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专题 12.1 全等三角形的几何综合
【典例1】（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足
∠EAF=45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≅△EAF，从而得到
结论：DE+BF=EF，根据这个结论，若正方形ABCD的边长为1，则△CEF的周长为______；
（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD
1
上的点，且∠EAF= ∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论；
2
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，B、F分别是边
1
BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接
2
写出你的猜想（不必说明理由）【思路点拨】
（1）根据题意得EF=ED+BF，然后根据三角形周长公式即可进行解答；
（2）延长FB到G，使BG=DE，连接AG，通过证明△AEF≌△AGF，得出对应边相等，转化得出答案
即可；
（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．用和（1）相同的证法，可得DF=BG，≥=EF，则
EF=≥=BE−BG=BE−DF．
【解题过程】
解：（1） ∵△GAF≅△EAF，
∴EF=GB+BF=ED+BF，
∴△CEF的周长=CF+CE+EF=CF+CE+ED+BF=CD+BC=2．
（2）EF=DE+BF； 证明如下：
如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG，∵∠ABG+∠ABF=180°，∠ABF+∠ADE=180°，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG和△ADE中，
{
AB=AD
)
∵ ∠ABG=∠ADE
BG=DE
∴△ABG≌△ADE(SAS)，
∴∠BAG=∠DAE，AE=AG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
{
AE=AG
)
∠EAF=∠GAF ，
AF=AF
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=BG+BF=DE+BF，
∴EF=DE+BF；
（3）结论：EF=BE−FD，
证明：如图所示，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG和△ADF中，
{
AB=AD
)
∠ABG=∠ADF ，
BG=DF
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
1
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAE=∠EAF，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD．
1．（2022秋·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH=HF．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AB的中点，
AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E．
（1）如图1，①若AB=AC，请直接写出∠EAC−∠BCD=______；
②连接DE，若AE=2DE，求证：∠DEB=∠AEC；
（2）如图2，连接FB，若FB=AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由．3．（2022秋·八年级课时练习）已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC
上任意一点，过点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；
（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
4．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC
＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向
终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1cm/s和xcm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终
点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F
（1）如图1，当x＝2时，设点P运动时间为ts，当点P在AC上，点Q在BC上时，
①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ cm，CQ＝ cm；
②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由；
（2）请问：当x＝3时，△PEC与△QFC有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的t值：若不能，请
说明理由．5．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的
方法是倍延中线法．
如图1，AD是△ABC的中线，AB=7，AC=5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使
DM=AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，所以BM=AC．接下来，在△ABM中利用三角形的三边
关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是______；
类比应用：如图2，在四边形ABCD中，AB//DC，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，试判
断AB，AD，DC之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新：如图3，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若
AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．6．（2022秋·八年级课时练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在△ABC中，
AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长AD到Q使得DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10，则AD的
取值范围是___________．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究
线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．
7．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）（1）如图1，△ABC中，若AB=4，AC=6，求BC边上的中
线AD的取值范围；
（2）如图2，四边形ADBC中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，AD=BD，以D为顶点作∠MDN=60°
，交边AC，BC于点M，N．AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，其余条件不变，则AM，
MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．（2022秋·青海西宁·八年级青海师大附中校考阶段练习）如图1，OA⊥OB，OC⊥OD，OA=OB，
OC=OD，连接AD、BC，交于点H．
（1）写出AD和BC的数量关系及位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接BD，若DO、BO分别平分∠ADB和∠CBD，求∠BOD的度数；
（3）如图3，连接AC、BD，设△AOC的面积为S ，△BOD的面积为S ，探究S 与S 的数量关系，并说
1 2 1 2
明理由．9．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面
积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是__________；
②如图1，已知ΔABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于点G
．若S =S ，则EF__________（填“是”或“不是”）ΔABC的一条二分线．
ΔAEG ΔDGF
（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB的
中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在ΔABC中，AB=CB=CE=7，∠A=∠C，∠CBE=∠CEB，D，E分别是线段BC，
AC上的点，且∠BED=∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．
10．（2022秋·福建莆田·八年级校考期中）如图，AB⊥AD，且AB=AD，AC⊥AE，且AC=AE
（1）如图1，连接DC、BE，求证：DC=BE；
（2）如图2，求证：S =S
ΔABC ΔADE
（3）如图3，GF经过A点与DE交于G点，且GF⊥BC于F点．求证：G为DE的中点．11．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）已知O是四边形ABCD内一点，且OA=OD，OB=OC，E是
CD的中点.
（1）如图1，连接AC，BD，若AC=BD，求证：∠AOD=∠BOC；
（2）如图2，连接OE，若AB=2OE，求证：∠AOD+∠BOC=180°；
（3）如图3，若∠AOD=∠BOC=90°，OF⊥AB，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上.12．（2022秋·广东广州·八年级统考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作
AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S ＝ ．
△EBC
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延
长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，
过点B作BG⊥CE于点G，若S ＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
△ABC13．（2022秋·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC=2∠BAC．
（1）∠ACB=_________°；
（2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥AB，连接CE和DE，若
AD+BE=DE，求证：∠ECD=45°；
（3）如图2，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM=AN，过点C作MB的垂线交
AB的延长线于点P，连接NP，求证：NP=MB+CP．14．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知△ABC中，
（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．
（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若
∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．
（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM
交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．15．（2023·全国·八年级专题练习）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为直线BC上一动点，
连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE．求证：EH=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M，求证：BM=EM；
（3）当点D在直线 上时，连接 交直线 于M，若 ，请求出S 的值．
CB BE AC 2AC=7CM △ADB
S
△AEM16．（2023·全国·八年级专题练习）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试
用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△≝¿中，∠≝=90°，
∠EDF=30°），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作
AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，
①请在图10-1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∵AM⊥DF，CN⊥DF，
∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
{∠AMB=∠CNB=90°
)
∠BAM=∠CBN ，
AB=BC
∴__________；
②AM=2，CN=7，则MN=__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C
作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若
AE=5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为__________．17．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）【初步探索】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且
EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证
明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且
EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，
点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并
给出证明过程．18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为
．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，
写思路，求出度数）．19．（2023·浙江·八年级假期作业）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
1
E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关
2
系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
2
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
220．（2022秋·八年级课时练习）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点
M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．
（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时
S +S =7，BM=1，CN=3，求MN的长度．
△BMP △CNP
（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．
