第n个点的纵坐标是（﹣1）n﹣12n，由此求解即可．【解答】解：第n个点的坐标是（2n﹣1，（﹣1）n﹣12n），
当n＝2023时，2n﹣1＝2×2023﹣1＝4045，（﹣1）2023﹣1×22023＝22023，
∴第2023个点坐标为（4045，22023），
故选：A．
【总结提升】此题考查点的坐标规律，找出横纵坐标的数字规律，利用规律解决问题．
2．（2023春•沾化区月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图
中“→”方向排列，其对应的点坐标依次为（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），
（1，2），（2，2），（2，1），…，根据这个规律，第2023个点的横坐标为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】A
【思路引领】根据已知可推出第2025个点应在第44个正方形上，从而求得2023个点的横坐标．
【解答】解：第一个正方形上有4个点，添上第二个正方形后，一共有3×3＝9个点，添上第三个正方
形后，一共有4×4＝16个点，
∵添上第44个正方形后，一共有45×45＝2025个点，
∴第2025个点的坐标是（44，0），
∴第2023个点的横坐标为44，
故选：A．
【总结提升】本题是对点的坐标变化规律的考查，考虑从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的
关键，也是本题的难点．
3．（2023秋•八步区期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中
“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根据这个规
律，第2023个点的坐标为（ ）A．（44，1） B．（44，2） C．（45，2） D．（45，3）
【答案】C
【思路引领】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标
为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2023最接近的平方数为
2025，然后写出第2023个点的坐标即可．
【解答】解：从正方形的观点考虑，∵452＝2025，
∴第2023个点是横坐标45时，从x轴上的点开始，倒数第2025﹣2023＝2个点，
∴第2023个点的坐标为（45，2）．
故选：C．
【总结提升】本题考查了点的坐标的规律变化，从正方形的观点考虑求解更简便，要注意正方形的右边
的点的横坐标是奇数和偶数时的不同．
4．（2023春•西塞山区期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（x，y），规定以下两种变换：
（1）f（x，y）＝（x，﹣y），如f（2，3）＝（2，﹣3）；
（2）g（x，y）＝（x﹣2，y+1），如g（2，3）＝（0，4）；依此变换规律，若f[g（a，b）]＝（2，
1），则（ ）
A．a＝4，b＝﹣2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝0，b＝0
【答案】A
【思路引领】直接利用已知f（x，y）＝（x，﹣y），g（x，y）＝（x﹣2，y+1），进而得出答案．
【解答】解：∵f（x，y）＝（x，﹣y），f[g（a，b）]＝（2，1），
∴g（a，b）＝（2，﹣1）
∵g（x，y）＝（x﹣2，y+1），
∴a﹣2＝2，b+1＝﹣1，
∴a＝4，b＝﹣2，
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了点的坐标，根据题意得出坐标变化规律是解题关键．类型二 图案规律中的猜想归纳思想
【典例5】如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直
角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 的坐标为(2，2)、A 的坐标为(5，2)
1 2
(1)A 的坐标为 ，A 的坐标(用n的代数式表示)为 ．
3 n
(2)2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？
解：(1) (8，2) (3n－1，2)
理由：∵A 的坐标为(2，2)、A 的坐标为(5，2)，∴A，A，A，…，A 各点的纵坐标均为2，
1 2 1 2 3 n
∵小正方形的边长为1，
∴A，A，A，…，A 各点的横坐标依次大3，
1 2 3 n
∴A(5＋3，2)，A[2＋3(n－1)，2]，
3 n
即A(8，2)，A(3n－1，2).
3 n
(2)∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．
【典例6】（2023秋•管城区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度
的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点（1，0），（2，0）的位置，然后向右滚动，第1
次滚动使点C落在点（3，0）的位置，第2次滚动使点D落在点（4，0）的位置，…，按此规律滚动下
去，则第2023次滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A．（2022，1） B．（2023，1） C．（2024，0） D．（2025，0）
【答案】D
【思路引领】列举几次滚动后的A点坐标，找到滚动次数与点A坐标之间的规律，进而求出第2023次
滚动后顶点A的坐标
【解答】解：第1次滚动点A 的坐标为（2，1），
1
第2次滚动点A 的坐标为（4，1），
2
第3次滚动点A 的坐标为（5，0），
3
第4次滚动点A 的坐标为（5，0），
4第5次滚动点A 的坐标为（2，1），
5
…，
∴每滚动4次一个循环，
∴A （4n+2，1），A （4n+4，1），A （4n+5，0），A （4n+5，0），
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2023÷4＝505…3，
∴A （4×505+5，0），即A （2025，0），
2023 2023
故选：D．
【总结提升】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点A随滚动次数的变化规律．
【变式训练】
1．（2022秋•青县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右
侧作等边三角形 OAA ，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 O ，以 O A 为边在右侧作等边三角形
1 1 1 1 1
O A A ，再过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ，…，按此规
1 1 2 2 2 2 2 2 2 3
律继续作下去，得到等边三角形O A A ，则点A 的纵坐标为（ ）
2022 2022 2023 2023
1 1 1 1
A．（ ）2021 B．（ ）2022 C．（ ）2023 D．（ ）2024
2 2 2 2
【答案】B
1 1 1
【思路引领】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O A = OA ＝1，O A = O A ＝（ ）1，
1 1 2 1 2 2 2 1 2 2
1 1 1 1
O A = O A ＝（ ）2，即点A 的纵坐标为1；点A 的纵坐标为（ ），点A 的纵坐标为（ ）2，以此
3 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2
类推，从中得出规律，即可求出答案．
【解答】解：∵三角形OAA 是等边三角形，
1
∴OA ＝OA＝2，∠AOA ＝60°，
1 1
∴∠O OA ＝30°．
1 1
在直角△O OA 中，∵∠OO A ＝90°，∠O OA ＝30°，
1 1 1 1 1 11
∴O A = OA ＝1，即点A 的纵坐标为1，
1 1 2 1 1
1 1 1 1
同理，O A = O A ＝（ ）1，O A = O A ＝（ ）2，
2 2 2 1 2 2 3 3 2 2 3 2
1
即点A 的纵坐标为（ ）1，
2 2
1
点A 的纵坐标为（ ）2，
3 2
…
1
∴点A 的纵坐标为（ ）2022．
2023 2
故选：B．
【总结提升】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根
据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．
2．（2023秋•西安月考）如图，在平面直角坐标系中，△A
1
A
2
A
3
，△A
3
A
4
A
5
，△A
5
A
6
A
7
，⋯都是斜边在x
轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A
1
A
2
A
3
的顶点坐标分别为A
1
（2，0），A
2
（1，1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
3 2023
A．（﹣1010，0） B．（﹣1008，0） C．（2，﹣505） D．（1，506）
【答案】A【思路引领】观察图形可以看出A
1
～A
4
；A
5
～A
8……
每4个为一组，由于2023÷4＝505余3，A
2023
在x轴
负半轴，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【解答】解：观察图形可以看出A ～A ；A ～A ……每4个为一组，
1 4 5 8
∵2023÷4＝505⋯⋯3，
∴A 在x轴负半轴，纵坐标为0，
2021
∵A 、A 、A 的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
3 7 11
则A 的横坐标为﹣2n，
4n+3
∴A 的横坐标为﹣2×505＝﹣1010，
2023
∴A 的坐标为（﹣1010，0）．
2023
故选：A．
【总结提升】本题考查了规律型：点的坐标，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2023秋•霞浦县期中）如图，在平面直角坐标系中，动点 P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从
原点运动到（1，0），第二次从（1，0）运动到（1，1），第三次从（1，1）运动到（2，1），第四次
从（2，1）运动到（2，﹣1），第五次从（2，﹣1）运动到（3，﹣1），第六次从（3，﹣1）运动到
（3，2）…，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上
都多运动一个单位长度），经过第201次，点P的坐标是（ ）
A．（100，﹣0） B．（100，50） C．（101，﹣50） D．（101，50）
【答案】C
【思路引领】根据题中所给出的点的坐标，发现坐标变化的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第一次运动后点的坐标为（1，0）；第二次运动后点的坐标为（1，1）；
第三次运动后点的坐标为（2，1）；
第四次运动后点的坐标为（2，﹣1）；
第五次运动后点的坐标为（3，﹣1）；
第六次运动后点的坐标为（3，2）；
第七次运动后点的坐标为（4，2）；
…，
观察点的坐标变化发现，
第2n和（2n﹣1）次运动后点的横坐标为n；
第4n和（4n+1）次运动后点的纵坐标为﹣n，第（4n﹣1）和（4n﹣2）次运动后点的纵坐标为n；
又因为2×101﹣1＝201，
所以经过第201次，点P的横坐标为101．
又因为4×50+1＝201，
所以经过第201次，点P的纵坐标为﹣50．
故经过第201次，点P的坐标为（101，﹣50）．
故选：C．
【总结提升】本题考查坐标与图形变化，能根据点P的运动方式，发现其横纵坐标的变化规律是解题的
关键．
2．（2022秋•利津县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运
动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，
经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，1） B．（2023，0） C．（2023，1） D．（2023，2）
【答案】D
【思路引领】根据前几次运动的规律可知第 4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点
（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规
律求解即可．【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故选：D．
【总结提升】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到
的规律解题．
3．（2023秋•吉安期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动
到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运
动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（﹣2025，0） B．（﹣2025，1） C．（﹣2025，2） D．（﹣2026，1）
【答案】B
【思路引领】根据题意可得第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3
次接着运动到点（﹣3，2），……，由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为﹣n，
纵坐标是1，0，2，0三个数一循环，即可求解．
【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点（﹣1，1），
第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），
……，
由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为﹣n，纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，
∵2025÷4＝506⋯1，
∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是（﹣2025，1）．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了点的坐标规律，能够根据题意找出规律是解题的关键．
4．（2023秋•杏花岭区期中）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中
的规律摆放．点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着等边三角形的边
“OA →A A →A A →A A →A A …”的路线运动，设第n秒运动到点P （n为正整数），则点P 的
1 1 2 2 3 3 4 4 5 n 2023
坐标是（ ）
2021 ❑√3 2021 ❑√3
A．( ，− ) B．( ， )
2 2 2 2
2023 ❑√3 2023 ❑√3
C．( ，− ) D．( ， )
2 2 2 2
【答案】D
❑√3 ❑√3 ❑√3
【思路引领】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为： ，0， ，0，− ，0，点P的横坐标
2 2 2
1 3 5 n
规律为： ，1， ，2， ，3，…， ，即可求解．
2 2 2 2
❑√3 ❑√3 ❑√3
【解答】解：每6个点一个循环，它的纵坐标规律为： ，0， ，0，− ，0，
2 2 2
∵2023÷6＝337......1，
❑√3
∴点P 的纵坐标为 ，
2023 2
1 3 5 n
点P的横坐标规律为： ，1， ，2， ，3，......， ，
2 2 2 22023
∴点P 的横坐标为 ，
2023 2
2023 ❑√3
∴点P 的坐标（ ， ），
2023 2 2
故选：D．
【总结提升】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及
正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
5．（2023秋•紫金县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图
中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这
个规律，第331个点的坐标为（ ）
A．（8，17） B．（8，16） C．（7，17） D．（7，18）
【答案】D
【思路引领】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横
坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点
横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标
的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵331＝182+7，
∴第331个点是边上有17个点的正方形，再顺推7个点，第331个点是（7，18），
故选：D．
【总结提升】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．
6．（2023春•五华区期中）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A
的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个
单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第
n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（ ）
A．（182，169） B．（169，182） C．（196，182） D．（196，210）
【答案】C
【思路引领】数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变
化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解答】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的
数字发生变化，列的数字不变，
所以点M第27次移动到的位置时，列的数字是1﹣﹣27中所有奇数的和，行的数字是1﹣﹣27中所有
偶数的和，
即1+3+5+7+9+…+27＝196，
2+4+6+8+…+26＝182，
所以，点M第27次移动到的位置为（196，182），
故选：C．
【总结提升】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，得出列和行变化的规律是解题的关键．
7．（2023秋•高州市期中）如图，已知A （2，4），A （4，4），A （6，0），A （8，﹣4），A （10，
1 2 3 4 5
﹣4），A （12，0），……，按这样的规律，则点A 的坐标为（ ）
6 2023A．（4046，0） B．（4046，4） C．（4046，﹣4） D．（4048，4）
【答案】B
【思路引领】通过分析可得，An的横坐标的规律是2n，An的纵坐标6个一循环，4→4→0→﹣4→﹣
4→0，所以，分别求出An的横坐标和纵坐标即可得到结果．
【解答】解：A 的横坐标为2n，
n
A 的纵坐标每6个一循环，
n
A 的横坐标为2×2023＝4046，
2023
A 的纵坐标为2023÷6＝337……1，
2023
故A 的纵坐标为4，
2023
故A 的坐标为（4046，4），
2023
故选：B．
【总结提升】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标．
8．（2023春•米东区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单
位至点P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P （﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点
1 2
P ，第4次向右跳动3个单位至点P ，第5次又向上跳动1个单位至点P ，第6次向左跳动4个单位至
3 4 5
点P ，…．照此规律，点P第100次跳动至点P 的坐标是（ ）
6 100
A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
【答案】C
【思路引领】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得
到的横坐标也在y轴右侧．P 横坐标为1，P 横坐标为2，P 横坐标为3，依此类推可得到P 的横坐标．
1 4 8 100
【解答】解：经过观察可得：P 和P 的纵坐标均为1，P 和P 的纵坐标均为2，P 和P 的纵坐标均为
1 2 3 4 5 6
3，因此可以推知P 和P 的纵坐标均为100÷2＝50；
99 100
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P 横坐标为1，
1
P 横坐标为2，P 横坐标为3，依此类推可得到：P 的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
4 8 n
故点P 的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P 的坐标是
100 100
（26，50）．
故选：C．
【总结提升】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规
律，属于中考常考题型．
9．（2023春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点
D、C、P、H在x轴上，A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2），把
一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣
D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（
）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，1）
【答案】D
【思路引领】先求出凸形ABCDEFGHP的周长为20，得到2019÷20的余数为19，由此即可解决问题．
【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2），
∴“凸”形ABCDEFGHP的周长为20，
2019÷20的余数为19，
∴细线另一端所在位置的点在P处上面1个单位的位置，坐标为（1，1）．
故选：D．【总结提升】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常
考题型．
10．（2023春•红山区期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点A （0，0）出发，由A 跳动至点A
1 1 2
（0，2），依次跳动至点A （2，﹣1），点A （2，0），点A （2，2），……，根据这个规律，则点
3 4 5
A 的坐标为（ ）
2023
A．（1348，﹣1） B．（1348，0） C．（674，﹣1） D．（674，0）
【答案】B
【思路引领】观察可知A ﹣A ，A ﹣A ，A ﹣A ，…，三个点一循环，纵坐标为0，2，﹣1循环，每循
1 3 4 6 7 9
环一次，前两个点横坐标不变，第三个点横坐标增加2，即可求解．
【解答】解：∵动点A从点A （0，0）出发，由A 跳动至点A （0，2），依次跳动至点A （2，﹣
1 1 2 3
1），点A （2，0），点A （2，2），…，
4 5
∴A ﹣A ，A ﹣A ，A ﹣A ，…，三个点一循环，纵坐标为0，2，﹣1循环，每循环一次，前两个点横
1 3 4 6 7 9
坐标不变，第三个点横坐标增加2，
∵2023÷3＝674⋯1，
∴点A 的纵坐标与A 的纵坐标相同，即为0，点A 的横坐标为674×2＝1348，
2023 1 2023
∴点A 的坐标为（1348，0）．
2023
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了点的坐标规律探究，正确理解题意找到规律是解题的关键．
11．（2023秋•郑州期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA 的直角边OA在x轴上，点
1A 的坐标为（1，1），以点A 为直角顶点，OA 为一直角边作等腰直角三角形OA A ，再以点A 为直
1 1 1 1 2 2
角顶点，OA 为直角边作等腰直角三角形 OA A ，…，依此规律，则点 A 的坐标为（ ）
2 2 3 2024
A．（21011，﹣21011） B．（21011，0）
C．（21012，﹣21012） D．（21012，0）
【答案】D
【思路引领】依次求出点A ，A ，A ，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
1 2 3
【解答】解：由题知，
因为△OAA 是等腰直角三角形，且A （1，1），
1 1
所以OA =❑√12+12=❑√2．
1
因为△OA A 是等腰直角三角形，且OA =❑√2，
1 2 1
所以OA =❑√2OA =2，
2 1
则点A 的坐标为（0，2）；
2
同理可得，点A 的坐标为（﹣2，2）；
3点A 的坐标为（﹣4，0）；
4
点A 的坐标为（﹣4，﹣4）；
5
点A 的坐标为（0，﹣8）；
6
点A 的坐标为（8，﹣8）；
7
点A 的坐标为（16，0）；
8
点A 的坐标为（16，16）；
9
…，
由此可见，每操作八次，点A 的横、纵坐标都扩大24倍，
i
所以点A 的坐标为（（24）n，0）（n为正整数），
8n
又因为2024÷8＝253，
所以（24）253＝21012，
即点A 的坐标为（21012，0）．
2024
故选：D．
【总结提升】本题考查点的坐标变化规律，能结合所给图形，通过计算发现点 A 的坐标为（（24）n，
8n
0）是解题的关键．
12．（2023•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律
探索可得第2023个点的坐标是（ ）
A．（63，5） B．（63，6） C．（64，5） D．（64，6）
【答案】D
【思路引领】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，0）和（2，1）作为第二列，
依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，⋯，
n(n+1)
第n列有n个点，则n列共有 个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下
2
到上，
∵1+2+3+⋯⋯+63＝2016，
∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，
因而第2023个点的坐标是（64，6），
故选：D．
【总结提升】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目
比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
13．（2023春•鄂伦春自治旗期末）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中
的位置如图所示，其中A （1，1），A （﹣1，1），A （﹣1，﹣1），A （1，﹣1），A （2，2），A
1 2 3 4 5 6
（﹣2，2），A （﹣2，﹣2），A （2，﹣2），A （3，3），A （﹣3，3），……，按此规律接下去，
7 8 9 10
则A 的坐标为（ ）
2018
A．（﹣505，﹣505） B．（505，﹣505）
C．（﹣505，505） D．（505，505）
【答案】C
【思路引领】由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，…，可得第n个正方形的顶点横
坐标与纵坐标的绝对值都是n．计算2018÷4，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象
限，进而得出A 的坐标．
2018【解答】解：∵2018÷4＝504……2，
∴顶点A 是第505个正方形的顶点，且在第二象限，横坐标是﹣505，纵坐标是505，
2018
∴A （﹣505，505）．
2018
故选：C．
【总结提升】本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形性质，能根据已知找出规律是解题的关键．
14．（2023春•惠民县期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0）．点A第一
次向上平移1个单位至点A （﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A （0，1），然后再向上平移1
1 2
个单位至点A （0，2），向右平移1个单位至点A （1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点
3 4
A 时，点的坐标是（ ）
2023
A．（1010，1011） B．（1011，1012）
C．（1010，1012） D．（1011，1013）
【答案】C
【思路引领】根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意，A
1
（﹣1，1），A
3
（0，2），A
5
（1，3），A
7
（2，4），…，A
2n﹣1
（﹣2+n，
n），
∴A （1010，1012），
2023
故选：C．
【总结提升】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
15．（2023春•平邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从A （﹣4，0）依次跳动到A （﹣4，
1 2
1），A （﹣3，1），A （﹣3，0），A （﹣2，0），A （﹣2，3），A （﹣1，3），A （﹣1，0），A
3 4 5 6 7 8 9
（﹣1，﹣3），A （0，﹣3），A （0，0），……，按此规律，则点A 的坐标为（ ）
10 11 2023A．（2023，0） B．（805，0） C．（804，1） D．（805，1）
【答案】D
【思路引领】根据图形的变化，找到规律，再计算求解．
【解答】解：由题意得：10个为一个周期，
∵2023÷10＝202……3，
∴202×4＝808，808+1＝809，
﹣4+809＝805，
∴A 的坐标为（805，1），
2023
故选：D．
【总结提升】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
16．（2023春•曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系中，动点 A从（1，0）出发，向上运动1个单位长
度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点
A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，
4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，
从右往左数的第二个点的坐标是（ ）
A．（2023，4044） B．（2024，4046）
C．（2022，4046） D．（2020，4044）【答案】C
【思路引领】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最右边的点的横坐标增加1，
据此规律解答即可．
【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加 2，到达最右边的点的横坐标增加
1，
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为 2023×2＝4046，最右边的点的横坐标为：
1+2023＝2024，
则从右往左数的第二个点的坐标是（2022，4046）．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，
到达点的纵坐标增加2，到达最右边的点的横坐标增加1是解答本题的关键．
17．（2023春•阿城区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点
运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规
律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 （﹣ 202 3 ， 2 ） ．
【答案】（2023，2）．
【思路引领】根据点P的运动规律可得点P的纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化，而横
坐标即为运动次数，即可求得点P的坐标．
【解答】解：通过观察点P的运动规律可知：
其纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化，
而横坐标即为运动次数，
所以2023÷4＝505…3
所以点P的坐标为：（2023，2）．
故答案为：（2023，2）．
【总结提升】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规
律．
