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专题11.17 三角形（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
4．五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是（ ）
A．正方形和正三角形 B．正方形和正八边形
C．正三角形和正十二边形 D．正方形和正六边形
7．下面四个图形中，线段 能表示三角形 的高的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 的中线 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ．以下结论一定正确的是
（ ）A． B． C． D．
9．如图， ，点 是 上一点，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，
，则 的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．45°
10．如图，在 中， ， ，将点A与点B分别沿 和 折叠，使点A、B与点
C重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的取值范围 ．
12．在 中， ，则 ．
13．如图， 是 的中线，E是 的中点，连接 ，若 的面积为5，则 的面积为
．
14．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝ ．15．如图所示的正方形网格，A、B、C、D是网格线交点，则 的面积与 的面积的大小关
系为： ．填“ ”、“ ”或“ ”）
16．如图， ， 平分 ， ， ，则 ．
17．如图， 是 的角平分线， 是线段 延长线上一点， 于点 ，当
时， 的度数为
18．如图，点B，C，D都在直线l上，点A是直线外一点， ．若 ， ，
，则 长的最小值为 ．三、解答题
19．如图，在 中，点 为 中点，E为 上一点， ，若 与四边形
的周长相等，求 的值．
20．如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题：
(1) 作边 上的高 ；
(2) 过点D作直线 的垂线，垂足为E；
(3) 点B到直线 的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
21．如图，在 中， 是中线， 是的高，且 ， ．
(1) ___________ （填数字）；
(2) 求 及 的长；
(3) 若 ，求 和 的周长差．22．如图， ，点P是 上的一点．
(1) 求 的度数；
(2) 若 ，请对 进行说明．
23．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称之为
“美好三角形”，如：三个内角分别为 ， ， 的三角形是“美好三角形”．
如图， ，点C在边 上，过点C作 交 于点E，以C为端点作射线 ，交
线段 于点F（点F不与O，E重合）【概念理解】（1） 的度数为_________， _________（填“是”或“不是”）“美好三
角形”．
【应用拓展】（2）若 ，试说明： 是“美好三角形”．
24．课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线，把n边形分成 个
三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n边形的内角和等于 ，现在
再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n边形内角和定理．
方案一 方案二
如图，P为n边形 内一点，连接 如图，P为n边形 边 上的任意一点，
，那么n边形被分成了 连接 ，……， ，那么n边形被分成
个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 了 个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
证明： 证明：参考答案
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得到答案．
解： 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
图形中具有稳定性的是B，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性是解题的关
键．
2．B
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可．
解： ． ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
． ，能组成三角形，故此选项符合题意；
． ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
． ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边的关系是解题的关键．
3．C
【分析】根据多边形的内角和公式： ，计算即可．解：六边形的内角和为： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： ．
4．C
【分析】根据从一个 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是 ，进行计算即可．
解：解∶ ，
∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．
故选∶C．
【点拨】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，
可以连的对角线的条数是 ．
5．B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐
角互余即可求出 ．
解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解
题的关键．
6．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 ．若能，
则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：A、正方形和正三角形内角分别为 、 ， ，故能镶嵌，不符合题意；
B、正方形和正八边形内角分别为 、 ， ，故能镶嵌，不符合题意；C、正三角形和正十二边形内角分别为 、 ， ，故能镶嵌，不符合题意；
D、正方形和正六边形内角分别为 ， ，不能构成 的周角，故不能镶嵌，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角
加在一起恰好组成一个周角．
7．B
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
解：在 中，线段 能表示三角形 的高的是B选项．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点
与垂足之间的线段．
8．B
【分析】由三角形三条中线交于一点可知， 也是 的中线，即可求解．
解：∵ 的中线 相交于点 ，连接 并延长交 于点
∴ 也是 的中线，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的中线，理解并掌握三角形三条中线交于一点是解决问题的关键．
9．B
【分析】根据三角形的外角性质可得 ，根据平行线的性质即可求得．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，再根据折叠的性质得， ，
，进而得 ．
解：∵ ， ，
∴ ，∵将点A与点B分别沿 和 折叠，使点A、B与点C重合，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．
11． /
【分析】设第三边为 ，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
解：设第三边为 ，
已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的取值范围是 ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差
小于第三边是解决问题的关键．
12．
【分析】根据三角形内角和定理进行求解即可．
解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为 是解题的关键．
13．20
【分析】因为 是 的中线，得到 ，由因为 是 的中线，得到
，即可求出 的面积．
解： 是 的中线，
，
，
，
是 的中线，，
，
故答案为：20．
【点拨】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个
等底同高的三角形，即两个三角形面积相等．
14．90°
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
解：∵AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，
∴∠1＝ ∠BAC，∠2＝ ∠ABC，∠3＝ ∠ACB，
∴∠1+∠2+∠3＝ (∠BAC+∠ABC+∠ACB)，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为90°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
15．
【分析】分别求出 的面积与 的面积，即可求解．
解： ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了网格中三角形的面积的求法，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
16． /90度
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出 ，利用角平分线定义求出
，再利用三角形内角和求出答案．
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点是解
题的关键．
17．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可．
解：设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义是解
题的关键．
18． /
【分析】根据垂线段最短，可知当 时， 最短，再根据面积相等即可得出答案．
解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短，∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂线段最短，三角形的面积，正确理解题意是解题关键．
19．
【分析】由图可知三角形 的周长 ，四边形 的周长 ，
，所以 ，则可解得 ，进而解题．
解：由图可知：三角形 的周长 ，四边形 的周长 ，
又∵三角形 的周长与四边形 的周长相等， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ cm，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
20．(1)见分析；(2)见分析；(3)
【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可．
（2）根据垂线的定义画出图形即可．
（3）根据点到直线的距离，判断即可．
（1）解：如图，线段 即为所求．
（2）如图，线段 即为所求．（3） 到直线 的距离是线段 的长度．
故答案为： ．
【点拨】本题考查作图 基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂
线的定义，属于中考常考题型．
21．(1)2；(2) ， ；(3)1
【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解；
（2）根据三角形的中线的性质可得 ，根据三角形的面积公式即可求得；
（3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得．
解：（1）∵ 是中线，
∴ ，
即 ，
故答案为：2．
（2）∵ 是中线，
∴ ，
又∵ ，且 ，
故 ．
（3）∵ 的周长为 ，
的周长为 ，
且 ，
故 和 的周长差为
即 和 的周长差为1．
【点拨】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式，三角形的周长公式等，熟练掌握三角形中
线的性质是解题的关键．
22．(1) ；(2)见分析
【分析】（1）先判定 ，再利用平行线的性质即可求解；
（2）利用三角形的外角性质求得 ，再利用同位角相等，两直线平行即可说明 ．（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题
的关键．
23．（1） ，不是；（2）见分析
【分析】（1）先由垂直的定义得到 ，再由三角形内角和定理求出 ，最后根据
“美好三角形”的定义求解即可．
（2）先根据平角的定义得到 ，再根据三角形外角的性质得到 ，最后根据
“美好三角形”的定义求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 这三个角中没有任何一个角的度数是另外一个角度数的3倍，
∴ 不是“美好三角形”；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是“美好三角形”．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂直的定义，正确理解题意是解题
的关键．24．方案一：n，证明见分析；方案二： ，证明见分析
【分析】方案一，在n边形内任取一点O，并把O与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三
角形的角和为 ，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为 ；
方案二，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成 个三角形．
解：证明：方案一，
在n边形内任取一点P，并把O与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的角和为
，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为 ．
故答案为：n；
方案二，
在n边形的边 上的任意一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成 个三角形，
这 个三角形的内角和等于 ，
以P为公共顶点的 个角的和是 ，
所以n边形的内角和是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中
解决．
