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专题11.18 三角形（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．在下列长度的四根木棒中，能与 、 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
A．AC是 ABC的高 B．DE是 BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
3．在 ABC中△，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分△线和中线，则下列说法中错误的是（ ）
△
A． B． C． D．
4．如图，若 的三条角平分线 、 、 交于点 ，则与 互余的角是( )
A． B． C． D．
5．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形
6．如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，若 ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
7．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中， 的度数应是（ ）A． B． C． D．
8．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，
这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶
嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．如图，直线 ，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，
∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分
线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令 ，用含 的式子表示∠EBC为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图， ，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
二、填空题
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足 ，c为奇数，则△ABC的周长为 ．
12．已知三角形的三边长为4、x、11，化简 ．
13．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若 ， ，则DE的长为 ．14．如图，点D是 的边 上任意一点，点E、F分别是线段 、 的中点，且 的面
积为60，则 的面积 ．
15．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将
△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ．
16．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的
度数为 ．
17．如图，在 中， ，在 边上取点 ，使得 ，连接 ．点 、 分
别为 、 边上的点，且 ，将 沿直线 翻折，使点 落在 边上的点 处，若
，则 的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=
．
三、解答题
19．已知a，b，c分别为 的三边，且满足 ， ．
(1) 求c的取值范围；
(2) 若 的周长为12，求c的值．
20．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
① 若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
② 若∠C-∠B =20°，则∠DAE = °．21．已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．
(1) 若∠A＝48°，求∠BOC；
(2) 若∠A＝n°，求∠BOC；
(3) 若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．
22．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ，
，求 的度数．23．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
24．四边形ABCD中， 的平分线与边BC交于点E； 的平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若 ， ， ，则 ______．
②如图2，试探索 、 、 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究 、 、 之间的数量关系，并说明理
由．参考答案
1．C
【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判
定这三条线段能构成一个三角形．
解：设三角形的第三边为x，则
9-4＜x＜4+9
即5＜x＜13，
∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的
两边差小于第三边．
2．C
【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.
解：解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;
△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;
△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故
答案为:C.
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之
间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交
的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.
3．B
【分析】根据中线定义可判定A，根据当高AD与边AC重合时，则 可判定B；根
据垂直线段最短可判定C；根据中线定义可知BC=2BF，利用等高的三角形面积与底的关系可判定D．
解：A、∵在 ABC中，AF是 ABC的中线，∴BF=CF，正确，故此选项不符合题意；
B、∵在 AB△C中，AD是 AB△C的高，当高AD与边AC重合时，如图，则 ，故
△ 错误，故△此选项符合题意；C、∵在 ABC中，AD是 ABC的高，AE是角平分线，根据垂直线段最短，∴AD≤AE，正确，故此选
项不符合题意△； △
D、∵在 ABC中，AF是 ABC的中线，∴BC=2BF，∵S ABC= ，S ABF= ，∴
△ △
△ △
，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与性
质是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．
解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，
∴∠EGD不一定等于90°
∴ 与 不一定互余，故A选项不符合题意；
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°， 的三条角平分线 、 、 交于点
∴∠FAG= ∠BAC，∠GBC= ∠ABC，∠GCB= ∠ACB
∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB= （∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°
∵ =∠GBC＋∠GCB
∴ ＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边
∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴ ＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；
∠FGB＋∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=∴ ＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．
故选B．
【点拨】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关
键．
5．A
【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案．
解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确；
B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确；
C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确；
D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
6．A
【分析】设 ，利用角平分线的性质得 ，再根据 得
，所以 求解即可．
解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵OB，OC平分 和 ，
∴ ，即 ，解之得： ，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关
系 进行求解．
7．B
【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和
定理即可求解；
解：正六边形的内角为： ，内角的补角为：60°；正五边形的内角为： ，内角的补角为：72°；
∴
故选：B
【点拨】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的
关键．
8．C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是 ，因此我们只需要验证
是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
解：A、等边三角形每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为 ， ，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
9．D
【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角
形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答
案．
解：在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵ ，
∴ ，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE= -40°，
∴∠BCE=90°-（ -40°）=130°- ．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（ -40°）= -20°．
∵EF平分∠CED，∴∠CEF= ，
∴∠CEB= ，
∴∠EBC= ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合
的三角形是解题的关键．
10．D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得 ，即
可求出答案．
解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵ ，
∴ ，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；①
在△ACM中，有
，∴ ②，
由① ②，得 ，
∴ ，即 ；
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握
所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
11．16
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足 ，
∴ ， ，
解得a=7，b=2，
∵ ， ，
∴5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c=7，
∴△ABC的周长为： ．
故答案为：16．
【点拨】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c
的取值范围．
12．11
【分析】根据三角形三边关系可求出x的取值范围，即可求解．
解：∵三角形的三边为4、x、11，
∴11-4＜x＜11+4，∴ ，
∴ ，
故答案为：11．
【点拨】本题主要考查了构成三角形三边大小的关系和去绝对值的知识，利用三角形三边关系求出x
的取值范围是解答本题的关键．
13．0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
解： AD、AE分别是△ABC的高和中线， ， ，
如图，当 是钝角三角形时，
当 是锐角三角形时，
当 是直角三角形时， ，不合题意，故答案为： 或
【点拨】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．
14．15
【分析】根据三角形的中线平分面积，得到 ， ，进而得到 ，又
因为 ，即可求出 的面积．
解： 点E是线段 的中点，
， ，
，
F分别是线段 的中点，
，
故答案为：15．
【点拨】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
15． 或
【分析】分两种情况：当点 在 上时，有直角三角形的性质可得 ，当 时，
即 在 外时，由折叠可得： ， ， ， 平分 ，即
．
解：分两种情况：如图，
①当 时，点 在 上时，
②当 时，即 在 外时，如图，由折叠可得：
，
，
，
平分 ，
，
不可能为直角．
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和
三角形的内角和等基本知识点．
16．68°
【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明
∠GMC=2∠E即可解决问题．
解：如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有 ，
①-2 ②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=×34°，∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为：68°
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质等知识，解题的关键是熟悉基本
图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．
17．
【分析】根据题意可得 ，设 ， 是 的一个外角，可得
，根据三角形内角和定理可得 ，即 ，联立解
方程组即可求得 ．
解： 折叠
，
设
，
，
是 的一个外角
即 ①
即
即 ②
② -①得
即
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．
18．15°/15度
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，在△ABC
中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=60°，则根据平角定
理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6= ∠MBC，∠1=
∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理
可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外
角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，
2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F= ∠E．
解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）= ×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F= ∠E= ×30°=15°．
故答案为：15°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角
和是180°．
19．(1)2 c 6；(2)3.5
【分析】<（<1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|
2c-6|＜c，列不等式组求解即可；
（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．
解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，
∴ ，
解得：2 c 6．
故c的取<值<范围为2 c 6；
（2）∵△ABC的周<长为< 12，a+b=3c-2，
∴a+b+c=4c-2=12，
解得c=3.5．
故c的值是3.5．
【点拨】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边，建立不等式解决问题．
20．（1）6 ；（2）①15°；②10．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，
从而求解；
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴ ×BC×AE=24，
∴ ×BC×4=24，
∴BC=12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°
在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10°
故答案为：10．
【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中基础题．
21．(1)114°；(2) ；(3)80°
【分析】（1）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数；
（2）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数；
（3）由（2）的结论即可求得∠A的度数．（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−48°=132°，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴∠BOC=180°−(∠2+∠4)=180°−66°=114°；
（2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−n°，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（2）知， ，
解得：∠A=80°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解一元一次方程等知识，掌握角平分线的
定义及三角形内角和定理是解题的关键．
22．
【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得
再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内
角和求解 再求解 从而可
得结论．
解：如图，由三角形的外角的性质可得：【点拨】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，
掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角
的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后
由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．【点拨】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是
解题的关键．
24．（1）120°；（2） ；（3）
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性
质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角
和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；
（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根
据角平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论．
解：（1）①∵
∴
又∵∠B=50°，∠C=70°
∴∠BAD=130°，∠ADC=110°
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠ADC
∴∠BAE=65°，∠ODC=55°
∴∠AEC=115°
∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120°
故答案为：120°
② ，理由如下：
平分
平分即
（2） ，理由如下：
平分
平分
即： .
【点拨】本题考查多边形内角与外角平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和
等于360°，这是解题的重点．
