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专题 07 圆的重难点模型汇编
【题型01：线圆最值问题】
【题型02 ：定弦定角】
【题型03：四点共圆】
【题型04：瓜豆原理】
【题型01：线圆最值问题】
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且
EF=10，点G是EF的中点，连结AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【答案】A
【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，
BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF=90°，又EF=10，点
1
G是EF的中点，即得BG= EF=5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G′
2
时，S 最小，此时四边形AGCD面积最小，最小值即为四边形AG′CD的面积，根据
△ACG
AB⋅BC 48
AB=12=CD，BC=16=AD，可得AC=20，S =96，BH= = ，可得
△ACD AC 523 1
G′H=BH−5= ，从而S = AC⋅G′H=46，得四边形AGCD面积的最小值是142．
5 △ACG′ 2
【详解】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于
G'，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵EF=10，点G是EF的中点，
1 1
∴BG= EF= ×10=5，
2 2
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G′时，S 最小，此时四边形AGCD面
△ACG
积最小，最小值即为四边形AG′CD的面积，
∵AB=12=CD，BC=16=AD，
1
∴AC=20，S = ×12×16=96，
△ACD 2
AB⋅BC 48
∴BH= = ，
AC 5
48 23
∴G′H=BH−BG′= −5= ，
5 5
1 1 23
∴S = AC⋅G′H= ×20× =46，
△ACG′ 2 2 5
∴
S
四边形AG'CD
=S
△ACD
+S
△ACG′
=46+96=142，即四边形AGCD面积的最小值是142．
故选：A．
1
2．如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的
4
圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是 ．7
【答案】
2
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函
数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接BC、BP，利用勾股定理可得BC=5，可知OQ
1
是△ABP的中位线，则OQ= BP，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
2
则此时OQ最大，求解即可．
【详解】解：如图，连接BC、BP，
1
令y= x2−4=0，则x=±4，
4
故点B(4，0)，
∵C(0，3)，
∴BC=❑√BO2+OC2=5，
设圆的半径为r，则r=2，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
1
∴OQ= BP，
2
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
则此时OQ最大，1 1 1 7
此时OQ= BP= (BC+r)= ×(5+2)= ，
2 2 2 2
7
故答案为： ．
2
3．如图， ⊙O的半径为1， PT切⊙O于点 T， PT=❑√5，则点P到⊙O的最小距离是
．
【答案】❑√6−1−/ 1+❑√6
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得PO的长，进而根据点到
圆的最小距离为PO−1，即可求解．
【详解】解：∵PT切⊙O于点 T，
∴PT⊥OT，
在Rt△PTO中，PT=❑√5，OT=1
∴PO=❑√PT2+OT2=❑√5+1=❑√6
∴点P到⊙O的最小距离是❑√6−1，
故答案为：❑√6−1．
4．如图，在等边△ABC中，AB=8，以点B为圆心，半径为2作⊙B，点D是AC边上的一
个动点，过点D作DE与⊙O相切于点E，则线段DE的最小值为
【答案】2❑√11
【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短等知识，
连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，则∠BFA=90°．勾股定理求得DE，BD≥BF，且
当BD的值最小时，DE的值最小，进而即可求解．【详解】如图，连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，则∠BFA=90°．
∵在等边△ABC中，AB=8，
∴ AC=8，
1 1
∴AF=CF= AC= ×8=4，
2 2
∴BF=4❑√3．
∵DE与⊙O相切于点E，BE=2，
∴DE⊥BE，
∴ DE=❑√BD2−BE2=❑√BD2−22．
∵BD≥BF，且当BD的值最小时，DE的值最小，
∴当BD=BF=4❑√3时，DE最小为❑√ (4❑√3) 2 −22=2❑√11．
故答案为：2❑√11．
5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,4)，⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，
PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．
【答案】2❑√3
【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题
关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接AB，AP，根据切线的
性质定理可得AB⊥PB，要使PB最小，只需AP最小即可，根据垂线段最短，当AP⊥x
轴时，AP取最小值，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接AB，AP，根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，当AP⊥x轴于P时，AP取最小值，
此时P点的坐标是(−3,0)，AP=4，
在Rt△ABP中，AB=2，
∴PB=❑√AP2−AB2=2❑√3，
则PB最小值是2❑√3．
故答案为：2❑√3．
6．如图，在直角坐标系中，A(−6,0)，D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且OB=AD，
DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 ．
【答案】3❑√5−3−/ 3+3❑√5
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股
定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，利用ASA判定出△FAD≌△AOB得到
AF=OA=6，再根据∠AEF=90°推出E点的运动轨迹，取AF的中点M，连接OM，用
勾股定理求出OM的长，即可求得最小值．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，∵A(−6,0)，
∴OA=6．
∵DE⊥AB，AF⊥x轴，
∴∠ADE+∠OAB=90°，∠F+∠ADE=90°，
∴∠F=∠OAB，
又∵AD=OB，∠FAD=∠AOB=90°，
∴△FAD≌△AOB（ASA），
∴AF=OA=6，
∵∠AEF=90°，
∴点E在以AF为直径的圆上，
取AF的中点M，连接OM，
1
∴ME=AM= AF=3，OM=❑√AM2+AO2=❑√32+62=3❑√5，
2
∴当点M、E、O三点共线时，有OE的最小值为OM−ME=3❑√5−3；
故答案为：3❑√5−3．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作
CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ．
❑√3
【答案】
3
1
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝ AC＝1，
2
推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
1
∴∠CAB＝60°，AC＝ AB＝2，
2
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵AO＝OC＝1，
1
∴OE＝ AC＝1，
2
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，
∴∠FEC＝∠EAT，
∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，
∴OF⊥EC，
∵AD⊥CE，
∵OF∥AD，
∴∠COF＝∠CAD＝30°，
❑√3
∴CF＝OC•tan30°＝ ，
3❑√3
∴CF的最大值为 ．
3
❑√3
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的
性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT
与⊙O相切时，CF的值最大．
【题型02 ：定弦定角】
8.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接
PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B． ﹣3 C．2 ﹣4 D．4 ﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交 O于P，此时PC最小，
⊙
∵OC＝ ＝ ＝2 ，∴PC的最小值为2 ﹣4，
故选：C．
9．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=3cm．D是BC边上的一个动点，连
接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是
（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的C´N上（不含点C、可含点N），从
而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝
BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的C´N上（不含点C、可含点N)，
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
1
在RtΔBCM中，BC=3cm，CM= AC=4cm，则BM=❑√BC2+CM2=5cm．
2
∵ME′=MC=4cm，
∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=1cm，
故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，
解题时，注意辅助线的作法．
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF
相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
(❑√5−1)a
【答案】
2
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性
质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明
△ABE≌△BCF(SAS)，可证∠AGB=90°，则点G在以AB为直径的一段弧上运动，当点
G在OC与弧的交点处时，CG最短，然后根据勾股定理求出OC的长即可求解．
【详解】解∶∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC=a，
∴在△ABE和△BCF中
{ AB=BC )
∠ABC=∠BCF
BE=CF
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的一段弧上运动，
设AB的中点为O，则当点G在OC与弧的交点处时，CG最短，∵AB=a
，
a
∴OB=OG= ，
2
∴OC=❑
√ (a) 2
+a2=
❑√5
a，
2 2
(❑√5−1)a
∴CG=OC−OG= ，
2
(❑√5−1)a
故答案为： ．
2
11.（广西模拟）如图，AC为边长为 的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N
分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和
BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当 ＝ 时，△PAB的面积最大，最大值＝ ×2 ×1＝ ，
故选：D．
12（柳南区校级模拟）如图，在边长为 的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边
上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝ OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
13．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于
1
EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB= ∠AGB，则DP的最小值
2
．【答案】2❑√10−2❑√2
1
【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB= ∠AGB=45°，可知点P在以AB
2
为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB
的右侧），设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知
❑√2 ❑√2
△AOB为等腰直角三角形，求得OA= AB=2❑√2=OP，AQ=OQ= OA=2，
2 2
QD=AD−AQ=6，OD=❑√OQ2+QD2=2❑√10，再由三角形三边关系可得：
DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线段OD上时去等号，即可求得DP的最小值．
【详解】解：∵B、G关于EF对称，
∴BH=GH，且EF⊥BG
∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，
∴EH∥AG，
∴∠AGB=90°，
1 1
∵∠APB= ∠AGB，即∠APB= ∠AGB=45°，
2 2
∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，
即点P在AB的右侧）
设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，
则OA=OB=OP，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，❑√2
∴OA= AB=2❑√2=OP，
2
又∵E为AB中点，
1
∴OE⊥AB，OE= AB=AE=BE，
2
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8，
∴四边形AEOQ是正方形，
❑√2
∴AQ=OQ= OA=2，QD=AD−AQ=6，
2
∴OD=❑√OQ2+QD2=2❑√10，
由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=2❑√10−2❑√2，当点P在线段OD上时去等号，
∴DP的最小值为2❑√10−2❑√2，
故答案为：2❑√10−2❑√2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定
1
及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB= ∠AGB=45°得知点P在以AB
2
为弦，圆周角∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60∘，AD=CD=4，点M
是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90∘，则△MBC面积的最小值为 ．
【答案】6❑√3−4
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O
作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，通过计算得出当O,M,E三点共线时，
ME有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作
OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，
∵ AB∥CD，∠DAB=60∘，AD=CD=4，
∴ ∠ADC=120°，
∵ AD=CD，
∴ ∠DAC=30°，
∴ ∠CAB=30°，
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°
∴∠B=90°−30°=60°，
∴ ∠B=∠DAB，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴ BC=AD=4，
∵ ∠AMD=90∘，AD=4，OA=OD，
1
∴ OM= AD=2，
2
∴点M在以点O为圆心，2为半径的圆上，
∵ AB∥ CD，
∴ ∠GCF=∠B=60°，
∴ ∠DGO=∠CGF=30°，
∵ OF⊥BC，AC⊥BC，
∴ ∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO，
∴ DG=DO=2，
∴ OG=2OD⋅cos30°=2❑√3，GF=❑√3，OF=3❑√3，
∴ ME≥OF−OM=3❑√3−2，
∴当O,M,E三点共线时，ME有最小值3❑√3−2，1
∴ △MBC面积的最小值为= ×4×(3❑√3−2)=6❑√3−4．
2
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定
是解题关键．
15．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB=90°,∠ABC=30°，连接OC，若⊙O
的半径是4，则OC长的最小值为 ．
【答案】2❑√3−2−/ 2+2❑√3
【分析】延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OE⊥AD交于点E，则△AOD
是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则CO的最小值为EO−DE，
再求解即可．
【详解】解：如图，延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OE⊥AD交于点
E，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AO=DO，
∴ΔAOD是等边三角形，
∵OA=4，
∴AD=4，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∵EO⊥AD，
∴AE=DE，
∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
在Rt△DEQ中，DO=4,DE=2，
∴EO=2❑√3，
∴CO的最小值为2❑√3−2，
故答案为：2❑√3−2．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三
角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，
将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
【答案】3❑√5−3−/ 3+3❑√5
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、
D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长
度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所
示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD❑=√CD2+BC2=❑√32+62=3❑√5，
∴BF=BD－DF3= ❑√5−3，
故答案为：3❑√5−3．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的
最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
17．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，
连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
❑√601−5
【答案】
2
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE
为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾
股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，
由BH=BE−EH即可算出BH的长度．
【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图：∵DH⊥AC
∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值
∵AB是直径
∴∠BDA=90∘
在Rt△BDA中，AB=13，AD=5
由勾股定理得：BD2=AB2−AD2
即：BD2=169−25=144
∵BD>0
∴BD=12
∵E为AD的中点
1 5
∴DE= AD=
2 2
5
在Rt△BDE中，BD=12，DE=
2
由勾股定理得：BE2=DE2+BD2
25 601
即：BE2= +144=
4 4
∵BE>0
❑√601
∴BE=
2
又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点
5
∴EH=
2
❑√601 5 ❑√601−5
∴BH=BE−EH= − =
2 2 2
❑√601−5
故答案为：
2
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题
的关键．18．【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，
在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，点P 、P 分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则
1 2
∠AP B=______°，∠AP B=______°．
1 2
(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=m(m<180°)，点P是⊙O上不与A、B重合的
一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数（用m的代数式表示）____________．
【问题解决】
(3)如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB=135°，用尺规作图的方法
作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
【实际应用】
(4)如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、
BE，交于点P，若始终保持AE=CF，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______．【答案】5(1) 0，130
m m
(2) 或180°−
2 2
(3)见详解
8❑√3
(4) π
3
【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；
（2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；
（3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为45°，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆
心角为90°画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案；
（4）根据题意易得ΔABE≌ΔCAF，即可得到∠APB=120°，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠AOB=100°，
1
∴∠AP B= ∠AOB=50°，
1 2
∵四边形AP BP 是圆内接四边形，
1 2
∴∠AP B=180°−∠AP B=130°，
2 1
故答案为：50，130；
（2）解：当点P在优弧AB上点为P ，在劣弧AB上的点为P ，
1 2
∵∠AOB=m°(m<180°)，
1 m
∴∠AP B= ∠AOB= ，
1 2 2
∵四边形AP BP 是圆内接四边形，
1 2
m
∴∠AP B=180°−∠AP B=180°− ，
2 1 2
m m
综上所述：弦AB所对的圆周角∠APB的度数为 或180°− ；
2 2（3）解：∵∠ACB=135°，
∴AB所在直线的下方点M，存在∠AMB=180°−135°=45°，
即A、B、P、M四点共圆，
作AB垂直平分线交AB于点N，
以点N为圆心AN为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点，
以O为圆心OA为半径画圆弧；
⏜
如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的
AB
．
（4）解：由题意可，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵AE=CF，
∴ΔABE≌ΔCAF(SAS)，
∴∠EBA=∠FAC，
∴∠APB=180°−60°=120°，
∴点P的路径是以AB为弦的圆弧，
6
∴弦AB所对圆周角为60°，圆心角为120°，半径为 =4❑√3，
sin60°
120°×π×4❑√3 8❑√3
∴点P运动的路径长是： = π．
180° 3
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图
——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹．【题型03：四点共圆】
19.如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点
D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；
④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤
【答案】D
【解答】解：在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE；
连接AC，
∵△ADG≌△CDE，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DAG+∠CAG+∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠CAG+∠ACD＝90°，
即∠AHC＝180°﹣（∠DCE+∠CAG+∠ACD）＝90°，
∴AG⊥CE；
∵AG⊥CE，∠GDE＝90°，
∴点G、D、H、E四点在以EG为半径的圆上；
∵a和b不一定相等，
∴DH不一定平分∠ADE；连接AC，AE，EG，CG，
∵AH2+CH2＝AC2，HG2+HE2＝EG2
∴AC2+EG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，
∵AH2+EH2＝AE2，CH2+HG2＝CG2，
∴AE2+CG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，
即AC2+EG2＝CG2+AE2，
∴①②③⑤结论正确；
故选：D．
20.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值
（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，
此时C点在 的中点处，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4 ，
∴CB+CD最大值为AC＝4 ，
故选：A．
21．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ADC，AC⊥CD，且
∠BAC=∠ADB．(1)证明：∠BAD+∠BCD=180°；
(2)若∠ADB=30°，AD+CD=4❑√3，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=4
【分析】（1）由题意推出∠BCA=∠ADB，从而得到A、B、C、D四点共圆，进而得出
结论即可；
（2）首先根据已知信息求出AD，再结合四点共圆的结论，在Rt△ABD中求解BD即可．
【详解】（1）证：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BCA=∠ADB，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADB=30°，BD平分∠ADC，
∴∠ADC=60°，∠CAD=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2CD，
∵AD+CD=4❑√3，
8❑√3 4❑√3
∴AD= ，CD= ，
3 3
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
8❑√3 8❑√3 ❑√3
∴在Rt△ABD中，BD=AD·cos∠ADB= ×cos30°= × =4，
3 3 2∴BD=4．
【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握
圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键．
【题型04：瓜豆原理】
22．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C，点P为⊙C上的动点，连
接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP′，连接CP′，在点P运动的过程中，CP′长
度的最大值是（ ）
A．5❑√2+2 B．3❑√2+2 C．5❑√2−2 D．3❑√2−2
【答案】A
【分析】
通过画图发现，点P′的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当P′在对角线CA延长线上
时，CP′最大，连接CP，先证明△PBC≌△P′BA，则AP′=PC=2，再利用勾股定理求
对角线CA的长，即可得出CP′长度的最大值．
【详解】解：如图，当P′在对角线CA延长线上时，CP′最大，连接CP，
由旋转得：BP=BP′,∠PBP′=90°，
∴∠P′BA+∠ABP=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠CPB=∠ABP′，在△PBC和△P′BA中，
{
BP=BP'
)
∠CBP=∠ABP' ，
BC=AB
∴△PBC≌△P′BA(SAS)，
∴AP′=PC=2，
∴P′在以点A为圆心，半径为2的圆上，
在Rt△ABC中，AB=BC=5，
∴AC=❑√AB2+BC2=5❑√2，
即CP′长度的最大值为AC+AP′=5❑√2+2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和
最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键．
