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专题05.垂美四边形模型与378、578模型
在人教版八年级的数学课程中，垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学
生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更
好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方
便掌握。
.................................................................................................................................................2
模型1.垂美四边形模型............................................................................................................................2
模型2.378和578模型............................................................................................................................33
...............................................................................................................................................42
模型1.垂美四边形模型
垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S = ACBD。
四边形ABCD
∙证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得， ， ，
∴ ；∵AC⊥BD，∴S = ACBO ，S = ACDO
△ABC △ADC
∙ ∙
∴S =S +S = ACBO+ ACDO= ACBD。
四边形ABCD △ABC △ADC
∙ ∙ ∙
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，
由勾股定理得，，，∴ ，∴ 。
条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP；
结论：AP2+PC2=DP2+BP2
证明：过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，则四边形 和 为矩形，
，由勾股定理得：则
， ，
， ．（图4的证明和图3证明相同）
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂
美”四边形 中，对角线 交于点O，若 ，则 ．例2．（23-24八年级下·广东·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若
，则AD的长为（ ）
A． B．4 C． D．
例3．（23-24九年级上·辽宁·期中）如图，四边形 的对角线互相垂直，且 ，则四边形
面积的最大值为 ．
例4．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图， 是长方形 内一点，已知 ， ，
，那么 ．
例5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形
的边 上时，点P到4个顶点间的距离 ， ， ， 之间满足 ，请对小明发现的结论给出证明；（2）如图2，当点P在矩形 内部或矩形 外部时， ， ， ，
之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形 内部或外部的一种情况
即可），如果不成立，请说明理由；（3）在 中， ， ，P为平面内一点，
， ，则 长的取值范围是 （直接写出结果）．
例6．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
(2)如图2，垂美四边形 两组对边 、 与 、 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并
给出证明；(3)如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形
，连接 、 、 ， 与 交于点O，已知 ， ，求 的中线 的长．
例7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB=AD，CB=CD．
(2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即， 如图1，在四边形ABCD中，若
AC⊥BD，则AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．(3)问题解决：如图2．在△ABC中，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有
AE⊥BD，求AB．
模型2.378和578模型
378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是
因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的
等边三角形。
图1 图2 图3 图4
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为 、 ；②3、8与5、8夹角都是60 ；③将两个三角形长为7
°
的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。
证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°，
在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2，∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM = ，
1
∴S = AB•CM = •3• = ，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。
∆ABC 2
如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°，
在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2，
∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ，
∴S = •DE•NF = •5• = ，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。
∆DEF
∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN，
∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。
∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。
例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90° B．150° C．135° D．120°
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于
点D并求出CD的长度．
例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
例5．（23-24八年级下·山东·阶段练习） 中， ， ， ，则 ．1．（2024·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，
则四边形 的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，
则四边形 的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
4．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝
2，则AE的长等于 ．
5．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
6．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 ．
7．（23-24八年级·绵阳市·期中）如图，点 是长方形 内一点，已知 ， ， ，则
的值为 .
8．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂
美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．（1）若 ， ， ，则 ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ， ， ， ，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
9．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，点P是矩形 内任意一点，连结 ，记
，则下列各结论一定成立的有 （填序号）
① ；②若 ，则 ；
③ ④ ，则P在对角线 上
10．（2024·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解决问题：已知AB＝5 ．BC＝4 ，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰
Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2 ，则S ABC＝ ．
△11．（2024·辽宁丹东·八年级统考期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于
O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由；
（3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．(1)如图1，已知四边形 是垂美四边形．①若 ，则它的面积为_____________；
②若 ，探究 的数量关系．(2)如图2，已知 分别是 中
边 的中点， ， ，请运用②中的结论，直接写出 的长为
___________________．
13．（2023春·山东威海·八年级统考期末）新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图①，在四边形 中，如果 ，那么四边形 是垂美四边形吗？
请说明理由．
(2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图②，在四边形 中，
与 相交于点 ，若 ，则 ．请判断小美同学的猜想是否正确，并说
明理由．
(3)问题解决：如图③，分别以Rt 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ．若 ， ，则①求证： ．② ______．
14．（2024春·重庆渝北·八年级校考期中）【知识感知】（1）如图1，四边形 的两条对角线交于点
O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
在我们学过的：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形中，属于垂美四边形的是______；（只填序号）
【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形 的四条边 ， ， ， 之间有怎样的数量关
系？写出你的猜想，并给出证明；【性质应用】（3）如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形
，连接 ， ， ，已知 ， ，求 的长．
15．（2024春·湖北黄石·八年级统考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号）
(2)性质探究：如图1，四边形 的对角线 、 交于点O， ．试证明：
．
(3)解决问题：如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 、 、 ．已知 ， ，求 的长．
16．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图 ，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图 ，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说
明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形 两组对边 ， 与 ， 之间的数量关系．
猜想结论： 要求用文字语言叙述 ______
写出证明过程 先画出图形，写出已知、求证 ．
(3)问题解决：如图 ，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ， ， ，已知 ， ，求 长．
17．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）在学习了平行四边形章节后，小明根据所学习的内容，试着创
造了一个新的特殊四边形，规定：对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示．
(1)【概念理解】证明：有三条边相等的垂美四边形是菱形；（写出已知、求证）
(2)【性质探索】若记垂美四边形 面积为 ，试直接写出 与 、 之间的关系；
(3)【性质应用】根据不完全统计，勾股定理的证明有400多种方法，小明为了证明勾股定理，尝试用两个
全等的直角三角形（ ）如图2摆放，其中 、 、 在一条直线上，若假设直角三角形三边长为 ， ， ，即 ， ， ，试利用（2）中结论证明勾股定理．
18．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍
（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即
AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．
