数学_高考数学知识点总结_41页_高中九科知识点归纳。_数学

[全国通用]高中数学高考知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
（2）若ABA BA，A B B；
 
（3）德摩根定律：
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
ax5
如：已知关于x的不等式  0的解集为M，若3M且5M，求实数a
x2 a
的取值范围。
a·35
（∵3M，∴ 0
32 a
a 
 
1， 5
3




 9，25 ）
a·55
∵5M，∴  0
52 a6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元
素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
x4x
例：函数y 的定义域是
lgx32
（答：0，2

2，3

3，4）
10. 如何求复合函数的定义域？
义域是_。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如：f  x1   ex x，求f(x).
令t  x1，则t  0
∴x t2 1
∴f(t)  et21 t2 1
∴f(x)ex21 x2 1x012. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y  f(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)= b  f1(b)  a
f1f(a) f1(b) a，f  f1(b)   f(a) b
14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（y  f(u)，u  (x)，则y  f(x)
（外层） （内层）
当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）
如：求y  log  x2 2x  的单调区间
1
2
（设u  x2 2x，由u 0则0 x2
且log u，u  x12 1，如图：
1
2u
O 1 2 x
当x (0，1]时，u，又log u，∴y
1
2
当x [1，2)时，u，又log u，∴y
1
2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
如：已知a  0，函数f(x)  x3 ax在1，上是单调增函数，则a的最大
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
 a a
（令f'(x)  3x2 a  3x x  0
 3 3
a a
则x  或x
3 3
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶
函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)  0。
a·2x a2
如：若f(x) 为奇函数，则实数a 
2x 1
（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)  0
a·20 a2
即  0，∴a 1）
20 1
2x
又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x)  ，
4x 1
求f(x)在1，1上的解析式。
2x
（令x   1，0 ，则  x   0，1 ，f(x) 
4x 1
2x 2x
又f(x)为奇函数，∴f(x)    
4x 1 14x
 2x x(1，0)
又f(0)  0，∴f(x)  
   4x 1 x  0
）


4x
2

x
1
x0，1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T  0），在定义域内总有fxT  f(x)，则f(x)为周期
函数，T是一个周期。）
如：若fxaf(x)，则
（答：f(x)是周期函数，T  2a为f(x)的一个周期）
又如：若f(x)图象有两条对称轴x  a，x  b
即f(ax)  f(ax)，f(bx)  f(bx)
则f(x)是周期函数，2ab为一个周期
如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？
注意如下“翻折”变换：
f(x)f(x)
f(x)f(|x|)
如：f(x)  log x1
2
作出y  log x1及y  log x1的图象
2 2
y
y=log x
2
O 1 x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
的双曲线。
 b 4ac b2 b
顶点坐标为 ， ，对称轴x  
 2a 4a  2a
4acb2
开口方向：a  0，向上，函数y 
min 4a
4acb2
a  0，向下，y 
max 4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2 bxc  0，  0时，两根x 、x 为二次函数y  ax2 bxc的图象与x轴
1 2
的两个交点，也是二次不等式ax2 bxc 0( 0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。y
(a>0)
O k x x x
1 2
一根大于k，一根小于k  f(k) 0
（4）指数函数：y  ax a 0，a 1
（5）对数函数y  log xa  0，a 1
a
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=ax(a>1)
(0<a<1) y=log x(a>1)
a
1
O 1 x
(0<a<1)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y
 k
O x
k
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
1
指数运算：a0 1(a  0)，ap  (a  0)
apm  m 1
an  n am (a0)，a n  (a 0)
n am
对数运算：log M·N  log Mlog N M  0，N  0
a a a
对数恒等式：alog a x  x
log b n
对数换底公式：log b  c log bn  log b
a log a am m a
c
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（1）x R，f(x)满足f(x y)  f(x) f(y)，证明f(x)为奇函数。
（先令x  y  0 f(0)  0再令y  x，……）
（先令x  y  t  f(t)(t) f(t·t)
∴f(t)f(t)  f(t)f(t)
∴f(t)  f(t)……）
（3）证明单调性：f(x )  f x x x   ……
2 2 1 2
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，
导数法等。）
如求下列函数的最值：
（1）y  2x3 134x
2 x 4
（2）y 
x 3
2x2
（3）x  3，y 
x3
（4）y  x4 9x2 设x  3cos，0，
9
（5）y  4x ，x (0，1]
x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
1 1
（l  ·R，S  l·R  ·R2）
扇 2 2
R
1弧度
O R
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
sin  MP，cos  OM，tan  AT
y
T
B S
P
α
O M A x

如：若 0，则sin，cos，tan的大小顺序是
85 
∴2k  x2k kZ，0 y 1 2
4 4
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴
吗？
sinx 1，cosx 1
y
y  tgx
x

O
 

2 2
  
对称点为k ，0，k Z
 2 （x，y）作图象。
如图列出       ( ( x x 1 2 ) )       0  227. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。
  2  3
如：cosx    ，x ， ，求x值。
 6 2   2  
3 7  5  5 13
（∵  x  ，∴  x  ，∴x  ，∴x  ）
2 6 6 3 6 4 12
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数ysinxsin|x|的值域是
（x  0时，y  2sinx 2，2，x  0时，y  0，∴y 2，2）
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
图
象？
  横坐标伸长到原来的2倍  1  
（y  2sin2x  1y  2sin  2 x   1
 4  2  4

左平移 个单位
2sin  x   14y2sinx1 上  平  移  1个  单  位 y2sinx
 4
1
纵坐标缩短到原来的 倍
2y  sinx）
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如：1 sin2 cos2   sec2 tan2   tan·cot  cos·sec  tan
4

 sin  cos0 ……称为1的代换。
2
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
sin
sin
sin2 cos1
cos
（y    0，∵  0）
cos cos2 sin1
cos
sin
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
sin sincoscossin 令       sin2  2sincos
令
cos coscos sinsincos2  cos2 sin2 

tantan
tan  2cos2 112sin2  
1 tan·tan

1cos2
cos2 
2tan 2
tan2 
1tan2  1cos2
sin2 
2
b
asinbcos  a2 b2 sin，tan 
a
 
sincos  2sin 
 4 
sin 3cos  2sin 
 3
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三
角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
2
又tan
3
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b2 c2 a2
余弦定理：a2  b2 c2 2bccosA cosA 
2bc
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
1
S  a·bsinC
 2
∵ABC ，∴AB C
AB C
∴sinAB sinC，sin  cos
2 2
AB
如ABC中，2sin2 cos2C 1
2c2
（2）若a2  b2  ，求cos2Acos2B的值。
2
又AB C，∴2cos2 CcosC1 0
1
∴cosC  或cosC  1（舍）
2

又0 C ，∴C 
3
 3
2sin2 A2sin2 B sin2 C  sin2 
3 4
3
1cos2A1cos2B
4
3
∴cos2Acos2B  ）
4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些？
c  0 ac  bc
（1）a  b，
c  0 ac  bc
（2）a  b，cd ac bd
（3）a  b0，cd 0ac bd
1 1 1 1
（4）a  b0  ，a  b0 
a b a b
（5）a  b0an  bn，n a  n b
（6）|x|aa 0 a  xa，|x|a  xa或xa1 1
如：若   0，则下列结论不正确的是（ ）
a b
A.a2b2 B.abb2
a b
C.|a||b||ab| D.  2
b a
答案：C
35. 利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a2 b2 ab 2ab  
  ab  a，bR
2 2 ab 
a2 b2 c2 abbccaa，bR
当且仅当a  b  c时取等号。
a  b  0，m 0，n  0，则
b bm an a
 1 
a am bn b
 4
（设y  23x  22 12  24 3
 x
又如：x2y1，则2x 4y的最小值为
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。
1 1 1
如：证明1  … 2
22 32 n2
1 1 1 1 1 1
（1  …… 1  ……
22 32 n2 12 23 n1n
1 1 1 1 1
11   …… 
2 2 3 n1 n
1
2 2）
n
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：x1x12x23 0
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：对数或指数的底分a 1或0 a 1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
求证：f(x) f(a)  2(|a|1)
证明：|f(x)f(a)||(x2 x13)(a2 a13)|
|(xa)(xa1)|( |xa|1)

|xa||xa1||xa1|
|x||a|1又|x||a||xa|1，∴|x||a|1
∴f(x)f(a)  2|a|2  2|a|1
（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
u  325，∴5 a，即a 5
min
或者：x3  x2  x3x2 5，∴a 5）
43. 等差数列的定义与性质
（1）若mn  pq，则a a  a a ；
m n p q
S ，S S ，S S ……仍为等差数列；
n 2n n 3n 2n
0的二次函数）项，即：
（由a a a  33a  3，∴a 1
n n1 n2 n1 n1
a a  1
又S  1 3 ·33a 1，∴a 
3 2 2 2 3
1 
 1n
a a n a a ·n 3 
∴S  1 n  2 n1  18
n 2 2 2
n27）
44. 等比数列的定义与性质
a
定义： n1  q（q为常数，q  0），a  a qn1
a n 1
n
（1）若m n  pq，则a ·a  a ·a
m n p q
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法1
解：n 1时， a  215，∴a 14
2 1 1
1
12得： a 2
2n n
∴a  2n1
n
∴a n 

 
1
2
4
n1
(
(
n
n


1
2
)
)
［练习］
（2）叠乘法
a a a 1 2 n1 a 1
解： 2 · 3 …… n  · …… ，∴ n 
a a a 2 3 n a n
1 2 n1 1
3
又a  3，∴a 
1 n n
（3）等差型递推公式a a  f(2)f(3)……f(n)
n 1
∴a a f(2)f(3)……f(n)
n 0
［练习］
1
（a   3n 1  ）
n 2
（4）等比型递推公式
a  ca c1x
n n1
d
令(c1)x  d，∴x 
c1
d  d 
∴a   a  ·cn1
n c1  1 c1
 d  d
∴a  a  cn1 
n  1 c1 c1
［练习］
（5）倒数法1 1 1
∴  
a a 2
n1 n
1 1 1
 1n1·  n1
a 2 2
n
2
∴a 
n n1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
1 1 1 1 1 
解：由      d  0
a ·a a a d da a 
k k1 k k k k1
n 1 n 1 1 1 
∴     
a a da a 
k1 k k1 k1 k k1
1 1 1   1 1  1 1 
       ……  
d a a  a a  a a 
 1 2 2 3 n n1 
1 1 1 
   
da a 
1 n1
［练习］
1
（a  ……  ……，S 2 ）
n n n1
（2）错位相减法：如：S 12x3x2 4x3 ……nxn1 1
n
x·S  x2x2 3x3 4x4 ……n1xn1 nxn 2
n
12：1xS 1xx2 ……xn1nxn
n
 1xn
nxn
x 1时，S  
n 1x2 1x
nn1
x1时，S 123……n
n 2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
2S a a a a ……a a ……
n 1 n 2 n1 1 n
［练习］
x2 1 1 1
已知f(x)  ，则f(1)f(2)f  f(3)f  f(4)f  
1x2 2 3 4
1 1
 1113 ）
2 2
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
 nn1 
S  p1rp12r……p1nr pn r ……等差问题
n  2 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归
还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为
第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为（r 按复利），那么每期应还x元，满足
p(1r)n  x1rn1 x1rn2 ……x1rx
11rn 1rn 1
 x   x
 11r  r
pr1rn
∴x 
1rn 1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（1）分类计数原理：N  m m ……m
1 2 n
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
n!
Am  nn1n2……nm1 m n
n nm!
规定：0!1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从 n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm.
n
Am nn1……nm1 n!
Cm  n  
n Am m! m!nm!
mCm Cnm，Cm Cm1 Cm ，C0 C1 ……Cn 2n
n n n n n1 n n n
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题
间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x   89，90，91，92，93 ，(i 1，2，3，4)且满足x  x  x  x ，
i 1 2 3 4
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
有C4  5（种）
5
（2）中间两个分数相等
x x x x
1 2 3 4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
(ab)n C0an C1an1bC2an2b2 …Cranrbr …Cnbn
n n n n n
二项展开式的通项公式：T  Cranrbr (r  0，1……n)
r1 n
性质：C1 C3 C5 …C0 C2 C4 …2n1
n n n n n n
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示）
（∵n＝11
C6  C5  426
11 11
（令x  0，得：a 1
0
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B 
（6）对立事件（互逆事件）：
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事
件。
53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k次的概率：P (k)  Ckpk1pnk
n n
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
 C2 2 
P  4  
 1 C2 15
10
（2）从中任取5件恰有2件次品；
 C2C3 10
P  4 6  
 2 C5 21
10
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
∴m C2·4261 43
3
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
∴n  A5 ，m C2A2A3
10 4 5 6
C2A2A3 10
∴P  4 5 6 
4 A5 21
10
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干
部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，
它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差
去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差x x ；
max min
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成
此参赛队的概率为____________。
C4 C2
（ 10 5 ）
C6
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：
  
OAOBOC
  
OAOBBA
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
  
e ，e 是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
1 2
    
实数对 、 ，使得a   e  e ，e 、e 叫做表示这一平面内所有向量
1 2 1 1 2 2 1 2
的一组基底。
（9）向量的坐标表示表示。
 
设a  x ，y ，b  x ，y 
1 1 2 2
 
则a b  x ，y y ，y  x y ，x y 
1 1 1 2 1 1 2 2

a  x ，y  x ，y 
1 1 1 1
若Ax ，y ，Bx ，y 
1 1 2 2

则ABx x ，y y 
2 1 2 1

|AB| x x 2 y y 2，A、B两点间距离公式
2 1 2 1
57. 平面向量的数量积
为向量  a与  b的夹角，0，
B

b
O 
a
D A
数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则
   
①a·b  b·a
      
②(a b)c  a·c b·c
 
③a ·b  x ，y ·x ，y   x x  y y
1 1 2 2 1 2 1 2   
①a⊥b  a·b  0 x ·x y ·y  0
1 2 1 2
 x y x y 0
1 2 2 1
③

a
2
|

a|2  x2  y2，|

a ·

b||

a|·|

b|
1 1
 
a·b x x y y
④cos   1 2 1 2
|

a|·|

b|
x2 y2· x2 y2
1 1 2 2
［练习］
  
|abc|
答案：2 2
答案：2
答案： 13
58. 线段的定比分点    x y   x y 1 1 1       x y 2 2 ，P为P 1 P 2 中点时，     x y   x y 1 1   2 x y 2 2
 1  2
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
∥面，  面，   ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：
a⊥OA a⊥PO；a⊥POa⊥AO
P

O a
线面垂直：
a⊥b，a⊥c，b，c ，b c  O a⊥
a
O
α b c
面面垂直：
α a
l
β
a b

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
＝0o时，b∥或b  （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，
∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：cos  cos·cos
A
α
θ
O B
β
C
D
（2）如图，正四棱柱ABCD—AB C D 中对角线BD＝8，BD 与侧面B BCC 所成的为
1 1 1 1 1 1 1 130°。
①求BD 和底面ABCD所成的角；
1
②求异面直线BD 和AD所成的角；
1
③求二面角C —BD—B 的大小。
1 1 1
D C
1 1
A B
1 1
H
G
D C
A B
3 6
（①arcsin ；②60o；③arcsin ）
4 3
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD
所成的锐二面角的大小。
P F
D C
A E B
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的
交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，
或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—AB C D 中，棱长为a，则：
1 1 1 1
（1）点C到面AB C 的距离为___________；
1 1
（2）点B到面ACB 的距离为____________；
1
（3）直线AD 到面AB C 的距离为____________；
1 1 1 1（4）面AB C与面ADC 的距离为____________；
1 1 1
（5）点B到直线AC 的距离为_____________。
1 1
D C
A B
D C
1 1
A B
1 1
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
63. 球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比
为R：r＝3：1。
积为（ ）
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？
（2）直线方程：65. 如何判断两直线平行、垂直？
k ·k  1l ⊥l
1 2 1 2
66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
68. 分清圆锥曲线的定义
y
a2
x 
b c
O
F F a x
1 2
x2 y2
 1ab0
a2 b2 a2 b2 c2
x2 y2
 1  a 0，b0 
a2 b2
 c2 a2 b2
e>1 e=1
P 0<e<1
F
k
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？
△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：y
P(x ,y )
0 0
K
F O F x
1 2
l
x2 y2
 1
a2 b2
PF  a2
2  e，PF  ex    ex a
PK 2  0 c  0
PF  ex a
1 0
y
A P
2
O F x
P
1 B
y2  2pxp0
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
m 2
答案： 
n 2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一
点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求
出目标函数的最值。