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专题11.7 与三角形有关的线段（中线、高线和角平分线）（分层练
习）
一、单选题
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角三角形 中， ， ， ， ，则点 到 的距离是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，若 是 的中线， ，则 （ ）
A．12 B．10 C．16 D．8
5．如图， 三边的中线 ， ， 的公共点为 ，若 ，则图中阴影部分的面积是
（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线 ，对于下列各值：①点P
到直线n的距离；② 的周长；③ 的面积；④ 的大小；其中会随点P的移动而变化的是
（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
7．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
8．如图， ， ， 分别是 的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 为 上一点， 为 上一点， ，连接 ， 交于点 ．若
， ，则 的面积为( )A． B． C． D．
10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定
点C，使 为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图所示， 中 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
12．如图， 的面积为40cm2， ， ，则四边形 的面积等于（ ）
A． cm2 B．9cm2 C． cm2 D．8.5cm2
13．如图，在 中， 是 边上的中线， 的周长比 的周长多5cm， 与 的
和为11cm，则 的长为（ ）A．3 B．5 C．8 D．6
14．如图， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在三角形ABC中， ， 平分 ， ， ，以下四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
16．如图， 为 中BC边上的中线， ， ．若 的周长为 ，则
的周长为______ ．
17．如下图，D为 的边 的中点，若 ，那么 ___________．18．如图，点G是△ABC的重心，连结BG并延长交AC于点D，则 的值是_____．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=______．
20．如图， 中， ， 为 的中点，连接 并延长交 于点 ， 为 上一点，
且 于点 ．下列判断，其中正确的有_________个．
① 是 中边 上的中线；② 既是 中 的平分线，也是 中 的平
分线；③ 既是 中 边上的高，也是 中 边上的高．
21．如图， 为 的中线， 为 的中线，若 的面积为20， ，则 中
边上的高为___________．22．如图： 、 是 的中线， 、 相交于 ，若 厘米，则 ________厘米．
23．如图， 是 的中线，E是 的中点，连接 ，若 的面积为5，则 的面积为
_____________．
24．（2016育才月考）育才中学内有一块直角三角形空地△ABC，如图所示，园艺师傅以角平分线
AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ADC区域内种植了鸡冠
花，并量得两直角边AB=10m，AC=4m，则一串红与鸡冠花两种花草各种植的面积分别为_________．
25．如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为 ， ，则图
中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是______．（用 ， 的代数式表示）26．如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AC上且EC＝2AE，线段AD与线段BE
交于点F，若△ABC的面积为6，则四边形EFDC的面积为________．
28．如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一
点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．
29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的
面积为_____．
30．如图，点C为直线 外一动点， ，连接 ，点D、E分别是 的中点，连接
交于点F，当四边形 的面积为5时，线段 长度的最小值为______．三、解答题
31．如图， ， 是 的两条高， ，求 的长．
32．图1是一张三角形纸片 ．将 对折使得点 与点 重合，如图2，折痕与 的交点记为 ．
（1）请在图2中画出 的 边上的中线．
（2）若 ， ，求 与 的周长差．
33．如图所示， 三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．
(1) 若把 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到 ，在图中画出 ；
(2) 填空： ______， ______， ______， 的面积为______．
(3) 点 为 轴上一点，且 的面积是 面积的一半，求点P的坐标．34．三角形如图， 的边 上的高为 ，中线为 边上的高为 ，已知 ，
， ．
(1) 求 的面积；
(2) 求 的长；
(3) 和 的面积有何关系？
35．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．36．如图， 为 轴正半轴上一动点， ， ，且 ， 满足 ， ．
(1) 求 的面积；
(2) 求点 到 的距离；
(3) 如图，若 ， 轴于点 ，点 从点 出发，在射线 上运动，同时另一动点 从点
出发向点A运动，到点A时两点停止运动， ， 的速度分别为 个单位长度 秒， 个单位长度 秒，
当 时，求点 的坐标．参考答案
1．C
【分析】直接根据三角形的稳定性解答即可．
解：A、B、C选项中都有四边形，只有C选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定
性可知：C选项的图形具有稳定性．
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握组成的所有的图形都是三角形，则具有稳定性是解答
本题的关键．
2．D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
解： 中 边上的高即为过点B作 的垂线段，该垂线段即为 边上的高，四个选项中只有
选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的
线段叫三角形的高．
3．D
【分析】根据面积相等即可求出点C到 的距离．
解：∵在直角三角形 中， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．
4．B
【分析】根据三角形的中线的定义，即可求解．
解：∵ 是 的中线， ，，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查三角形中线的定义，掌握三角形的顶点与对边中点的之间的线段叫做三角形的
中线，是解题的关键．
5．C
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得 ， ，
，利用等量代换逐步推出 ，最后利用 计算即可．
解： ， ， 是 三边的中线，
， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线把三角形的面积分成
相等的两部分．
6．B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
解：∵直线 ，
∴①点 到直线 的距离不会随点 的移动而变化；
∵ ， 的长随点P的移动而变化，
∴② 的周长会随点 的移动而变化，④ 的大小会随点 的移动而变化；
∵点 到直线 的距离不变， 的长度不变，
∴③ 的面积不会随点 的移动而变化；
综上，会随点 的移动而变化的是②④．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟
练掌握平行线间的距离的概念是关键．
7．C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的高、中线、角平分线．熟悉各个性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解．
解：∵ ， ， 分别是 的中线，角平分线，高，
A、 ，故该选项正确，不符合题意；
B、 不一定相等，故该选项不正确，符合题意；
C、 ，故该选项正确，不符合题意；
D、 ，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的
定义是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意可得 ，则 ，根据 ，可得 ，即可求解．
解：∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的面积转换是解题的关键．
10．C
【分析】根据三角形的面积求出点C到 的距离，再判断出点C的位置即可．
解：∵ 的面积为4，
∴ 边上的高为 ，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到 的距离为2是
解题的关键．
11．D
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
解：由图可得， ∵ ，
∴ 中 边上的高是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．12．A
【分析】连接 ，根据 ，可知 ， ，
，根据△ABC的面积等于 即可得出 ，
， ， ，根据面积列出方程解出
的面积即可解答．
解：如图所示，连接 ，
，
，
，
，
的面积等于 ，
， ，
， ，
设 ， ，
则 ，
∴ ，解得 ，
∴四边形 的面积为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是三角形面积计算及二元一次方程组的应用，熟知当高相等时底边之比等于三角
形面积之比是解答此题的关键．
13．C
【分析】根据中线的定义知 ，结合三角形周长公式知 ；又 ，
易求 的长度．
解： 是 边上的中线，
为 的中点， ．
的周长比 的周长多5cm，
．
又 ，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
14．A
【分析】根据 ， ，可得 ，再由角平分线的定义可得 ，再
利用平行线的性质可得 ，即可得到结果．
解：如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．B
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴AH⊥EF，故①正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴∠E＝∠ABE，故④正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两
直线平行，内错角相等．
16．31
【分析】根据三角形的中线的概念得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解： 为 的中线，
，
的周长 ，
，
，
，即 ，
，
的周长 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的
中线，熟记三角形的中线定义是解题的前提．
17．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．解：∵D为 的边 的中点， ，
∴ ，
故答案为； ．
【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
18．1．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点得出AD＝DC，即可得出
解：∵点G是 ABC的重心，
∴AD＝DC， △
即 ＝1，
故答案为1
【点拨】本题考查了三角形的重心，熟记是三角形三边中线的交点是解题的关键
19．
【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A.
解：∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=120°
又∵∠ACD是 ABC的外角
∴∠A=∠ACD-∠△B=85°
故答案为85°.
【点拨】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键.
20．3
【分析】根据三角形高，中线，三角形角平分线的定义逐一判断即可．
解：∵ 为 的中点，
∴ 是 中边 上的中线，故①正确；
∵ ，
∴ 既是 中 的平分线，也是 中 的平分线，故②正确；
∵ ，
∴ 既是 中 边上的高，也是 中 边上的高，故③正确；
故答案为：3．【点拨】本题主要考查了三角形高，中线，三角形角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．
21．4
【分析】根据中线的性质可得 ，则 ，设 中
边上的高为h，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵ 为 的中线， ，
∴ ，
∵ 为 的中线，
∴ ，
设 中 边上的高为h，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相
等的两部分．
22． /
【分析】根据三角形重心的性质即可求解．
解： 、 是 的中线， 、 相交于 ，
，
厘米，
厘米，
解得 厘米，
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，掌握上述内容是解题的关键．
23．20
【分析】因为 是 的中线，得到 ，由因为 是 的中线，得到
，即可求出 的面积．
解： 是 的中线，
，
，
，
是 的中线，
，
，
故答案为：20．
【点拨】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个
等底同高的三角形，即两个三角形面积相等．
24．
【分析】根据题意，过点 分别向 两边作垂线，垂足为 ，由角平分线的性质定理可以
得到 ，那么 ： = ： =2：5，所以求出 的面积便可以得到 的面积；
解：过点 分别向 两边作垂线，垂足为
是 的角平分线
又 ，
： = ： =2：5又
故答案是： .
【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理，能够根据角平分线的性质定理画出对应的辅助线是解决
本题的关键.
25．
【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积．
解：
=4ab．
故答案为：4ab．
【点拨】本题考查运用割补法求阴影部分面积，解题关键是运用大长方形的面积减去三个直角三角形
的面积．
26．AE
【分析】根据三角形的高的概念即可得答案．
解：∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，
∴BE⊥AC，即AE⊥BH，
∴△BHA中边BH上的高是AE，
故答案为：AE
【点拨】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三
角形的高．27．
【分析】连接CF，根据CE=2AE， ABC的面积为6可知S ABE= ×6=2，S BCE= ×6=4，S AEF：
△ △ △
△
S CEF=1：2，设S AE =S，则S CE =2S，故S ABF=2﹣S，则S BCF=4﹣2S，设S ABF=x=2﹣S，则
F F
△ △ △ △ △ △
S BDF=S CDF=3-x，由AD是BC边上的中线可知S ABF＋S BDF＝S CDF＋S AEF＋S CEF，则有3=3-
△ △ △ △ △ △ △
x+3S，即x=3S，所以 ，由此可得出结论．
解：连接CF，
∵CE=2AE， ABC的面积为6，
△
∴S△ABE= ×6=2，S△BCE= ×6=4，S AEF：S CEF=1：2，
△ △
∵AD是BC边上的中线，
∴ ， ，
设S AE =S，则S CE =2S，
F F
△ △
∴S ABF=2﹣S，则S BCF=4﹣2S，
△ △
设S ABF=x=2-S，则S BDF=S CDF=3-x，
△ △ △
∵AD是BC边上的中线，
∴S ABF＋S BDF＝S CDF＋S AEF＋S CEF，
△ △ △ △ △
即3=3-x+3S，即x=3S，
∴ ，
∴ ，
∴S EFDC= ．
四边形
故答案为 ．【点拨】本题考查的是三角形的中线与三角形的面积关系，熟知三角形的中线与面积的关系是解答此
题的关键．
28．20°或60°．
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分
别求解即可．
解：如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点拨】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
29．4
【分析】△ABC的面积S＝ AB×BC＝ ＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝
BE，即可求解．解：△ABC的面积S＝ AB×BC＝ ＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝ BE，（证明见备注）
△BEC的面积＝ S＝6，
BP＝ BE，
则△BPC的面积＝ △BEC的面积＝4，
故答案为：4．
备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．
求证：EG＝ CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．
∵AE＝BE，EH∥BF，
∴AH＝HF＝ AF，
又∵AF＝CF，
∴HF＝ CF，
∴HF：CF＝ ，
∵EH∥BF，
∴EG：CG＝HF：CF＝ ，∴EG＝ CG．
【点拨】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距
离是它到对边中点的距离的2倍．
30．5
【分析】如图：连接 ，过点C作 于点H，根据三角形中线的性质求得 ，从而求
得 ，利用垂线段最短求解即可．
解：如图：连接 ，过点C作 于点H，
∵点D、E分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角
形的面积关系是解题的关键．
31．【分析】根据三角形等面积法求解即可．
解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴ ，
即 ，
解得：AD=3cm．
【点拨】题目主要考查三角形等面积法，理解题意是解题关键．
32．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由翻折的性质可知BD＝DC，然后连接AD即可；
（2）由BD＝DC可知△ABD与△ACD的周长差等于AB与AC的差．
解：（1）如图，线段 即为所求．
（2） ，
的周长 的周长
．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到BD＝DC是解题的关键．
33．(1)见分析；(2) ； ； ；6；(3) 或
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 即可；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）设 ，构建方程求出m即可．
（1）解：如图， 即为所求；（2）解：∵ ， ， ，把 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度
得到 ，
∴ ， ， ；
的面积 ；
故答案为： ； ； ；6．
（3）解：设点 ，则有 ，
∵ 的面积是 面积的一半，
∴ ，
解得 或 ，
点坐标 或 ．
【点拨】本题考查作图一平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题，属于中考常考题型．
34．(1)30；(2) ；(3) 和 的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
（1）解： 的面积 ；（2）∵ 的面积 ， ，
∴ ；
（3）∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ 的边 上的高为 ，
∴ ．
即： 和 的面积相等．
【点拨】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角
形面积，是解题的关键．
35．（1） ；（2）2：3
【分析】（1）根据题意易得 ， ，然后根据角的和
差关系可求解；
（2）根据等积法可得 ，然后根据题意可进行求解．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 分别是 的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．【点拨】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的
定义是解题的关键．
36．(1) ；(2)点 到 的距离为 ；(3) 或
【分析】（1）先根据算术平方根和二次方的非负性求出 ， ，得出 ， ，即可
得出答案；
（2）过点 作 于 ，根据等积法求出 即可；
（3）由三角形的面积关系列出方程，即可求解．
（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
， ，
点 ，点 ，
， ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
∵ ，∴ ；
点 到 的距离为 ；
（3）解：设运动时间为 秒，则 ， ，其中 ，
∴ ，
∵ ，
，
，
，
解得： ， ，
，
运动时间为 秒或 秒．
当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
．
综上所述， 或 ．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，算术平方根和平方的非负性，三角形的面
积公式等知识，求出的长是解题的关键．
