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专题 11.10 三角形（全章精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，
其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
2．（2024·北京海淀·二模）五边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．14，4，9 D．7，2，4
4．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在 中， 边上的高线是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中，点 为边 的中点，连接 ，取 的
中点 ，连接 ， ，点 为 的中点，连接 ，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点 作
，交直线 于点 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·河南南阳·三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光
心 的光线相交于点 ，点 为焦点．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北邢台·三模）如图，在四边形 中， ，E为对角线 上一点，点
F，G分别在 ， 边上，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形 的面积为 ， 点在 上，三角形
的面积是三角形 面积的2倍， 的长为2， 的长为5，那么三角形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，将一块含 角的三角板放在一组平行线上（ ），顶点A为三角板的直角顶点， 平分 ．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c为 的三边且c为偶数，若 ，
则 的周长为 ．
12．（17-18八年级上·天津武清·期末）如图，已知 是 的边 上的中线，若 ，
的周长比 的周长多 ，则 ．
13．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处， 与 相交于点
E，设小正方形的边长为1，则阴影部分 的面积等于 ．
14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ，点D在B边上，将
沿 折叠，使点B恰好落在 边上的点E处．若 ，则 度数为 ．
15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在 中， ， ，点是边 上一动点，连接 ，当 为直角三角形，则 ．
16．（2024·江苏徐州·二模）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，
已知 ， ， ，则 的度数是 ．
17．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）如图，四边形 中， ，点 、点 在 上，将
沿 折叠，点 落在点 处，线段 所在的直线 平分 ，将 沿 折叠，点 刚好落在
线段 上的点 处，且两条折痕形成的 ，则 ．
18．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图 与线段 交于点E，交 延长线于点F，
平分 ，若 ， ， ，则 度．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知在 中， 、 、 为 的三边．
（1）化简代数式 ______；（填空）
（2）若 、 、 满足 ，且 ，求 周长．20．（8分）（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，已知 分别是 中 边上的高，
，求 的长．
21．（10分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 于
点 ，过点 作 分别交 ， 于点 ， ． ， ，
（1）求 的度数；
（2）试猜想 与 是否相等，并说明理由．
22．（10分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在 中，点E，F在边 上，点D在边
上，点G在边 上，连接 、 、 ， 与 的延长线交于点H， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 的度数．23．（10分）（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果
一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三
角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角
形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）若一个“梦想三角形”有一个角为 ，则它的最小内角的度数为_________；
（2）如图1，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为端点
作射线 ，交线段 于点 （点 不与 重合），若 ，判定 、 是否是
“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点 在 的边上，连接 ，作 的平分线交 于点 ，在 上取一点 ，
使得 ， ．若 是“梦想三角形”，且 ，求 的度数．
24．（12分）（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为原点，点 是y
轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A．
（1）点A的坐标为________；
（2）如图2，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 方向运动，当点F运动到点B时，停
止运动．设点F运动时间为t秒，用含t的式子表示F点的坐标；当t为何值时， 的面积为6？求出
此时点F的坐标；
（3）过点F作直线 交x轴正半轴于E，交线段 于D，若 ， 的平分线相交于点N，，请用含 的式子表示 的大小，并说明理由．参考答案：
1．B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题
的关键．
【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握 （ 为多边形的边数）是解题的关键．根据多边
形内角和公式 （ 为多边形的边数）即可求解．
【详解】解： ，
故选：C ．
3．B
【分析】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三
角形三边关系是解题关键．利用三角形三边关系进行判定即可．
【详解】解：A、 ，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
B、 ，成立，符合题意；
C、 ，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
D、 ，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂
线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键．直接根据三角形的高的定义即可得到答案．
【详解】解：由图可知：在 中， 边上的高线是线段 ．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点，推出 ， ，根
据 得出答案即可，明白等底同高的三角形面积相等是解题的关键．【详解】解：∵点 为边 的中点，
∴ ，
∴ 和 等底同高，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ 和 等底同高，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ 和 等底同高， 和 等底同高，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质；根据平行线的性质可得 ，进
而根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得 ，利用对顶角
相等求得 ，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解： 一束光线平行于主光轴，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴故选：B．
8．B
【分析】本题考查了多边形内角和，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质得到
， ，再由三角形外角的性质得到 ，最后
根据四边形内角和计算即可．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
， ，
．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积
公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是梯形，
∴ ，
∴三角形 边 上的高 三角形 边 上的高（平行线之间的距离处处相等），
又∵三角形 的面积是三角形 面积的2倍， 的长为2，
∴ ，
∵梯形 的面积为 ， 的长为5，
∴梯形 的高 ，
∴ 和 之间的距离 ，即三角形 边 上的高 ，
∴三角形 的面积 ，故选：A．
10．D
【分析】根据平行线的性质求出 ，由角平分线得到 ，由平行线
的性质得到 ，根据三角形外角的性质得到 ，由对顶角相等即
可得到答案．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、对顶角的性质、角平分线的相关计算等知识，
求出 是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和二次方的非负性，三角形三边关系的应用，先根据非负数的
性质求出 ， ，三角形的三边关系求出 ，再求出周长即可．
【详解】解：∵a，b满足 ，
∴ ， ，
解得 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∵a，b，c为 的三边且c为偶数，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故答案为：10．
12．
【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出 ， ，代入数据即可求解．
【详解】解： 是 的边 上的中线，
，
又 ， 的周长比 的周长多 ，
，
即 ，
，
故答案为： ．
13．4.5
【分析】本题主要考查三角形的面积，由网格图求解 和 的面积，再利用
可求解．
【详解】解：由图可知：四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：4.5．
14． /67度
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，
解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．
【详解】解： 将 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处， ，
， ，
∵ ，，
，
，
故答案为： ．
15． 或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，分两种情况：当 时；当 时；分别利用三
角形内角和定理计算即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵ 为直角三角形，
∴当 时，如图，则 ，
，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当 为直角三角形，则 或 ，
故答案为： 或 ．
16． /92度
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质
是解题的关键．延长 交 于 ，由三角形的外角性质得 ，再由平行线的性质
得出 即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
，．
，
，
故答案为： ．
17． / 度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得
，设 ，则由平行线的性质可得
，再由角平分线的定义推出 ，进而由平角的定义得到
，则由三角形内角和定理可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ．
18．
【分析】先证明 ，则 ，从而可得出 ，再根据 ，
，可求得 ， ，即可求得 ，再根据角平分线定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故答案为∶
【点拨】本题考查垂直的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握解平分线与三角形内角
相关的角的运算是解题的关键．
19．(1)
(2) 的周长为 ．
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减运算，解题关键是熟练掌握
三角形三边关系．
（1）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，结合绝对值性质即可求解；
（2）设 ，表示出 、 、 ，代入等式求出 值后求出 、 、 ，再根据三角形周长公式
计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得： ， ，
．
故答案为： ．（2）解：设 ，
， ， ，
，
，
，
， ， ，
．
的周长为 ．
20．
【分析】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键．三角形的面积等
于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，分别以 为底，写出 的面积的两种表示方法；
结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目．
【详解】解： ，
将 代入得到：
解得， ．
21．(1)
(2)相等
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得 ，根据角平分线的性质和平行线的性质可可求
的度数；
（2）由 可得 ，进而求出 ， ．
【详解】（1）解： ， ，
，
又 平分 ，
；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用同位角相等，两直线平行可得 ，从而利用平行线的性质可得 ，然后利
用等量代换可得 ，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得 ，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得 ，然后利用三角形的外角性质可得 ，
从而可得 ，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
，
，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
，
是 的一个外角，
，
，
，
．
23．(1) 或
(2) 、 都是“梦想三角形”，见解析
(3)【分析】本题考查了三角形内角和定理、“梦想三角形”的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识
点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况：当 时三角形的一个内角的 倍时，当另外两个内角是 倍关系时，分别求解即可得
出答案；
（2）根据“梦想三角形”的定义判断即可得出答案；
（3）根据“梦想三角形”的定义、角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当 时三角形的一个内角的 倍，则有这个内角为 ，第三个内角为
，故最小的内角为 ，
当另外两个内角是 倍关系时，则有另外两个内角分别为 ， ，故最小的
内角为 ；
综上所述，它的最小内角的度数为 或 ；
（2）解：结论： 、 都是“梦想三角形”．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为“梦想三角形”，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“梦想三角形”；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是“梦想三角形”， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
24．(1)
(2)F点的坐标为 ；此时点F的坐标为 ；
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由平移的性质即可得到点A的坐标；
（2）利用平移的性质求得F点的坐标；利用三角形面积公式可求出答案；
（2）过点N作 轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出
， ，再利用三角形外角性质，即可得出 的度
数．
【详解】（1）解：∵将点 向右平移6个单位得到点A的坐标为 ．
故答案为： ；
（2）解：由题意得 ， ，
∴ ，
∴F点的坐标为 ；∴ ，
解得 ，
此时点F的坐标为 ；
（3）解： ，理由如下：
过点N作 轴，如图，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了坐标变换—平移，平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识，灵
活运用这些性质解决问题是本题的关键．
