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专题 12.1 全等三角形的几何综合
【典例1】（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足
∠EAF=45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≅△EAF，从而得到
结论：DE+BF=EF，根据这个结论，若正方形ABCD的边长为1，则△CEF的周长为______；
（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD
1
上的点，且∠EAF= ∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论；
2
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，B、F分别是边
1
BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接
2
写出你的猜想（不必说明理由）【思路点拨】
（1）根据题意得EF=ED+BF，然后根据三角形周长公式即可进行解答；
（2）延长FB到G，使BG=DE，连接AG，通过证明△AEF≌△AGF，得出对应边相等，转化得出答案
即可；
（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．用和（1）相同的证法，可得DF=BG，≥=EF，则
EF=≥=BE−BG=BE−DF．
【解题过程】
解：（1） ∵△GAF≅△EAF，
∴EF=GB+BF=ED+BF，
∴△CEF的周长=CF+CE+EF=CF+CE+ED+BF=CD+BC=2．
（2）EF=DE+BF； 证明如下：
如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG，∵∠ABG+∠ABF=180°，∠ABF+∠ADE=180°，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG和△ADE中，
{
AB=AD
)
∵ ∠ABG=∠ADE
BG=DE
∴△ABG≌△ADE(SAS)，
∴∠BAG=∠DAE，AE=AG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
{
AE=AG
)
∠EAF=∠GAF ，
AF=AF
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=BG+BF=DE+BF，
∴EF=DE+BF；
（3）结论：EF=BE−FD，
证明：如图所示，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG和△ADF中，
{
AB=AD
)
∠ABG=∠ADF ，
BG=DF
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
1
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAE=∠EAF，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD．
1．（2022秋·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH=HF．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AB的中点，
AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E．
（1）如图1，①若AB=AC，请直接写出∠EAC−∠BCD=______；
②连接DE，若AE=2DE，求证：∠DEB=∠AEC；
（2）如图2，连接FB，若FB=AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由．3．（2022秋·八年级课时练习）已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC
上任意一点，过点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；
（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
4．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC
＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向
终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1cm/s和xcm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终
点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F
（1）如图1，当x＝2时，设点P运动时间为ts，当点P在AC上，点Q在BC上时，
①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ cm，CQ＝ cm；
②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由；
（2）请问：当x＝3时，△PEC与△QFC有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的t值：若不能，请
说明理由．5．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的
方法是倍延中线法．
如图1，AD是△ABC的中线，AB=7，AC=5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使
DM=AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，所以BM=AC．接下来，在△ABM中利用三角形的三边
关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是______；
类比应用：如图2，在四边形ABCD中，AB//DC，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，试判
断AB，AD，DC之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新：如图3，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若
AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．6．（2022秋·八年级课时练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在△ABC中，
AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4
