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专题09 一次函数易错必刷题型专训（72题24个考点）
【易错必刷一 函数的概念】
1．（23-24八年级下·全国·随堂练习）下列各式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查函数的定义，根据函数的定义：有两个变量，变量之间存在一一对应的关系叫函数关系逐个判断
即可得到答案；
【详解】
解：∵ ， ， 一个x的值，只有一个确定的y对应，
∴A、C、D是函数关系，不符合题意，
∵ 一个x的值，有两个确定的y对应，
∴B不是函数关系，符合题意，
故选：B．
2．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）下列关于两个变量之间的关系的四种表述中， 是 的函数的有
（填写编号）
① ：三角形的面积， ：这个三角形一边的长；
②
③
6
1 2 3 4
④
【答案】 /
①②②①【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对
应，称y是x的函数，判断即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】根据定义判断三角形面积公式为 ，对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数
的定义，
故①是函数，
对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数的定义，
故②是函数，
后面两个都是对于x的每一个值，y都有两个函数值对应，不符合题意，
故答案为：①②．
3．（22-23八年级·上海·假期作业）下列各式中， 是否是 的函数？为什么？
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，对于其中一个变量 的任意取值（取值范围内），
另一个变量 都有唯一的值与之对应，那么 就是 的函数，熟知函数的定义是解题的关键．
（1）根据函数的概念进行求解即可；
（2）根据函数的概念进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中，对于任意的 的值， 都有唯一的值与之对应，
∴ 是 的函数；
（2）解：∵在 中，对于任意一个正数 的值， 都有两个值与之对应，
∴ 不是 的函数．
【易错必刷二 求自变量的取值范围】1．（2024·云南·模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数解析式的自变量取值范围，即考查分式有意义的条件，要使得分式有意义，分母
不能为零，由此得解．
【详解】 要 有意义， ，
．
故选：A．
2．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）函数 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式
组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意可得： ，
解得 且 ，
故答案为： 且
3．（2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围．
(1)
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)全体实数
(2)
(3)【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
（1）根据一次函数的自变量为一切实数解答；
（2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可；
（3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解： 中，自变量的取值范围是全体实数；
（2）由题意得： ， ，
解得： ；
（3）由题意得： ，
解得： ．
【易错必刷三 求自变量的值或函数值】
1．（2024八年级下·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为 和7时，输
出y的值相等，则b的值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键．
当 时， ；当 时， ；由题意得， ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当 时， ；
当 时， ．
由题意得， ，
解得 ．
故选：D．
2．（2024·湖南·模拟预测）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得
的弹簧的长度y与所挂物体的重量x的一组对应值：所挂物体重量
0 1 2 3 4 5 …
2 2
弹簧长度 20 22 26 30 …
4 8
则当所挂重物为 时（在允许范围内），弹簧的长是 ．
【答案】36
【分析】此题考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间
的关系是解好本题的关键．由表中的数据可知， 时， ，并且每增加 千克的质量，长度增加
，依此可求所挂重物为 时（在允许范围内）时的弹簧长度．
【详解】解：由表格可得：当所挂物体重量为 时，弹簧长 ；当不挂重物时，弹簧长 ，
则 ，
当所挂重物为 时，弹簧的长度为： （ ）．
故答案为：
3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）下面是初中物理人教版教材中关于焦耳定律的介绍，在某次实
验中，导体电阻 ，通电时间 均保持不变．
电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比．这个规律叫
做焦耳定律（ ）．
如果热量用Q表示，电流用I表示，电阻用R表示，时间用t表示．则焦耳定律为
(1)用含电流I的代数式表示热量Q；
(2)求 时，电流I的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了函数的基本概念．
（1）根据 ，导体电阻 ，通电时间 均保持不变，代入计算即可；
（2）由（1）知 ，将 代入计算即可．
【详解】（1）解：当 ， 时，代入 得： ，；
（2）解：当 时，代入 得： ，即 ，
（负值舍去）．
【易错必刷四 用表格、关系式、图象表示变量间的关系】
1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的
长方形仓库，仓库总面积为 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行
于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设 米，则 关于 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为 米，再根据长方形
面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为 米，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）西安市出租车的收费标准是起步价9元（行程小于或等于3千米），
超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（千米）（
）之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．根据出租车的收费标准，用含有x的代数式表示车费即可．
【详解】解：由题意得，
，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价 （元）与售出
豆子的质量 （千克）之间的关系如下表：
售出豆子质量 （千
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
克）
总售价 （元） 0 1 2 3 4 5 6 10
(1)在这个表格中反映的是___________和___________两个变量之间的关系；___________是自变量；
___________是因变量；
(2)随着 的逐渐增大， 的变化趋势是___________；
(3)当豆子售出5千克时，总售价是___________元；
(4)预测一下，当豆子售出20千克时，总售价是多少？
【答案】(1)售出豆子的质量，总售价，售出豆子的质量，总售价；
(2)不断增大
(3)10
(4)40元
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，常量与变量，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答
的前提．
（1）根据表格中的两个变量的变化情况进行判断即可；
（2）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势进行判断即可；
（3）根据表格中的对应值得出答案；
（4）从两个变量的变化规律得出答案．
【详解】（1）解：表格中有售出豆子的质量和总售价两个变量，总售价随着售出豆子的质量的变化而变
化，其中售出豆子的质量是自变量，总售价是因变量，
故答案为：售出豆子的质量，总售价，售出豆子的质量，总售价；
（2）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势可知，随着售出豆子质量的增大，总售价也不断增
大；故答案为：不断增大；
（3）表格中的对应值可知，当豆子售出5千克时，总售价为10元，
故答案为：10；
（4）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化规律可知，总售价y与售出豆子的质量x的变化关系式为
，当 时， （元），
答：当豆子售出20千克时，总售价是40元．
【易错必刷五 从函数的图象获取信息】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）三峡工程在4月1日至4月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升到135
米，高峡平湖实现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中能正确反映这10天水位I（米）随时间t
（天）变化的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，由于是水位匀速上升， 而且由106米升至 135 米， 根据水位
变化规律，逐一排除．本题应首先看清横轴和纵轴表示的量， 然后根据实际情况采用排除法求解 ．
【详解】解： 水库水位由 106 米开始上升 ．
应排除A、D
水库水位匀速上升，不可能是 ；
B中的直线是匀速变化的， 符合题意 ．
故选：B．2．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图1，在直角三角形 中， ，点P从点B出发，沿
折线 向终点C运动，在运动过程中，设点P的运动路程为x，三角形 的面积为y，y与x之间
的关系如图2所示，则三角形 的面积为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解题的关键．根据点P的运动路径和y与x之间的
函数图象，即可得到 ， ，根据直角三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，点P从点B出发，沿折线 向终点C运动，
当 时，三角形 的面积 达到最大值，即点P和点A重合，可知 ，
当 时，三角形 的面积 达到最小值为0，即点P和点C重合，可知 ，
∵在直角三角形 中， ，
∴三角形 的面积为 ，
故答案为：6
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在
比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是______米，______队先到达终点；
(2)甲队的速度为______m/min，乙与甲相遇时乙的速度______m/min；
(3)乙队出发______min，追上甲队；
(4)在乙队与甲相遇之前，当t为__________min时，他们何时相距50米．
【答案】(1)1000；乙
(2)250；375(3)3.4
(4) 或3
【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确读懂函
数图象．
（1）由图中所给数据信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；
（2）由图中信息可知：乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600
米，用时1.6分钟，由此即可求得此时乙的速度；甲走完1000米一共用了4分钟即可求出甲的速度；
（3）根据甲乙两人相遇时所走的路程一样进行求解即可；
（4）根据题意可知在2.2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距50米的时刻，由此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图中信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；
故答案为：1000；乙
（2）解：由图中信息可知，乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了
600米，用时1.6分钟，
∴乙和甲相遇时的速度为： ；
∵甲一共花了4分钟走完全程，
∴甲的速度为 ；
故答案为：250；375
（3）解：设乙队出发t分钟，追上甲，由题意得：
，
解得： ，
∴乙队出发3.4分钟，追上甲；
故答案为：3.4
（4）解：由图中信息和（2）可知，甲的速度为： ，
乙在2.2分钟前的速度为： ，
乙在2.2分钟之后的速度为 ，
∴在2.2分钟时，甲、乙间的距离为： （米），∴在2.2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距50米的时刻，
设甲、乙在相遇之前，x分钟时相距50米，由题意得：
或 ，
解得： 或 ，
即甲、乙相遇前，在比赛开始后的第 分钟或第3分钟时，两队相距50米．
故答案为： 或3
【易错必刷六 动点问题的函数图象】
1．（2022·河南商丘·二模）如图1， 中，点P从点C出发，匀速沿 向点A运动，连接
，设点P的运动距离为x， 的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为 中点时，
的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
通过观察图2可以得出 ，由勾股定理可以求出a的值，从而得出 ，
当P为 的中点时 ，由勾股定理求出 长度．
【详解】解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，观察图象 时 ，则 ，P从C向B移
动的过程中， 是不断增加的，而P从B向A移动的过程中， 是不断减少的，因此转折点为B点，P运动到B点时，即 时， ，此时 ，
即 ， ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
当点P为 中点时， ，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知动点 从 点出发，以每秒 的速度在图①的边
（相邻两边互相垂直）上按 的路线移动，相应的 的面积 与点 的
运动时间 的图象如图②所示，且 ．当 时， 秒．
【答案】3或14/14或3
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意得：动点P在 上运动的时间是4秒，又由动点P的
速度，可得 的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：动点P在 上运动时，对应的时间为0到4秒，
∴ ；
动点P在 上运动时，对应的时间为4到6秒，
∴ ；
动点P在 上运动时，对应的时间为6到9秒，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点P与点C重合时， ，
∴当 时，点在 上或 运动，
∴ 或 ，
解得： 或14．
故答案为：3或14．
3．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 为直
角边 ， 边上一动点，现从点 出发，沿着 的方向运动至点 处停止．设点 运动的路程
为 ， 的面积为 ．（点 不与点 、 重合）
(1)求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(2)根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：________结合函数图象，当 时，直接写出 的
值．
【答案】(1)
(2)见解析(3) 或
【分析】
本题主要考查了动点问题的函数图象，求函数关系式等等：
（1）分当 时，当 时，两种情况讨论求解即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象求解即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点P在 上运动，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时，点P在 上运动，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述，
（2）解：函数图象如下所示，
由函数图象可知，在 时，y有最大值4；
（3）解：由函数图象可知，当 时， 或 ．【易错必刷七 正比例函数的图象与性质】
1．（2024·上海普陀·二模）已知正比例函数 (k是常数， )的图象经过点 ，那么下列坐标
所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，
可求出 的值，进而可得出正比例函数解析式为 再分别代入各选项中点的横坐标，求出 值，将其
与纵坐标比较后即可得出结论．
【详解】解： 正比例函数 是常数， 的图象经过点 ，
，
解得： ，
正比例函数解析式为 ；
A．当 时， ，
点 在这个正比例函数图象上，选项A符合题意；
B．当 时， ， ，
点 不在这个正比例函数图象上，选项B不符合题意；
C．当 时， ， ，
点 不在这个正比例函数图象上，选项C不符合题意；
D．当 时， ， ，
点 不在这个正比例函数图象上，选项D不符合题意．
故选：A．2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点 向右平移1个单位，再向下平
移2个单位后恰好落在直线 上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标平移规律．由 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点 ，
再把点 代入 即可．
【详解】解： 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点
点 在直线 上
．
3．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知：如图，正比例函数 的图像经过点A，
(1)请你求出该正比例函数的解析式；
(2)若这个函数的图像还经过点 ，请你求出m的值．
【答案】(1)
(2)−1
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一
定满足其函数解析式是解题的关键．（1）把 代入 中求出k的值即可得到答案；
（2）把点B坐标代入（1）所求函数解析式中求出m的值即可．
【详解】（1）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴正比例函数解析式为 ；
（2）解：把 代入 中得 ，解得 ．
【易错必刷八 根据一次函数的定义求参数】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）函数 是一次函数，m，n应满足的条件是
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是： 、 为常数， ，自变
量次数为1．根据一次函数的定义列出方程组解答即可．
【详解】解： 函数 是一次函数，
，解得， ．
故选：B．
2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若关于 的函数 是一次函数，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的定义及解一元一次不等式，根据一次函数的定义得出 ，解不等式即
可得答案．
【详解】解：∵关于 的函数 是一次函数，∴ ，
解得： ．
故答案为：
3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一次函数 ．
(1)当 为何值时，函数图象经过原点？
(2)图象与 轴交点在 轴的上方，且随 的增大而减小，求整数 的值．
(3)若函数图象平行于 ，求这个函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据题意可知，一次函数经过点 ，将坐标代入解析式即可得到m的值；
（2）根据图像与 轴交点在 轴的上方，y随x的增大而减小，即可得到 ，求出m的范围，即
可求出m整数的值；
（3）根据函数图象平行于 ，即可得到 ，即可得到m的数值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得 ；
（2）解：由题意得： ，
由不等式 ，解得： ，
由不等式 ，解得： ，
，
∴m的整数值为：2；（3）解：由题意得： ，
解得： ，则
．
【易错必刷九 求一次函数自变量或函数值】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）对于一次函数 （k，b为常数），表中给出5组自变量及其
对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
x 0 1 3
y 3 1 0
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，先任取两组值利用待定系数
法求出对应的函数解析式，再把剩下的三组值代入解析式中，若只有一组值不满足函数解析式，则改组的
函数值为错误的函数值，若超过一组不满足，则重合代值计算函数解析式，据此求解即可．
【详解】解：把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴只有 不满足 ，
∴这个错误的函数值是3，
故选：D．
2．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知两点 ， 均在直线 上，则
．【答案】11
【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，将 ， 代入直线 ，求出 ， 的值是解
决问题的关键．
【详解】解：将 ， 代入直线 ，
得： ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为：11．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数 的图象过点 ．
(1)求这个函数的表达式；
(2)若点 关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，一次函数图象上
点的坐标特点：
（1）把点 ， 代入 中，利用待定系数法求解即可；
（2） 关于x轴对称的对称点是 ，将其代入解析式中求解即可．
【详解】（1）解：把点 ， 入 得 ，解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解： 关于x轴对称的对称点是 ，
∵该对称点在函数的图象上，∴ ，
．
【易错必刷十 求一次函数解析式】
1．（2024·贵州黔南·一模）直线 如图所示，过点 作与它平行的直线 ，则k，b的值
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线 与直线 平行，可得 的值，再将
代入即可，熟知两直线平行，两条直线的解析式的 值相等是解题的关键．
【详解】解： 直线 与直线 平行，
，
把 代入 中可得，
，解得 ，
故 ， ，
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）某一次函数的图像经过点 ，且该函数 随 的增大而减小．请
写出一个符合条件的一次函数的表达式 ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题考查一次函数的解析式和性质，由一次函数的增减性设直线的解析式为 ，然
后将点 代入解析式得到 的值，再取一个符合条件的 的值即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为 ，
∵函数 的值随 值的增大而减小，
∴ ，
∵函数图像经过点 ，
∴ ，
取 ，
此时一次函数的解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
3．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数 的图象经过点 ，
(1)求 和 的值
(2)若 ， 是该函数图象上的两点，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质；
（1）根据待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
得 ，
解得： ；
（2）由（1）可得 ，∴ 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴ ．
【易错必刷十一 根据一次函数解析式判断其经过的象限】
1．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图像向右平移2个单位长度
后经过原点，则一次函数 的图像不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图像的平移、一次函数的性质，根据函数图像平移规则“左加右减”得到平移
后的函数解析式，再将原点坐标代入求的m值，根据一次函数性质求解即可．
【详解】解：根据题意，将一次函数 的图像向右平移2个单位长度后的函数解析式为
，
∵平移后的函数图像经过原点，
∴ ，则 ，
∴一次函数 的图像经过第一、三、四，不经过第二象限，
故选：B．
2．（2023·江西赣州·一模）无论a取何值，直线 都经过定点
．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线恒过定点的问题，分析题目可知需将已知直线进行适当变形，把
变形为 ，得出 ，然后解方程
组，求出结果即可．【详解】解：直线 可为变为：
，
∵无论a取何值，直线 都经过定点，
∴ ，
解得： ，
∴无论a取何值，直线 都经过定点 ．
3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）已知一次函数 （a为常数）．
(1)若 ，则这个函数图象不经过第________象限；
(2)若这个函数的图象经过原点，求a的值．
【答案】(1)二
(2)2
【分析】本题考查了一次函数的图象性质：
（1）把 代入 ，再结合一次函数的性质，即可求解；
（2）根据这个函数的图象经过原点，可得 且 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴这个函数图象经过第一、三、四象限，这个函数图象不经过第二象限；
故答案为：二
（2）解：∵这个函数的图象经过原点，
∴ 且 ，
∴ ．【易错必刷十二 已知函数经过的象限求参数范围】
1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）若直线 经过第二、三、四象限，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是函数图象与经过的象限，一次函数图象与系数的关系，理解一次函数的图象与系数
的关系是解决问题的关键．
【详解】解：直线 经过第二、三、四象限，
则 ，
解之得： ．
故选：B．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图为一次函数 的图象，则m的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，观察图象可知 ，构建不等式即可解决问题．
【详解】解：∵一次函数 的图象过第二、三，四象限，
∴ ，
解得： ．
故答案是： ．3．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知关于 的一次函数 ．
(1)若该函数的图象与 轴的交点在 轴下方，求 的取值范围；
(2)若该函数的图象经过第一、二、三象限，求 的取值范围．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的定义：
（1）对于一次函数 ，若其图象与 轴的交点在 轴下方，那么b小于0，据此列出不等式
求解即可；
（2）对于一次函数 ，若其函数图象经过第一、二、三象限，那么 ，据此列出
不等式求解即可。
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与 轴的交点在 轴下方，
解得 且 ，
即 的取值范围为 且 ．
（2）解： 一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
解得 ，
即 的取值范围为 ．【易错必刷十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题】
1．（2024·贵州·模拟预测）已知一次函数 的图象与正比例函数 的图象经过点 ，则该
一次函数函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与两轴交点问题，一次函数与两轴围成三角形
面积，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数与两轴交点问题，一次函数与两轴围成三角形面积是
解题关键．
用待定系数法求一次函数解析式，求两轴交点坐标，利用三角形面积公式求面积即可．
【详解】解：一次函数 的图象经过点 ，
则 ，
解得： ，
一次函数 ，
与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，
∴一次函数函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积=
故选择D．
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）直线 与 轴和 轴的交点分别为 和 ，则线段 上
（包括端点 和 ）横坐标和纵坐标都是整数的点共有 个．
【答案】5
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．根据题意可先求出点 的坐标，再列举求出符合题意
的点即可．
【详解】解：由 可得直线与 轴， 轴的交点分别为
由列举法可得线段 上（包括端点 和 ）横坐标和纵坐标都是整数的点有以下5个：．
故答案为：5．
3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数 的图像与过点 和
(1)求函数解析式；
(2)其图像与x轴，y轴分别交于点C，点D，求线段 的长
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点 和 代入 即可求解；
（2）分别令 ， ，求出 ，即可求解；
【详解】（1）解：将点 和 代入 得：
，
解得：
∴函数解析式为：
（2）解：令 ，则 ；令 ，则 ；∴
∴
【易错必刷十四 一次函数图象平移问题】
1．（2024·安徽宣城·一模）在平面直角坐标系中，若直线 是由直线 沿x轴向左平移m个
单位长度得到的，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，
得出即可．
【详解】解：∵直线 沿 轴向左平移m个单位长度，
∴ ，
∴
解得 ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若将直线 的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单
位所得直线解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据
平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
【详解】解：由题意，得
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据下列条件，分别确定一次函数的解析式：
(1)图象过 ， ；(2)直线 与直线 平行，且过点 ；
(3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求 的面积
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的 值相等
求解是解题的关键．
（1）设直线解析式为 ，把点 、 的坐标代入解析式得到关于 、 的二元一次方程组，求解得
到 、 的值，即可得解；
（2）根据平行直线的解析式的 值相等求出 ，然后把经过的点代入求出 的值，即可得解；
（3）根据题意画出图象，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线解析式为 ，
图象过 ， ，
，
解得 ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解： 直线 与直线 平行，
，
直线过点 ，
，
解得 ，
故直线解析式为 ；
（3）解：令 ，则 ， ，解得 ， ，
∴ ， ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
画出图象如图，
∴ ．
【易错必刷十五 根据一次函数增减性求参数】
1．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，
且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得， ， ，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴ ．∴ ．
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·重庆黔江·阶段练习）在一次函数 中，y随x的增大而增大，m的取
值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一次函数 的性质，当 时，y随x的增大而增大；当 时，
y随x的增大而减小；根据一次函数的性质可得 ，再求解即可；
【详解】 y随x的增大而增大，
，
，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数 ，
(1)若y随x增大而减小，求m的取值范围．
(2)若函数图象平行于 ，求这个函数的表达式．
【答案】(1)
(2)这个函数的表达式为
【分析】本题考查的是两条直线平行问题，一次函数的性质，熟知一次函数 中，当
时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
（1）根据一次函数的性质求出m的取值范围．
（2）根据互相平行的两条直线斜率相等求出m的值即可．【详解】（1）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，
∴ ，
解得 ．
（2）解：∵一次函数 的图象与直线 平行，
∴ ，
解得
这个函数的表达式为
【易错必刷十六 比较一次函数值的大小】
1．（23-24八年级下·四川内江·期中）已知点 ， ， 都在直线
上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据已知可判断出函数的 ，故 随x的增大而增大，根据
，即可出做判断．
【详解】解：直线 ，
，
，
随x的增大而增大，
，
，
故选：C．2．（2024八年级下·全国·专题练习）在同一坐标系中，如图所示，一次函数
的图象分别为 ，则 的大小关系是
．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，想知道k之间的大小关系，图中又无其他信息，对此我们可以自
己找点来近似的估计k值，如可近似估计四条线上的各一个异于 的点，然后代入求出 ．
再比较即可．
【详解】解： 如图：
把 代入 中，
结合图象可得： ．
故答案为：
3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)若点 和点 为函数图象上的两点，且 ，求a的取值范围；(2)若函数的图象经过点 ．
①求此函数解析式；
②如果x的取值范围是 ，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质以及正比例函数的图象上点的
坐标特征，解答该题时，充分利用了正比例函数图象上点的坐标特征．
（1）先根据 得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可
（2）①利用正比例函数图象上点的坐标特征，将点 代入该函数解析式，求得a值即可，②把
分别代入解析式求得函数值，即可求得y的取值范围
【详解】（1）解：由题意知正比例函数 得图象上两点点 和点 ，且
，
y随x的增大而减小，
，
；
（2）① 正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
则此函数关系式为 ；
②由①得 ，
画出函数图像：当 时， ；当 时， ，
y的取值范围为 ．
【易错必刷十七 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】
1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若直线 的图象经过点 ，则关于 的方程 的解
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用自变量 时对应的函数值为 可确定方程
的解，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．
【详解】∵直线 的图象经过点 ，
∴当 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ，
故选： ．
2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若一次函数 （ 为常数且 ）的图像经过点 ，则
关于 的方程 的解为 ．
【答案】10
【分析】本题考查一次函数与x轴的交点问题、与一元一次方程的解的关系．先把 代入 ，
得 ，整理得 ，与方程 作比较，即可作答．【详解】解：依题意，把 代入
得
∴
∵
即
∴
故答案为：10
3．（21-22八年级下·重庆大足·期中）已知 是 的一次函数，且当 时， ；当 时， ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)函数图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出这个一次函数的解析式为 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）分别令 ，求得 的坐标，然后勾股定理即可求解．
【详解】（1）设一次函数的解析式为 ，
因为
所以
所以这个一次函数的解析式为：
（2）在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，勾股定理求两点距离，求得一次函数解析式是解题的关键．
【易错必刷十八 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】
1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）如图，直线 过点 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键．
由题意知，不等式 的解集为一次函数图象在 轴上方部分所对应的 的取值范围，结合图象作答
即可．
【详解】解：由题意知，不等式 的解集为一次函数图象在 轴上方部分所对应的 的取值范围，
由图象可知，不等式 的解集为 ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 （ 是常数，
）的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集是 ， 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图像与一元一次不等式的知识，结合函数图像即可求出答案．【详解】解：根据函数图像可知：当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当 时，则y的取值范围是________________；
(3)当x在什么范围内时， ？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，是常用的一种解题方法．
（1）因为 与 成正比例，可设 ，又 时， ，利用待定系数法即可求出 与 的函
数解析式；
（2）分别将 及 代入中求解，再回答即可；
（3）图象与直线 的交点及其下方的部分所对应的 值即为所求．
【详解】（1）因为 与 成正比例，设 ，
又 时， ，
则
解得： ．
故 与 的函数关系式为： ；
（2）将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
所以y的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）当 时， ，∵ ，
∴ 随 的增大而减小，则图象与直线 的交点下方的部分所对应的 值使得 ，
时， ．
【易错必刷十九 根据两条直线的交点求不等式的解集】
1．（2024·山东德州·一模）已知直线 与直线 交于点 ，若点 的横坐标为3，则关
于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据交点 的横坐标为3，可得 ，得到
，代入 解不等式即可．
【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，若点 的横坐标为3，
∴当 时， ，
整理得到 ，
∴代入 得 ，
解得 ，
故选：B．
2．（2024·重庆·一模）如图，函数 和 的图象交于点 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数 的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当函数 的图象在函数 的图象上方时，自变量的取值范围为
，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
3．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 ，
，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 （ ）的值，直接写出m
的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问
题的关键．也考查了一次函数的性质．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式为 ，然后计算自变量为0时对应的函数值得到 点坐
标；
（2）当函数 与 轴的交点在点 （含 点）上方时，当 时，对于 的每一个值，函数
的值大于函数 的值．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过点 ， ，
，
解得 ，
该一次函数的表达式为 ，令 ，得 ，
，
；
（2）解：当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
，
．
【易错必刷二十 求直线围成的图形面积】
1．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，若直线 分别与
轴、直线 交于点 、 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数交点的计算，一次函数图象与坐标轴围成图形面
积的计算方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据题意先求出点A的坐标，再联立方程组解二元一次方程组求出点B的坐标，图形结合分析即可求解．【详解】解：已知直线 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
∴ ，
直线 与直线 交于点 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
作图如下，
∴ ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数 和 的图象都经过点 ，
且与y轴分别交于B，C两点，则 的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了利用待定系数法确定待定系数的值，图象上点的坐标特征，三
角形的面积，首先把 分别代入一次函数 和 ，求出 ， 的值，则求出两个函
数的解析式；然后求出 、 两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出 的面积．熟知待定系数
法是解题的关键．【详解】解：如图，
和 的图象都过点 ，
所以可得 ， ，
， ，
两函数表达式分别为 ， ，
则直线 与 与 轴的交点分别为 ， ，
．
3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知直线 的图象经过点 ， ，且
与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，解题的关键是明确一次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）直接利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵直线 的图象经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
【易错必刷二十一 一次函数的应用之分配方案问题】
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再
按每千米 元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车
方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和
B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案．
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费： ，
B方案∶ 一共需要花费： ，
若选择A方案， ，解得： ，
若选择B方案，得 ，
由于 ，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米，
故选：C．
2．（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，
调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为
．
【答案】
【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，
B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡
（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关
系式．
3．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项
目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量
比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100
元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够
用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
【答案】(1)打折前每个篮球的售价是120元
(2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元
【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设打折前每个篮球的售价是 元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出方程即可；
（2）根据题意列出总费用关于篮球个数的一次函数再求解即可．
【详解】（1）设打折前每个篮球的售价是 元，则打折后每个篮球的售价是 元，
由题意，得 ，解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元；（2）设购买篮球 个，则购买足球 个
设购买50个篮球和足球的总费用为 元
由题意，得
随着 的增大而减小
又
当 时， 取得最小值，最小值为
学校预算的1800元不够用
（元）
该学校至少还需要再添加2000元．
【易错必刷二十二 一次函数的应用之最大利润问题】
1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中
发现，日销售量 （个）与销售单价 （元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单
价是20元时，则当日的销售利润为（ ）
A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
【答案】B
【分析】根据题意，利用待定系数法求出 与 的一次函数关系式，然后将 代入即可求出销售量，
最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润．
【详解】解：设 与 的一次函数关系式为 ，由图可得 ，
解得 ，
所以 与 的一次函数关系式为 ，
把 代入 可得 ，
所以销售利润为 （元）．
故选B．
【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关
键．
2．（2022·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的
营养品，并恰好全部用完．信息如下表：
规格 每包食材含量 每包售价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所
获总售价最大，最大总售价为 元．
【答案】 400 22800
【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x
的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，
根据题意，得： ，
∴y=-4x+2000，
由x≥-4x+2000得：x≥400，
∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000，
∵-3＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元），
故答案为：400，22800．【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出
一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题．
3．（22-23八年级下·四川泸州·期末）某蔬菜商需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有甲、乙
两种型号货车，其租金和运力如表：
(1)若该商人计划租用甲、乙货车共10辆，其中甲货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
租金（元/辆） 最大运力（箱/辆）
甲货车 1000 80
乙货车 600 40
(2)在（1）的条件下，若这批蔬菜共520箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费
用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1) ；
(2)最节省费用的租车方案为：甲货车3辆，乙货车7辆，最低费用为 元．
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出函
数关系式是解题的关键．
（1）根据租金=甲货车的租金+乙货车的租金进行求解即可；
（2）先根据题意求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设计划租甲货车x辆，则计划租乙货车 辆，共需付租金y元，
由题意得 ；
（2）解：据题意 ，
解得： ，
∴ ，
∵ 中，
， 随 的增大而增大，
∴当 时，租车费用 最低，
∴最节省费用的租车方案为：甲货车3辆，乙货车7辆，
最低费用为 （元）．【易错必刷二十三 一次函数的应用之几何问题】
1．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 、 都是直线 （
为常数）上的点， 、 的横坐标分别是 ， ， 轴， 轴，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．因 不确定，故面积不确定
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形的面积．此题采用了“数形结合”的数学思想．根据题意求
得点 、 的纵坐标，据此可以求得 、 的长度，然后由直角三角形的面积公式求得 的面积．
【详解】解： 点 、 都是直线 （ 为常数）上的点， 、 的横坐标分别是 ， ，
， ，
又 轴， 轴，
， ， ，
，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平行四边形 中，点P从起点B出发，沿 ， 逆时
针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段 ， 与平行四边形的边所围成的图形面
积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则 边上的高是 ．【答案】4
【分析】本题考查一次函数图像的应用，根据图像得到 ， ， ，结合平行四
边形面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：由图像得，
， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，
且 ．
(1)求k的值；
(2)若将一次函数 的图象绕点 顺时针旋转90°，所得的直线与 轴交于点 ，且 ，求点
的坐标；
(3)在（2）的条件下，若 是 轴上任意一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，请求出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)(3)点P的坐标为 ， 或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值；
（2）根据 ，可以求出 的长，即可求得C的坐标；
（3）分 两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 中，
得 ，
解得 ；
（2）解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，
∵ ，
∴ ，
即 ．
，
，
，
点 的坐标为 ．
（3）解：∵点 的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ．
∵ 是 轴上任意一点，
∴设点P的坐标为 ，
则 ， ，①当 时，即 ，
解得 （舍去）， ，此时点 的坐标为 ．
② ，
即 ，
解得 或 ，
此时点 的坐标为 或 ，
综上：点 的坐标为 ， 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的是待定系数法求函数解析式，勾股定理、三角形的面积，等
腰三角形的性质等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
【易错必刷二十四 一次函数的应用之其他问题】
1．（2024·安徽亳州·一模）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下
表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据：
2
x（千克） 23 26 29 32
0
18
y（元） 0 90 270 360
0
若旅客携带了40千克的行李，他应该支付的运费为（ ）
A．450元 B．500元 C．560元 D．600元
【答案】D
【分析】本题考查了用一次函数解决实际问题，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
设运费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为 ，依据题意
代入 ， ，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：由题意得：设运费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为
∵当 ， ，∴代入得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故选：D．
2．（2021·山东济南·二模）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，
乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数图象如图所
示，那么从 开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间
（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
设乙仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
联立 ，
解得： ，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用
（元）与该水果的质量 （千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用 （元）与该水果的
质量 （千克）之间的函数解析式为 ．
(1)当 时，求 与 之间的函数解析式；
(2)现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】(1)
(2)在甲商店购买水果更多一些
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键；（1）设当 时， 与 之间得函数解析式为 ，然后根据图象及待定系数法可进行求解；
（2）根据题意分别求出在甲、乙两家购买水果的重量，然后问题可求解．
【详解】（1）解：设当 时， 与 之间得函数解析式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
当 时， 与 之间得函数解析式为 ．
（2）解：在甲商店购买： ，
，解得 ，
在乙商店购买： ， ，
，
在甲商店购买水果更多一些．
