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第 6 节 指对幂函数
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题
1．瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实
测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程： ，其中 为反应速率
常数， 为摩尔气体常量， 为热力学温度， 为反应活化能， 为阿伦尼乌斯常数．
对于某一化学反应，若热力学温度分别为 和 时，反应速率常数分别为 和 （此过程
中 与 的值保持不变），经计算 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知： ， ，则
.故选：A.
2．设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，故 即 ，故 ，故
而 ，且 ，故 ，
故 ，故选：C
3．定义矩阵运算 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ．故选：B．4．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】 ，又 为增函数，故
是 的充分不必要条件．
故选：A．
5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信
息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时
能量损耗满足传输公式： ，其中D为传输距离，单位是km，F
为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1
倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据： ， ）
（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【答案】C
【解析】设 是变化后的传输损耗， 是变化后的载波频率， 是变化后的传输距离，
则 ， ， ，
则 ，即 ，从而 ，即传输距离增加了约3倍，
故选：C．
6．设 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【解析】由题设 且 ，则 ，故 .故选：
C
7．科学记数法是一种记数的方法.把一个数 表示成 与10的 次幂相乘的形式，其中
， .当 时， .若 ，则数列 中的项是七位数的
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】数列 中的项是七位数的满足 ，同时取对数得 ，所以，由已知 ，代入得 ，且 ，所以符合条件的 值又
4个，数列 中的项是七位数的有4个.故选：B.
8．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
又因 ， 且 ，
所以 ，即 ，所以 .故选：D.
9．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，
， ，所以 .
a＝0.20.2 ，b ，
显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b，故有c＞a＞b. 故选：C
10．定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，设
， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知： 关于直线x=1对称.
当 时， ，由复合函数的单调性知： 在 上单调递增.
又 ，
而 ， ， ，
所以 .故选：D.
11．科学记数法是一种记数的方法.把一个数 表示成 与10的 次幂相乘的形式，其中
， .当 时， .若一个正整数 的15次方是11位数，那么这
个数是（ ）（参考数据： ， ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由题意可设 ，
因为正整数 的15次方是11位数，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，则 ，
所以 ，所以正整数 为5.故选：B.
12．已知数列 满足 ， ，记 ，若存在m， ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 两边取倒数可得 ，
则 ，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ．又 ，所以 ，即 ，
所以 ．
又 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．因为m， ，所以等号取不到，则当 ， 时， ；当 ， 时，
，所以当 ， 时， 取得最小值 ，故选：C．
二、填空题
13．一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．
现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充
分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能
保持疗效．（附： ， ，精确到0.1h）
【答案】6.6
【解析】设 h后血液中的药物量为 mg，则有 ，
令 得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：6.6
14．若 为奇函数，则实数 ______．
【答案】
【解析】令 ．因为 为奇函数，所以 必为奇函数，则
，即 ，整理得 ，则 ，解
得 或 ．当 时， 无意义，舍去；
当 时， 的定义域为 ，符合题意.
故答案为： .
15．已知 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，故 ，且 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .故答案为： .
16．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ，劳累程度
，劳动动机 相关，并建立了数学模型 ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】设甲与乙的工人工作效率 ，工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机 ，
对于①， ， ， ， ， ∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②， ， ， ，∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③， ， ， ， ，
∴ ， ，
，所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.故答案为：①②④.
三、解答题
17．函数 ，(1)求函数 的定义域；
(2)求函数 的零点；
(3)若函数 的最小值为 ，求 的值
【解析】 (1)
要使函数有意义，则 ，解得：
所以函数 的定义域为：
(2)
令 ，得：
即
解得：
因为
所以函数 的零点为 .
(3)
且函数 的最小值为
即 ，得 即 .
18．已知幂函数 在 上单调递增，函数 .
(1)求 的值；
(2)当 时，记 的值域分别为集合 ，若 ，求实数 的取值范
围.
(2) .
【解析】 (1) 为幂函数且在 上单调递增， ，解得： ；
(2)由（1）知： ， 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
， ，解得： ，即实数 的取值范围为 .
19．（1）计算： ；
（2）已知 是方程 的两根，求 的值.
【解析】（1）原式＝ ；
（2）由题意 ， ，又 ，而 ，所以
，所以
，
20．已知函数 为偶函数.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值
为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知函数 的定义域为 ，
因为 为偶函数，所以 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知 所以 ，
令 ，则 ，其对称轴为 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，
由 ，解得 ，此时不满足 ，此时不存在符合题意的 值；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 ，
由 ，解得 或 ，又 ，所以 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ，不满足 ，此时不存在符合题意的 值.
综上所述，存在 ，使得函数 在区间 上的最小值为 .
21．已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）试判断函数 的奇偶性；
（3）求不等式 的解集.
【解析】（1）由题知： ，
所以函数 的定义域为 .
（2）因为函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
（3） ，
所以 ，故解集为 .
22．已知函数 满足 ，其中 为常数.
(1)对 ，证明： ；
(2)是否存在实数 ，使得 ，且 ？若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)由 ，得 ，所以
，所以
=上式，
命题得证.
(2)由(1)得：函数 的定义域为 ，
，故函数 为奇函数，
，
，
联立以上两式，解得： ，
此时 ， .
