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专题 12.2 角平分线的几何综合
【典例1】问题情境：（1）如图1，∠AOB=90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意
一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F ，过点P作PN⊥OA于点N，作
PM⊥OB于点M，请写出PE与PF 的数量关系___________；
变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA
于N，PE边与OA边相交于点E，PF 边与射线OB 的反向延长线相交于点F ，∠MPN=∠EPF．试解
决下列问题：
①PE与PF 之间的数量关系还成立吗？为什么？
②若OP=2OM，试判断OE、OF 、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；
（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；
②结论：OE−OF=OP．证明△POM≅△PON，推出OM=ON，再由△PMF≅△PNE，推出
FM=EN，可得结论．
【解题过程】
（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM=PN，
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴∠MPN=360°−3×90°=90°，
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPF=∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
{
∠PMF=∠PNE
)
PM=PN ，
∠PMF=∠PNE=90°
∴△PMF≅△PNE（ASA），
∴PF=PE；
（2）解：①结论：PE=PF．
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM=PN，
∵∠MPN=∠EPF．
∴∠MPF=∠NPE，
在△PMF和△PNE中，{
∠PMF=∠PNE
)
PM=PN ，
∠PMF=∠PNE=90°
∴△PMF≅△PNE（ASA），
∴PF=PE；
②结论：OE−OF=OP．
理由：在△OPM和△OPN中，
{∠PMO=∠PNO
)
∠POM=∠PON ，
OP=OP
∴△POM≅△PON（AAS），
∴OM=ON，
∵△PMF≅△PNE（ASA），
∴FM=EN，
∴OE−OF=EN+ON−(FM−OM)=2OM，
1
在Rt△OPM中，∠PMO=90°，∠POM= ∠AOB=60°，
2
∴∠OPM=30°，
∴OP=2OM，
∴OE−OF=OP．
1．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F分
别为AB，AD上的点，∠ECF=∠A=60°．
（1）求证：EF=BE+DF．
（2）求证：点C在∠BAD的平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交
于点O．
1
（1）求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；
2
（2）当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，
点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；（2）连接CF交AD于点G，若S =S ，求证：∠AFC=90°；
ΔABF ΔCBF
（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
1
（2）若∠DAE= ∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
2
5．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，
∠ACB=∠DCE=90°．
（1）如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
6．（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考二模）问题提出
（1）如图①，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点
1
M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C，画射线OC，连接
2
CM，CN，MN，则图①中与△OMC全等的是___________；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，BD，若
AB+AC=2AM，求证：∠ACD+∠ABD=180°；
问题解决
（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板ABC，∠B=60°，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形
BEFD，并要求∠EFD=120°，EF=DF．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出
∠BAC的平分线AD交BC于点D，作∠BCA的平分线CE交AB于点E，AD，CE交于点F，得到四边形
BEFD．请问，若按上述作法，裁得的四边形BEFD是否符合要求？请证明你的结论．7．（2022·全国·八年级假期作业）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，
DE=DA，连接BE．
（1）求证：BE=CA；
（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
（3）过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的
面积．
8．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交
于点G，∠BAC=60°．
（1）求∠BGC的度数；
（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；
（3）如图3，在⑵的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC的周长．
9．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平
分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
1
（1）如图1，求证：∠BOC=90°+ ∠BAC．
2
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
OD
（3）如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求 的值．
OC10．（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、
CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．
（1）如图1，求证：DF＝CF；
（2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长．11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的知识后，
做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．
（1）如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是
∠AOB的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
（2）如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是
∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，
并说明理由．12．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，
∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C
作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交
AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．13．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角
相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①直接写出∠E与∠A的数量关系___________；
②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知
DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且
BD，CE交于点F．
（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，
再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．
①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与 全等，判定它们全等的依据是 ；
ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB= °；
②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．
（2）如图2，若∠ABC=40° ，求证：BF=CA．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】如图，AD为△ABC的中线，BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD=DE．
（2）【模型应用】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分∠BAD
，求证：DE平分∠ADC．
（3）【拓展探索】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AB交∠BAC
的平分线于点E，过点E作EF⊥AE交BC于点F，若AE+EF=AC，求证：CF=2BD．16．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知四边形ABCD中，
∠A=∠B=90°，点E在边AB上，连接DE、CE，∠EDA=∠EDC．
（1）如图1，若CE平分∠BCD，求证：AD+BC=DC．
（2）如图2，若E为AB中点，求证：CE平分∠BCD．
（3）如图3，在（2）条件下，以E为顶点作∠HEF=∠CDE，∠HEF的两边与BC、DC分别交于F、
H，BF=3，AD=4，DH=7，求HF的长17．（2023·全国·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、
∠ACB交于点G．
（1）如图1，求∠BGC的度数；
（2）如图2，求证：EG=FG；
（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于
点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．18．（2022秋·吉林·八年级吉林省实验校考阶段练习）如图（1）~（3），已知∠AOB的平分线OM上有
一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设
∠AOB=α(0°<α<180°)，∠CPD=β．
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结
论；若不成立，请说明理由．
