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专题 1-2 二次根式（拓展提升，运用整体思想解题的技巧）
1.（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
2.（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3.（21-22八年级下·四川成都·期末）已知 ， ，则 的值为 ．
4.（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知 ，则 ．
5.（22-23八年级下·广东湛江·期中）已知： ，求 ， 的值．
6.（20-21八年级下·河南商丘·期末）（1）先化简，再求值： ，其中 ；
（2） ， ，求 的值．7.（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
8.（2022春•庐阳区校级期中）已知： ， ，求
（1） 的值；
（2） 的值．
9.（2022春•东营区校级月考）已知 ， ，求：
（1）求 的值；
（2）求 的值．10.（2021春•孝义市期中）已知 ， ．求 的值．
11．（2021春•西丰县期中）已知 ， ，求代数式 的值．
12．（2021春•建阳区期中）已知 ， ，求下列代数式的值：
（1） ；
（2） ．
13．（2021春•钟祥市期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ．
（2） ．14．（2020春•田东县期中）已知 ， ，求代数式 的值．
15．（2023秋•长沙期末）已知 ， ，求下列各式的值；
（1） ；
（2） ．
16．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知 ，求代数式 的值．
解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
任务：
(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（ ）
A．平方差公式 B．完全平方公式C．因式分解 D．单项式与多项式的乘法
(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（ ）
A．整体与化归思想 B．方程思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(3)已知 ，求 的值．
17．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在课外学习活动中，小明遇到一道题：已知 ，求
的值．
他是这样解答的： ，所以 ．
所以 ，即 ．
所以
所以 ．
小明的解题过程运用了二次根式化简的方法和整体思想，请你参考他的解题过程，解决如下问题：
(1) ______；
(2)化简： ；
(3)若 ，求 的值．18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使
不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如， ，求证： ．证明：
左边 右边．
阅读材料二：基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力
工具．例如：在 的条件下， ，∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小
值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则 的最小值为______．
(2)若正数a，b满足 ， ，n为 的最小值，求 ；
(3)若正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，求实数m的取值范围．19．（20-21八年级上·江苏南通·阶段练习）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀
门发现新问题、结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例如： ，求证：
证明：左边：
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群
生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征：
阅读材料二
基本不等式 （ ， ），当且仅当 时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有
力工具．
例如：在 的条件下的，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？解：∵ ， ，∴ ，即 ，
当且仅当 ，即 时， 有，最小值为2，
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知 ，求下列各式的值：
① ____________
② ____________
（2）若 ，求 的值；
（3）已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；
（4）若正数a、b满足 ，求 的最小值．
