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专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E
点，那么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是 的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如
果 ，则F、D、E三点共线．
图1 图2
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，
如图2，则 。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是
三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线
段成比例和相似来解决。
例1.如图，在 中，D为AC中点， ，求证： ．
【解析】∵HFC是 的梅氏线，∵直线AE是 的梅氏线，∴ ．∴ ，∴ ，
∵直线AF是 的梅氏线，∴ ，
∴ ， ．∴ ．
【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
例2.如图，在 中， ， ，AD、BE交于点 ，求 ．
【解析】∵HFC是 的梅氏线，由AFD截 可得，
又 ， ，∴ ．
【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
例3.如图所示， 被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小
三角形的面积如图所示，求 的面积．【解析】有题意知： ，
和截线 ，由梅氏定理得： ，即 ，∴ ，∴
对
∴
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．
例4.已知AD是 的高，点D在线段BC上，且 ， ，作 于点E， 于
点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．
【解析】如图，设 ，EFG是 的梅氏线．则由梅涅劳斯定理 ．
显然的 ， ，于是 ，得 ．
【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．
例5. 如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：
D、E、F三点共线。
【解析】由外角平分线性质定理可得: ； ； ．所以 由梅涅劳斯定理的逆定理可得D、E、F三点共线。
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．
例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．
梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，
这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与
三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设 ， ， 依次是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足
．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线 交 的边 于点 ，交边 于点 ，交边 的延长线与点 ．
过点 作 交 于点 ，则 ， （依据），
∴ ，∴ ，即 ．
情况②：如图2，直线 分别交 的边 ， ， 的延长线于点 ， ， ．…
(1)情况①中的依据指： ；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3， ， 分别是 的边 ， 上的点，且 ，连接 并延长，交
的延长线于点 ，那么
【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(2)证明过程见详解(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作 交 于 ，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理 即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作 交 于 ，
则有 ， ∴ ，
∴ ，则 ，变形得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：
．
证明：如图，由三角形面积的性质，
有 ， ， ．以上三式相乘，得 ．
例8. 如图，设M为 ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求
证：EF//BC。 △【详解】证明：在 中，∵点D为边BC的中点，∴ ．
对 ABC和点M应用赛瓦定理可得： ．
△
∴ ，∴ ． 即EF//BC；
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长
DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。
解答：证明：如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行
线交AE的延长线于J．对△BCD用塞瓦定理，可得 ①因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理知 ．代入①式得 ②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则 ．代入②式得 ．
从而CI=CJ．又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．
点评：本题难度较大，考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，
直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证： .
对 DKL和点B应用赛瓦定理可得： ．①
△
对 和截线 ，由梅氏定理得： ②
由①②得：
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若 为等
边三角形（图3）， ， ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 的面积．
【答案】(1)证明见解析(2) ； 的面积为
【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；
（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明 ，可
求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据 可求△BCF的面积，从而得解．
【详解】（1）证明：在 中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴ ， ．
由赛瓦定理可得： ．∴ ，∴ ．即点F为AB的中点；
（2）解：∵ 为等边三角形， ，∴
∵点D是BC边的中点，∴ ，
∵ ，∴ ．由赛瓦定理可得： ；过点F作FG⊥BC于G，
∴ ， ，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴ ，∴
又 ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞
瓦定理是解题的关键．
课后专项训练
1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝ AB，连接EM并延长，交BC的延长线
于D，则 ＝（ ）A． B．2 C． D．
解：法1：对 和截线 ，由梅氏定理得： ，
∵M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝ AB，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故选B.
法2：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，
∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴ ＝ ，
∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，
∵AE＝ AB，∴CP＝ AB，∴CP＝ BE，
∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴ ＝ ＝ ，
∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即 ＝2．故选：B．
2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的
面积是△ABC的面积的（ ）A． B． C． D．
解：对△ADC用梅涅劳斯定理可以得： • • ＝1，则 ＝ ．
设S△BCF ＝ ，S△BCQ ＝ S△BCE ＝ ，S
BPRF
＝ S△ABD ＝ ，
∴S△PQR ＝S△BCF ﹣S△BCQ ﹣S
BPRF
＝ S△ABC ．故选：D．
3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ，
， ，垂足为D，E为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点F作 于H，根据勾股定理求得 的值，根据三角形的面积求得 的值，根据勾股
定理求得 的值，根据相似三角形的判定和性质可得 ，设 ， ， ，根
据相似三角形的判定和性质可求得k的值，即可求得 和 的值，根据勾股定理求得 的值，即可求
解．
【详解】解：如图，过点F作 于H．
在 中， ， ，则 ，
∵ ，∴ ，即 解得： ，在 中， ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，设 ， ， ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和
性质是解题的关键．
4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是
边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相
交于点 ．当点 为 的中点时， 的长为 ．
【答案】 /
【分析】则E为 的中点，得 为 的中点，证明 ，推出
，在 中，利用勾股定理求得 ，再根据相似比即可求解．
【详解】解：∵由平移的性质得 ， ，
∴E为 的中点， ，∴ ，∴ 为 的中点，
∵D是 边上的中点，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题．
5.如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边
形BCEF的面积为 ．
解：∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得， • • ＝1，
即 • • ＝1，则 ＝ ，
连FC，S△BCF ＝ S△ABC ，S△CEF ＝ S△ABC ，
于是S
BCEF
＝S△BCF +S△CEF ＝ S△ABC ＝ × ×2×2sin60°＝ × ＝ ．故答案为 ．
6.如图，在 中，AD、CE交于点F，若 ， ，求 ．
【解析】∵直线 是 的梅氏线，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
7.P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的
平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．
D F
C
K
G P
H
Q
A E B
【解析】对 和截线DPQ，由梅涅劳斯定理的逆定理得：
AQ HP GD AE EB CH EB CH CB CH
1，故D，P，Q三点共线．
QH PG DA KH AE CB KH CB CH CB
【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．
8.（2023.湖北九年级期中）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一
条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 • • ＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有 ＝ ．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，
CF与AD交于点E，则AE＝ ．
解：（1）补充的证明过程如下：
∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴ ，∴ ；
（2）根据梅涅劳斯定理得： ．又∵ ， ，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，
则由勾股定理知：AD＝ ＝ ＝12．∴AE＝6．故答案是：6．
9．（江苏2022-2023学年九年级月考）如图1，在 中，D是 边上的一点，过点D的直线分别与
、 的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是 的中点， ，求 的值；如图2，可以过点C作 ，交 于点
P；如图3，也可以过点A作 ，交 延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为 上任意一点，求证： ．
拓展应用：（2）如图5，P是 内任意一点， ，则 _______， ____．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【分析】（1）过点C作CP∥AB交MN于点P，由题意易得 ， ，则有
， ，然后问题可求证；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，由题意易得
， ， ， ，然后根据相似三角形的性质可进行求
解．
【详解】（1）证明：过点C作CP∥AB交MN于点P，如图所示：∴ ， ，∴ ， ，∴ ；
（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，如图所示：
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ；
∵DH∥AC，∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ；故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2023·四川内江·中考模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S ：S = ；当点D是BC边上任意一点时，
ABD ABC
△ △
S ：S = （用图中已有线段表示）．
ABD ABC
△ △
探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜
想S 与S 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
BOC ABC
△ △
拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结
CO并延长交AB于点E，试猜想 的值，并说明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S ：S =OD：AD，理由见解析；（3） =1，理由见
BOC ABC
△ △
解析．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，
可得答案．
【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S ：S =1：2；当点D是BC边上任意一点
ABD ABC
△ △
时，S ：S =BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；
ABD ABC
△ △
（2）S ︰S ＝OD︰AD．
BOC ABC
△ △
理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．
∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴ ．
∵ ，∴ ．
（3） ．
理由如下：由（2）得 ，同理可得 ， ．
∴ ＝1．
【点睛】本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．
11．（2023·重庆·八年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 ,
．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ．【答案】 .
【分析】先画出图形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由题推出EF:FC=1:3，
BH:CH=1:2，求出 BEF, BFH的面积即可．
【详解】根据题意△画出图△形:
作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，
∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，
设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，
∵AE= 2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，
∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴ DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，
∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=G△H，∴CH=2DG，∴BH=2CH，
∵BE= AB，∴S BEC= S ABC= ，∵EG= EC，∴S BEF= S BEC= ,S BFC= ，
△ △ △ △ △
∵BH= BC，∴S BHF= × = ，∴S BEFH= + = ．
四边形
△
【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证．12．（2023上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解
答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
(1)求 的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．
【答案】(1) (2)AC的长为 a．
【分析】（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM
之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．
【详解】（1）解：过点F作FM∥AC，交BC于点M，
∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，FM= AC．∵CD=BC，∴CM= CD，∴ ，
∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．
∴ ．∴ ．∴ ；
（2）解：∵点F是AB的中点，AB=a，∴FB= AB= a．
∵FB=AE，∴AE= a．由（1）知， ，∴AC= AE= × a= a，即AC的长为 a．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三角形是解本题的关键．
