文档内容
专题 05 判定三角形全等的三大基本思路
目录
A题型建模・专项突破
题型一、已知两边对应相等解题思路......................................................................................................................1
题型二、已知两角对应相等解题思路......................................................................................................................5
题型三、已知一边一角对应相等解题思路..............................................................................................................8
B综合攻坚・能力跃升
题型一、已知两边对应相等解题思路
条件：已知两边对应相等；
解题思路：①找夹角对应相等，利用SAS证全等；
②找第三边对应相等，利用SSS证全等.
1.如图所示， 、 、 、 四点在同一条直线上，若 ， ， ，
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等式的性质1
【分析】本题主要考查了等式的性质 ，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
（1）由 可推出 ，利用 即可得出结论；
（2）由（1）可得： ，因而可得 ，由 、 、 、 四点在同一条直
线上可得 ，于是得证．
【详解】（1）证明： ，
，即： ，
在 和 中，
，
；
（2）证明：由（1）可得： ，
，
、 、 、 四点在同一条直线上，
，
．
2．如图，点 在一条直线上， ．
(1)如图（1），求证： ；
(2)如图（2）， 平分 交 于点 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和外角关系，掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
（1）利用 证明 即可求证；
（2）利用全等三角形的性质、角平分线和外角关系即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
；（2）解： ， ，
，
由（1）知 ，
，
平分 ，
，
∵ ，
．
3.如图，在四边形 中， 为 上的一点
求证：
(1) 平分 ；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用 证明 ，则 ，即可得出结论；
（2）利用 证明 ，则 ．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
，
，
平分 ；
（2）在 和 中，
，，
．
4.已知：如图，点 ， 在线段 上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键．
（1）由 ，利用线段的和差得到 ，由 证明两个三角形全等即可；
（2）由（1）可知 ，由全等三角形的性质得到 ，然后利用角的和差
来求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
．
在 和 中
．
（2）解： ，
，
．
题型二、已知两角对应相等解题思路
条件：已知两角对应相等；
解题思路：①找夹边对应相等，利用ASA证全等；
②找非夹边的边对应相等，利用AAS证全等.
5．如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵BF=CE
∴BF+EF=CE+EF，
即：BE=CF，
在△ABE和△DCF中 ，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=DC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
6.如图， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判
定定理．
（1）根据 判定 即可；
（2）根据题意可得 ，在 中根据外角的性质即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是 的外角，
．
7.如图，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】此题考查全等三角形的判定及三角形外角的性质，关键是根据 证明 ．
（1）根据 证明 与 全等即可；
（2）利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
,
∴ ；（2）∵ ， ,
∴ ．
8.如图，在 与 中， ， ， ， 与 交于点 ；
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA
或者AAS）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，运用平行线的性质得 ，再根据“角角边”
的方法判定 ，理解并掌握全等三角形判定方法，及性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等可得 ，在 和 中，运用“角角边”可证
，根据全等三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）中全的三角形的性质可得 ，在 中根据角的外角
和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．题型三、已知一边一角对应相等解题思路
（1）条件：有一边和该边的对角对应相等；
解题思路：找另一角对应相等，利用AAS证全等.
（2）条件：有一边和改边的领角对应相等；
解题思路：①找夹该角的另一边对应相等，利用SAS证全等;
②找另一角对应相等，利用AAS或ASA证全等.
9．如图，已知 ， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】证明 即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ .
在 和 中，
∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
10.如图，在四边形 中， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等
（ASA或者AAS）
【分析】（ ）由 ，得 ，再根据“ ”可证明 ；
（ ）由 ，得 ，再根据三角形外角的性质可得出答案；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
11．如图， ，点D在边 上， 与 相交于点O；
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质：
（1）由“ ”可证 ；
（2）由 ，根据三角形的外角性质，即可求 的度数．
熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
12.如图，在 和 中，点E在 边上， ， 与 交于
点G．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和
ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，
熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得 ，再利用 即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的
性质可得 ，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
一、解答题
1．如图，在 上各取一点E，D，使 ，连接 ， 相交于点O，连接 ， ．求
证：
(1)
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用公共边，结合 证明即可．
（2）利用 证明 即可得到结论．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．已知：如图， 于 为 上一点， 交 于 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键．
（1）根据垂直可得 ，在 和 中，运用“斜边直角边”的方法即可求证；
（2）根据 ， ，得到 ，由
即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
3．如图， 中， 为 上一点， 为 延长线上一点，且 ，过点 作 于点 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，且 ，连接 交 边于 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求线段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“ ”可证 ；
（2）先由（1）可知 ，证 ，从而由三角形全等的性质可得 ，然后由线段
的和差即可得 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ 与 都是直角三角形，
∴在 与 中，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
∵ ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
．
4．如图， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据 进行判定即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等，得到 ，三角形的内角和定理求出 的度数，利
用角的和差关系，求出 的度数即可．
【详解】（1）证明： 和 中
，
∴ ；
（2）由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
5．如图，在 中， ，点E是 延长线上一点，D为 下方一点，连接 ，
过点D作 交 于点F，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点G，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）先求得 ，再根据 证明 ，即可得到 ；（2）由 ，推出 ，再利用 证明 ，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．如图， ， ， ， ，B，C，E三点在同一条直线上．
(1)求证： ；
(2)探究 与 之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
（1）依据 即可证明 ，得到 ，根据八字形结论得到
，得到 ，继而得证；
（2）先证明 ，得到 ，再利用八字形结论得到 ，
继而得到
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 与 中，
又 ，
（2） ，理由如下：
， ，
又 ，
又 ，
又 ，
7．如图，在 和 中， ，延长 分别交边 、 于点F、G．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是
解题的关键．
（1）运用 证明 即可得证；
（2）利用三角形的内角和定理，等量代换计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
8．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 交于点 ，
过点 作 交 的延长线于点 、交 于点 ．
(1)求证： ；
(2) 、 、 之间有怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理
是解题的关键。
（1）由角平分线的定义得到 ，由垂线的性质可得 ．导角证明
，则可利用 证明 ．
（2）由全等三角形的性质得到 ，证明 ，得到 ，再由线段
的和差关系可得结论．
【详解】（1）证明： 分别是 的平分线，
．
，
．
又 ，
．
同理， ．．
在 和 中，
．
（2）解： ，理由如下：
由（1）得 ，
∴ ，
在 和 中，
，
．
．
，
．
9．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 处用
一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小
球时，小球从A摆到 位置，此时过点 作 于点 ，当小球摆到 位置时，过点 作 于
点 ，测得 （图中的点 在同一平面内）．
(1)猜想此时 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长．
【答案】(1) ；见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明 ，得出 ，根据 ，求出 ，即可证明结论；
（2）根据 ，得出 ，根据 ，求出结果即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：∵ 于D， 于E，
∴ ，
又∵根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
答： 的长为 ．
10．如图①， ， ． 为 中点，过 点的直线分别与 、 相交于点 、 ．
(1)那么 与 有什么关系？ 、 有什么关系？请说明理由．
(2)若将过 点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1) ， ， ，理由见解析
(2)在图②③的情况时，①中的关系还成立，理由见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的判定和性质
（1）证明 ，得到 即 ，再证 ，即可得出
结论；
（1）图②运用与（1）中，类似的方法，证明 ，得到 即 ，
再证 ，即可得出结论；图③，证明 ，得到 ，再得
，即 ，进而得 ，再证 得到 ．
【详解】（1）解： ， ．理由如下：
在 与 中： ， ， ，
，，即 ，
又 为 中点，
，
在 与 中： ， ， ，
，
， ，
∴ ；
（2）解：在图②③的情况时，①中的关系还成立．理由如下：
在图②的情况时：在 与 中： ， ， ，
，
，即 ，
又 为 中点，
，
在 与 中： ， ， ，
，
， ，
∴ ；
在图③的情况时：在 与 中： ， ， ，
，
，
，即 ；
，
又 为 中点，
，
在 与 中： ， ， ，
，
．
11．已知O是四边形 内一点，且 ， ， ．
(1)如图1，连接 ， ，求证： ；(2)如图2，E是 的中点，连接 ，若 ，求证： ；
(3)在（2）条件下，求证： 的面积等于 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三
角形全等的判定与性质．
（1）由 ，得 ，再利用 证明 ，由全等三角形的性质可得
出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，并能得出：
，则可得出结论；
（3）由（2）可知， ， ， ，结合 ，即可证
明结论．
【详解】（1）证明： ∵ ，
则 ，
，
在 和 中， ，
，
∴ ；
（2）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知， ， ，
则 ， ，
是 的中点，
∴ ，
则 ，
∴ ．
12．在 中， ， ，点 是直线 上一点（不与 、 重合），以 为一边在
的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1， 吗？请说明理由；
(2)在（1）的结论下，试求： 的度数；
(3)设 ， ，如图2，当点 在线段 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由 可得 ，即可证明；
（2）由 可得 ，推出 ，结合 ，即可求
解；
（3）由 可得 ，证明 ，得到 ，则
，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
即 ，
在 与 中，
，
；
（2） ，
，
，
，
又 ，
，
即 ；
（3） ，
理由： ，
即 ．
在 与 中，
，
，，
，
，
，
．
13．如图1， ， ， ， ，连接 、 ．
(1)请问 、 有怎样的数量关系和位置关系?试证明你的结论；
(2)如图2，连接 、 ，取 的中点F，连接 并延长交 于点H，试证明：
① ，
② ．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，较难的是题（2），通
过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1） ， ，证明：先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
，再设 分别交 于点 ，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得
，由此即可得；
（2）①延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，先证出 ，根据全等三角
形的性质可得 ， ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
由此即可得证；
②先根据全等三角形的性质可得 ，再根据 可得
，则 ，由此即可得证．
【详解】（1）解： ， ，证明如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
如图，设 分别交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：①如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②由（2）①已证： ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．如图，在 中， ， 分别是 边， 边上的高， 与 相交于点 ，且 ，连
接 ．
(1)试说明： ；
(2)试求 的度数；
(3)若点 是 的中点，则 ，试求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由题意可知 ，根据 即可证明；
（2）在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，证明 ，可知 是等腰直角三角
形，得到 ，即可求出 的度数；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，则 ，求出
即可．
【详解】（1）证明：∵ ， 分别是 边， 边上的高，
∴ ；
又∵ ，
∴ ， ．
∴ ；
（2）解：如图，在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，
在 和 中，
∴ （ ）
∴ ， ．
．
是等腰直角三角形．
．
；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，点 是 的中点
在 和 中，
，
（ ）．
．
．
由（2）得 ， ．
又 ，
．
．
．
．
