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专题12.7 全等三角形的判定（ASA、AAS）（知识梳理与考点分类讲
解）
【知识点1】全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .
【知识点2】全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定
两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
【知识点3】三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但
△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【知识点4】判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三
角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【考点一】三角形全等➼➻用“角边角（角角边）”证明三角形全等
【例1】如图， 中， ，连接 ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，试求 的长．
【答案】(1)证明见分析； (2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，即可求得．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）由（1）结论可得 ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得
， ， ．(1) 求证： ；
(2) 若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见分析； (2)4
【分析】（1）由 ，得 ，而 ， ，即可根据全等三角形的判
定定理“ ”证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得 ，则 ，即可求得 的长度．
（1） 证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长度是4．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明
是解题的关键．
【变式2】如图， ，垂足分别为D，E．
(1) 求证： ；(2) 若 ，求 的长．
【答案】(1)见分析； (2)
【分析】（1）根据垂直定义求出 ，根据等式性质求出 ，根据
证明 ；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到 ，再根据 ，即可解答．
（1）证明： ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证
明△ADC和 全等的三个条件．
【考点二】三角形全等➼➻三角形全等性质与“角边角（角角边）”综合
【例2】如图，在 中 ， 、 是 的角平分线，且 、 相交于点O．求证：
．【分析】先根据三角形内角和定理得到 ，再利用角平分线的定义以及三角形内
角和得到 的度数；在 上截取 ，先证明 得到 ，
，再得到 ，接着证明 得到 ，然后利用等线段代换
得到结论．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 均为 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 上截取 ，如图所示：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段
和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
【举一反三】
【变式1】如图，在 和 中， ，点D在线段 上
（与A，B不重合），连接 ．
(1) 证明： ．
(2) 若 ，求 的长．【答案】(1)见分析； (2) 9
【分析】（1）直接根据角边角进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】补充完成下列推理过程：
已知：如图，在 中， 为 的中点，过点 作 ，交 于点 是 上一点，连
接 ，且 ，求证： ．
证明：∵ 为 的中点（已知），
∴ （_____________________），
∵ （已知），∴ （_____________________），
又 （已知），
∴ （_____________________），
∴ _______，
在 与 中
，
∴ （___________），
∴ （_____________________）．
【答案】中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角
形对应边相等
【分析】根据平行线的性质与判定得到边与角的关系，再根据全等三角形的判定和性质即可得到答案．
证明：∵ 为AB的中点（已知），
∴ （中点性质），
∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等），
又 （已知），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ ，
在 与 中
∴ （ ），
∴ （全等三角形对应边相等）．
故答案：中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角
形对应边相等．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质和中点性质，得到三角形全等的条
件是解题的关键．
【考点三】三角形全等➼➻“角边角（角角边）”和“边边边”“边角边”综合【例3】如图，在 中， ， 、 是 边上的点．请从以下三个条件：① ；
② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使得 ．
(1) 你添加的条件是______（填序号）；
(2) 添加了条件后，请证明 ．
【答案】(1)①（答案不唯一）； (2)见分析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
（1）解：可选取①或③（只选一个即可）， 故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
，
，
在 与 中，
，
，
；
当选取③时，
，
，
在 与 中，
，，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并
灵活运用．
【举一反三】
【变式1】如图， ，AB=CD，点E、F在BC上，从① ，②AF=DE中选择一个作为
补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)
【答案】①，②；过程见分析
【分析】根据 可知 ，结合 ，再添加AF=DE， 不能证明三角形全等，所以
添加条件①，证明 ，利用AAS证明 ，可得出结论②，即可求解．
解：你选的补充条件是①，结论是②，理由如下，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ （AAS），
∴AF=DE．
故答案为：①，②．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．【分析】证 ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证 BDO≌△CEO，根据全等三角形
的性质推出△即可． △
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在 ABE和 ACD中
△ △
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在 BDO和 CEO中
△ △
∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
【考点四】三角形全等➼➻添加条件证明三角形全等
【例4】如图，线段 与 交于点 ，点 为 上一点，连接 、 、 ，已知 ，
．
(1) 请添加一个条件________使 ，并说明理由．
(2) 在（1）的条件下请探究 与 的数量关系，并说明理由．【答案】(1) ，理由见分析；(2) ，理由见分析．
【分析】（1）利用 判定定理，添加 即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．
（1）解：添加条件： ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在 中， ．
(1)如图①，若 ， ，垂足分别为 ， ，请你说明 ．
(2)如图②，若 是 上一点（ 、 除外）， ， ，垂足分别为 ， ，请问：
成立吗？并说明理由．
(3)如图③，若（2）中 ， 不垂直于 ， ，要使 ，需添加什么条件．并在你添加的
条件下说明 ．【答案】(1) 见分析；(2) 成立，见分析；(3) ，见分析
【分析】(1) 利用 证明 即可．(2) 利用 证明 即可．(3) 添加
，利用 证明 即可．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） 成立．理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）添加 ．理由如下：
∵
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【变式2】在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt ABC绕点C
沿顺时针方向旋转α，△过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． △
(1) 当0＜α＜90°时，证明： ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
(2) 当90°＜α＜180°，且α≠1△35°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)DE=AD+BE，理由见分析；(2)AD=DE+BE
【分析】（1）由“AAS”可证 BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论；
（2）由“AAS”可证 BCE≌△C△AD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论．
（1）解：DE=AD+B△E，理由如下：
证明：∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在 ACD和 CBE中，
△ △
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=AD+BE；
（2）解： AD=DE+BE，理由如下：
如图，∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，AD=CE，
∴AD=DE+BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
