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万州二中 2023 年高 2023 届 1 月质量检测
数学试题 参考答案
1．C
【分析】根据向量坐标的线性运算求 的坐标.
【详解】由题设， .
故选：C.
2．D
【分析】由异面直线定义可直接得到结果.
【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
故选：D.
3．C
【分析】对于A：由图得众数的估计值为最高矩形的中点对应的值；
对于B：由 ， ， 所对应的矩形的面积得出数据的中位数的估计值在 区间内，
计算可判断．
对于C：根据频率直方图的平均数的估计值计算公式可判断．
对于D：由频率直方图估计车速超过 的概率为 ．
【详解】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值 ，故A正确．
对于B： ， ， 所对应的矩形的面积分别为 ， ， ，其和为 ，而
对应的矩形面积为 ，因此中位数的估计值为 ，故B正确．
对于C：平均数的估计值为 ，故C错
误．
对于D：估计车速超过 的概率为 ，故D正确．
故选：C．
4．C
【分析】先证明 ，从而可证平面 平面 ，则有顶点 的射影在 上，从而可得
，即有 是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.
【详解】连接 ，交点为 ，如图所示：，且 是公共边，
， ，
易得 ， ，
即 ，又 ， ，
， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，
， ，
平面 ， ， ，
由 是公共边， ，
即有 ，
三点在以 为直径的圆周上，
， ， ，
，
，
.
故选：C
5．A
【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段 的中点得到 ，即可求出离心率,
【详解】由题意知：渐近线方程为 ，由焦点 ， ，
以 为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，
则圆的半径 等于圆心到切线的距离，即 ，
又该圆过线段 的中点，故 ，
所以离心率为 .故答案为： .
6．B
【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.
【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，
面积为16，故边长 ，
即底面半径 ，侧棱长为 ，
则圆柱的侧面积是 ，
故选：B.
7．C
【解析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明
MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN
与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；
利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两
侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.
【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，
易知ON与BM平行且相等， 四边形ONMB为平行四边形， MN‖BO,
∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；
∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；
∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；
显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综
合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行
四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.8．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】 ，
令 ， ，则 ， ，
，
当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，故 有最小值 .
故选：D.
9．AC
【解析】根据图象判断出 的单调区间、极值（点）.
【详解】由图象可知 在区间 和 上 ， 递增；在区间 上 ，
递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确.
在区间 上， 是 的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．AB
【分析】根据单调性的定义得出 与 的关系后判断．
【详解】由函数单调性的定义，可知若函数 在给定的区间上单调递增，则 与 同号，
由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为 ， 的大小关系无法判断，所以 ，
的大小关系也无法判断，故C错误，
故选：AB．
11．ACD
【分析】根据 ，由指数运算法则，可得A对B错；由 两边取对数，可判断C正确；由
两边取对数，可判断D正确.
【详解】因为正数 ， ， 满足 ，
由 ，所以 ，即A正确，B错；
由 两边同时取以 为底的对数，可得 ，即C正确；由 两边同时取以 为底的对数，可得 ，即D正确；
故选：ACD.
12．ACD
【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.
【详解】对于A，B，抽1件不合格品有 种，再抽2件合格品有 种，由分步计数乘法原理知，
抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种，A正确，B不正确；
对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有 种，2件是不合格品的抽法有
种，
由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种，C正确；
对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有 种，
抽出3件全是合格品有 种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有( )种，D正确.
故选：ACD
13．
【分析】利用正弦定理即得.
【详解】由正弦定理可得， ，
∴ .
故答案为： .
14．
【分析】根据正态分布的对称性即可求出答案.
【详解】因为随机变量X服从正态分布 ，所以正态曲线关于 对称，
又因为 ，所以 ，
故答案为： .
15． ##
【分析】要使不等式 对任意实数x恒成立，只需 即可，求出
的最小值即可得出答案.
【详解】解：因为不等式 对任意实数x恒成立，所以只需 ，
，
所以当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
16． ##
【分析】画出图形，结合重心的性质，向量的数量积，模的算法和余弦定理，即可算出答案.
【详解】如图，设 的中点为 ，连接 ，因为等边三角形ABC的重心为G，所以 ，
设 在z轴上的投影是 ，则
又 在z轴上的投影是z，所以 ，该等边三角形的边长为2，
在 中， ，同理可得 ，
因为 ，
所以
=
=
=
故答案为：17．（1） ， ；（2） .
【分析】（1）由中点坐标公式得出M的坐标，由向量加法公式即可求得 的坐标；
（2）设出D的坐标，用向量共线的坐标运算即可解得.
【详解】解：（1） 是线段 的中点，
（2）设 ，则 ，
∵ ∥ ，∴ ，解得 ，
点 的坐标是 .
18．（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得 ，从而可求出 的值；
（2）由于当 时， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，所以只要
，从而可求出a的取值范围
【详解】解：（1）因为 有一零点 ，
所以 ，
所以 ．
（2）因为当 时， 恒成立，
需 ，即 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 ．
19．（Ⅰ）当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）当年产量为50千件时，每千件药
品的平均利润最大为30万元．
【解析】（Ⅰ）根据题意可得利润 ，根据二次函数性质即可求出最大值；
（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.
【详解】（Ⅰ）设所获利润为 万元，
则由题可得 （ ），
当 时， ，
所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）可知平均利润为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）取 AD 的中点G ，分别连接 AG ，GE ，依题意可得 ，再证 ，即可得
1 1
到 ，从而得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知E 到平面C FD 的距离即为 BE 到平面C FD 的距离，
1 1 1 1
设 E 到平面C FD 的距离为 h ， 再利用等体积法求出点到面的距离；
1 1
【详解】解：（Ⅰ）证明：取 AD 的中点G ，分别连接 AG ，GE ，
1 1
因为 且 ， 且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 且 ，所以四边形 AFD G 为平行四边形，
1
所以 ，所以 ，
因为 平面C FD， 平面C FD .
1 1 1 1
所以 BE 平面C FD .
1 1
（Ⅱ）因为 BE 平面C FD，
1 1
所以 E 到平面C FD 的距离即为 BE 到平面C FD 的距离，
1 1 1 1
设 E 到平面C FD 的距离为 h ，
1 1
因为C D 平面 AADD ， 平面 ，所以C D FD ，得 ，
1 1 1 1 1 1 1
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 BE 到平面C FD 的距离为 .
1 1
21．(1) (2)【分析】（1）根据离心率为 ，可得 ，再将点 代入求得 ，即可得出答案；
（2）根据椭圆定义求得 ，再利用余弦定理求得 ，从而可得出答案.
(1)解：因为椭圆的离心为 ，则 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
(2)
解：因为 ， ，
由 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
22．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，即可求得实数 的值；
（2）分 、 、 三种情况讨论，利用导数分析函数 的单调性，利用函数的最值与极值
的关系可求得实数 的取值范围.
（1）
解：函数 的定义域为 ，
，
由已知可得 ，解得 .
（2）解：因为 ，令 .
①当 时，对任意的 ， 恒成立，则 ，
此时函数 在 上单调递减，没有最大值；
②当 时， 在 上单调递减，则 ，则 ，
此时函数 在 上单调递减，没有最大值；
③当 时，方程 的两根分别为 ， ，
由 可知 ，列表如下：
增 极大值 减
所以函数 在 处取得最大值，
综上所述，实数 的取值范围是 .
