文档内容
专题 12 平方差与完全平方公式的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用乘法公式进行先化简再求值........................................................................................................2
类型二、利用乘法公式进行简便运算................................................................................................................6
类型三、利用乘法公式的变式求值...................................................................................................................9
类型四、求完全平方式中的字母系数..............................................................................................................12
类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题......................................................................................13
类型六、平方差公式在几何图形中的应用......................................................................................................18
类型七、完全平方公式在几何图形中的应用...................................................................................................23
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................29
解题知识必备
1.平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2.平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
3.完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．
4.完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
压轴题型讲练
类型一、利用乘法公式进行先化简再求值
例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ；11
【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式，完全平方公式，结合整式混合运算法则进行
化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：，
把 ， 代入得：
原式 ．
【变式训练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ，2025
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【详解】本题考查了整式的运算，先把括号内利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项，再
计算除法，最后把m 、n的值代入计算即可．
解：
，
当 ， ，原式
【变式训练2】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平
方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将 ，
代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简再求值：
，其中 ， ．【答案】化简得 ，求值得
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先利用运算法则
化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当 ， 时， ．
【变式训练4】（23-24七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】整式的混合运算、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运
算
【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先根据整式的混合运算法则，进行化简，再根据非负性求出
的值，代入化简后的结果，进行计算即可.
【详解】解：原式
∴原式
【变式训练5】（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
【答案】(1) ，(2) ，3
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解
本题的关键．
（1）先利用乘法公式和多项式的乘法法则计算，根据零次幂和负整数指数幂计算求得 和 的值，再代入
即可求解；
（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计
算即可．
【详解】（1）解：
，
又 ， ，
所以，把 ， 代入，
原式 ；
（2）解：
，
又 ，得 ，
所以，原式 ．
类型二、利用乘法公式进行简便运算
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】（ ）利用平方差公式进行运算即可；
（ ）根据完全平方公式的逆用即可求解；
本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练1】（（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式：
（1）直接利用完全平方公式求解即可；
（2）先把原式变形为 ，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练2】（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）简便运算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)100
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了有理数中完全平方公式和平方差，熟练掌握完全平方公式和平方差是解题的关键.；
（1）转换为平方差形式，计算即可；
（2）先转化，然后用完全平方公式进行计算即可得解．
【详解】（1）
，
（2）
；
【变式训练3】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ；
（2）利用平方差公式进行计算：
（3）计算： = ；并直接写出上面结果的个位数字是 ；
（4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，
任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分）
①计算：
②计算：
【答案】（1） ， （2）9996 （3）22048 ；6 （4）①2049300 ②
【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索
【分析】本题考查平方差公式，掌握 是正确解答的关键．
（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）将 写成 ，利用平方差公式进行计算即可；（3）将原式形成 ，连续利用平方差公式得到结果
为 ，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案；
（4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可；
②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可．
【详解】解：（1） ，
原式
，
故答案为： ， ；
（2）原式
；
（3）原式
；
∵ ， ， ， ， ， ，……，
而 ，
∴ 的个位数字是6，
故答案为： ，6；
（4）①原式
；
②原式类型三、利用乘法公式的变式求值
例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知 ，求下列各式的值：
①
②
【答案】①13；②7
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方和公式，根据题意熟练运用完全平方公式恒等变形求值是解
决问题的关键．①根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；②根据①中
，再代入 即可得到答案．
【详解】解：① ，
当 时，原式
；
② ， ，
．
【变式训练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若 ， ，
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值：
（1）根据 进行求解即可；
（2）根据 进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
【变式训练2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）5；（2）15
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式 ，并灵活运用是解答的
关键．
（1）利用公式 和已知求解即可；
（2）利用完全平方公式和已知求解即可．
【详解】解:（1）∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知 ， ，则 的值为
______；
（2）已知 ， ，则 ______；
（3）已知x满足 ，则 的值为______．
【答案】（1）26；（2） ；（3） ．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式．
（1）利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题；
（2）先利用完全平方公式将代数式变形，再整体代入求值，即可解题．
（3）设 ，将等式变成含 的方程，表示出 的值，即可求解．
【详解】解：（1） ， ，
．故答案为：26；
（2） ， ，
又 ，
，
，
，
故答案为： ．
（3）设 ，则 ， ，
，
，即 ，
整理得 ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练4】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知 ， ，求 和 的值；
（2）已知 ， ，求 和 的值；
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）5
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查的是利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式变形，计算即可．
（2）利用完全平方公式变形，计算即可．
（3）利用完全平方公式变形，计算即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
， ，；
（2） ， ，
①， ②，
① ②，得 ，
，
① ②，得 ，
；
（3） ，
，
，
，
．
类型四、求完全平方式中的字母系数
例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 恰好可写成是一个整式的平方式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方式的特点，掌握完全平方式的特点求解字母系数的值是解题的关键．
【详解】解：∵
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练1】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如果多项式 是一个完全平方式，则
．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式 是一个完全平方式，
∴ ．
故答案为： ．【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）若关于x的多项式 是完全平方式，
则k的值等于 ．
【答案】6或
【分析】本题主要考查根据完全平方式求参数的值，根据完全平方式的特点“首平方，尾平方，首尾的2
倍在中央”进行求解即可．
根据完全平方公式的特点即可解得．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ．
故答案为：6或 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）给多项式 添加一个单项式，使其成为一个完
全平方式，则添加的这个单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了完全平方式，可以把 和 看作两平方项，则一次项可以为 ，据此
可得答案．
【详解】解：由题意得，给多项式 添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，添加的这个单项式
可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题
例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式 的最小值．
解： ，
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)代数式 的最小值为______；
(2)已知a，b为任意值，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
(3)已知有理数x，y满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) ，见解析(3)4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可；
（3）根据题意得到 ，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
【详解】（1）
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ；
（2）
∵ ，
∴
∴ ；
（3）∵
∴
∴当 时， 最小，最小值为4．
【变式训练1】（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式 及
叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同
样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如： ，
，
．
当 时， 的值最小，最小值是1．
即当 时， 的最小值是1．
【尝试应用】（1）下列多项式中① ；② ；③ 是完全平方式的有_________．（请填
写序号）若 是一个完全平方式，则 的值等于_________（ 为常数）．
（2）求代数式 的最小（或最大）值，并写出相应的 的值．
【拓展提高】
（3）用长 的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由．
【答案】（1）②③，24或 ；（2） 时，该式的值最小，最小值是1999；（3）最大面积为9平
方米，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式的特征可得①不可以写成完全平方的形式，②③可以写成完全平方的形
式．若 是一个完全平方式，则 ，由此即可得解．
（2）将 写成 ，即可求出其最小值．
（3）设长方形的长为 ，则宽为 ，则面积为 ，将 写成 ，
即可求出其最大值．
【详解】解：（1）① 不是一个完全平方式；
② ，
∴ 是完全平方式；
③ ，
∴ 是完全平方式；
若 是一个完全平方式，
则 ，
∴ ．
故答案为：②③，24或
（2） ，
，
，
当 即 时，该式的值最小，最小值是1999．
（3）设长方形的长为 ，则宽为 ，
围成的长方形的面积是 ，
，
又 ，
，当 即 时， 的值最大，最大值是9，
∴最大面积为9平方米．
【点睛】本题考查的是利用完全平方式的非负性求解代数式的最值，利用完全平方公式分解因式，同时考
查了不等式的基本性质，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键．
【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如 的式子叫做完全平方式．有
些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，
这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．
示例：用配方法求代数式 的最小值，
解：原式
的最小值为 ．
(1)若代数式 是完全平方式，则常数k的值为__________；
(2)用配方法求代数式 的最小值；
(3)若实数a，b满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)16
(2)2
(3)4
【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键．
（1）利用完全平方公式即可得；
（2）利用配方法把 配凑成 ，由此即可得；
（3）将 配凑成 ，由此即可得．
【详解】（1）解：∵代数式 是完全平方式，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
的最小值为2；
（3）解：∵，
，
，
，
，
的最小值为4．
【变式训练3】（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决
代数式一些问题，观察下列式子：
① ，
．因此，代数式 有最小值 ；
② ，
．因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为 ；代数式 的最大值为 ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)已知 的三条边的长度分别为a、b、c，且满足 ，且c为正整数，求 的
周长的最大值．
【答案】(1) ；6
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进
行变形是解题的关键．
（1）利用材料中的方法进行求解即可；
（2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可；
（3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三
边关系即可解答．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ；，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最大值为6；
（2）解： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ；
（3）解：
，
的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数，
，即 ，
的最大值为10，
的周长的最大值为： ．
类型六、平方差公式在几何图形中的应用
例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图1），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________；
(2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．②计算： ．
【答案】(1)
(2)①3；②
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）①由平方差公式进行计算即可；
②将原式化为 ，即 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的图2是长为 ，宽
为 的长方形，因此面积为 ，
所以有 ，
故答案为： ；
（2）解：① ，即 ，而 ，
；
②原式
．
【变式训练1】（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，
把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）．
(1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知 ， 则 ．
②试说明 （n为整数）是4 的倍数；
【答案】(1)D
(2)①7；②见解析
【分析】本题主要考查了运用平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式
．
（1）根据图中阴影部分的面积进行解答即可；
（2）①根据平方差公式变形进行计算即可；②利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积为 ，
∵两个图中阴影部分的面积相等，
∴能验证的等式是 ，故D正确．
故选：D．
（2）① ，
，
，
故答案为：7；
② ．
所以 （n为整数）是4 的倍数
【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长
为b的小正方形，再沿着线段 剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ．请直接用含a，b的代数式表示
__________， __________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________．
(2)应用公式计算：
①已知 ， ，求 的值．② ．
【答案】(1) ； ；
(2)① ，②
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（2）①先变形 ，再求解即可；
（3）利用平方差公式进行解答即可．
【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ，
拼成图2是长为 ，宽为 的长方形，因此阴影部分的面积为 ，
所揭示的乘法公式为： ，
故答案为：
， ， ；
（2）①由 ，
得 ．
②
．
【变式训练3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A．B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算： ；
③计算： ．
【答案】(1)B
(2)① ；② ；③
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．
（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．
（2）①利用平方差公式计算即可；
②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；
③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的图2是长为
，宽为 的长方形，因此面积为 ，
所以有 ，
故答案为：B；
（2）① ，即 ，而 ，
；
②原式
；
③原式
．类型七、完全平方公式在几何图形中的应用
例题：（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔
裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同
一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为 ，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪
刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．
【知识生成】
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：__________________；
方法二：__________________；
【得出结论】
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系为____________；
【知识迁移】
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足： ， ，求 的值．
（4）若a满足 求 的值
【答案】（1）方法一： ；方法二： ；（2） ；（3） ；
（4）
【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经
常联系在一起，要学会观察．
（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即 ，图②中的阴影部
分正方形的边长等于 ，即面积为 ；
（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；
（3）①由（2）中的等量关系即可求解；②先变形为 ，可
得 ，再计算即可．
【详解】（1）方法一： ；
方法二： ，
故答案为： ，（2）代数式 之间的等量关系为：
；
故答案为：
（3）由（2）可得 ．
∴ 或 ．
（4）
【变式训练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为__________；
(2)运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且 ， ，求 的值．
②如图3， ， 分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若 ，
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)① 或 ；②8
【分析】本题主要考查完全平方式的运用与转化，平方差公式的应用；
（1）根据大正方形面积 四个矩形的面积 中间小正方形的面积，进行列式即可得到答案；
（2）①先求出 的值，再利用（1）中的关系式，求解即可；
②分别用 ， 表示 、 的值，再利用平方差公式求出 ，然后根据（1）中的关系式求出 的
值，最后再求出阴影部分的面积即可．
【详解】（1）解：由图可知，大正方形面积 四个矩形的面积 中间小正方形的面积，即 ，
故答案为： ．
（2）解：① ， ，
，
由（1）可得 ，
或 ；
② ， 分别表示边长为a，b的正方形的面积，
， ，
，
，
，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分面积为 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方
形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：________________________________；
方法2：________________________________．
(2)请你直接写出三个代数式： 之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶
①已知： ，求 和 的值；②已知： ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)① ；② 或
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值：
（1）利用阴影部分的面积是边长分别为 的两个正方形面积之和边长为 的正方形面积减去空白
部分面积两种方法列出正确结果；
（2）由图2中阴影部分的面积表示可得： ；
（3）①由 可得 ，故 ，
，即可得出结果；②设 ， ，则 ，进而得
到 ，再由 推出 ，据此求出 ，由此可得答案．
【详解】（1）解：阴影两部分求和为 ，用总面积减去空白部分面积为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意得， ；
（3）解：①由（2）题结论 可得 ，
∵ ，
∴
，
；
；
②设 ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我
国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．
由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性．
(1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______．
(2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出 、 、
之间的等量关系：______．
(3)根据（2）中的结论进行计算．已知： ， ，求 的值．
(4)如图3，正方形 与正方形 的重合部分长方形 的面积是2024， ， ，四
边形 和四边形 都是正方形，求正方形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)8100
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式的结构特征是正
确解答的关键．（1）根据图1中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（2）用代数式图2中各个部分面积，由各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（3）利用（2）的结论，代入计算即可；
（4）设长方形 的长 ，宽 ，由题意可知 ， ，由
进行计算即可．
【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为 ，因此面积为 ，组成大正方形的四个部分的面积
和为 ，
故答案为： ；
（2）解：图2中大正方形的边长为 ，因此面积为 ，中间小正方形的边长为 ，因此面积为
，四个长为 ，宽为 的长方形面积为 ，
所以有 ，
故答案为： ；
（3）解：由（2）得， ，
， ，
，
；
（4）解：设长方形 的长 ，宽 ，则 ，即 ，
由于长方形 的面积是2024，即 ，
四边形 和四边形 都是正方形，
正方形 的边长为 ，
正方形 的面积
．压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若 是一个完全平方式，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍
项即可确定 的值，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足： ，求代数式
的值（ ）
A．6 B．2 C．-4 D．-8
【答案】B
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为 ，
将其代入整理得 ，再根据偶次方的非负性求出 ， 的值，再求出a的值，再代入计算
即可.
【详解】解:
，
∴ ，
，
，
，
，
故选：B
3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．不能确定【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用作差法比较大小，结合平方差公式先计算 ，再根据
结果进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
∴ ，
故选：A
4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形 ，
把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的
两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可．
【详解】解：第一个图形中剩余的面积为： ，
由第一个图形可知，大平行四边形的高为： ，
∴第二个图形的大平行四边形的面积为 ，
∴ ；
故选C．
二、填空题
5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
【答案】【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式，先把 当成一个整体，根据 计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为 的正方形一角剪去一个边长为 的小正方形
，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字
母表示
【答案】
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根
据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为 ；
由右图可得：阴影部分的面积为： ；
所以 ．
故答案为：
7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的
值是 ．
【答案】2或 / 或2
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，
即可求出m的值．
【详解】解： ，
∴ ，解得： 或 ，
故答案为：2或 ．
8．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足 ， ，则
S的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决本题的关键．先将
变形为 ，再代入 ，然后进行变形，得到 ，最后探究
的最小值．
【详解】解：由题得 ，
，
∵ ， ，
∴ ，（当且仅当 ， 时取等号），
经验证： ， 满足 ，
综上， 的最小值为6．
故答案为：6．
三、解答题
9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号
外，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【详解】解：，
当 ， 时，原式 ．
10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）先化简，再求值 ，其
中 ， ．
（2）利用简便方法计算：
① ；
②
【答案】（1） ，4；（2） 1，
【知识点】整式的混合运算、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先利用完全平方公式，平方差公式进行化简，再算除法，然后代入计算即可解答；
（2）①利用平方差公式，进行计算即可解答；②利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】解：（1）原式
，
当 时，原式 ；
（2）①原式
；
②原式
．
11．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值．
解： ，∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是4．
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大值．
【答案】(1)5
(2)5
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，难度不大，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，
把式子变成完全平方与一个常数的和的形式．
（1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答；
（2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答．
【详解】（1）解：
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是5；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴代数式 的最大值是5．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为 的小
正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面
积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．【拓展】（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2）①4；② ；（3）
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的应用．
（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出 ，代入求值即可；
②可将 写成 ，再利用平方差公式求值；
（3）利用平方差公式将 写成 ，以此类推，然后化简求值．
【详解】解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
所以，得到乘法公式 ，
故答案为： ；
（2）①由 得， ，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：4；
②
；
（3）
．
13．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）阅读理解．
已知 ，求 的值．
解：由 ，可得 ．
整理得 ．得 ．
请仿照上述方法，完成下列问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)4
(2)18
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式： 是解题的关键．
（1）将 变形为 ，利用完全平方公式得到
，然后利用整体代入的方法计算；
（2）将 变形为 ，利用完全平方公式得到
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种
图形验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
【答案】(1)①②③
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，
（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即
可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）将原式化为 ，再连续利用平方差公式进行计算即可；
解题的关键是掌握平方差公式 的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二
项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③
公式中的 和 可以是单项式，也可以是多项式．
【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为
，高为 的平行四边形，面积为 ，
∴ ，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽为
的长方形，面积为 ，
∴ ，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为 ，高为
的平行四边形，面积为 ，∴ ，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽
为 的长方形，面积为 ，
∴ ，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）
；
（3）
．
15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读与思考：我们把多项式 及 叫做完
全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完
全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如，求 的最小值．
解： ， ， ，所以当 时，即当 时， 有最小值，最小值为1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）当 时，多项式 有最 值，最 值是 ；
【知识迁移】
（3）代数式 的最小值为 ．
【答案】（1）9；（2）−2，大，大，7；（3）6
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了多项式、完全平方式和多项式的最值，解题关键是熟练掌握利用配方法把多项式
写成完全平方式．
（1）利用已知条件中的配方法求出答案即可；
（2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可；
（3）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可．
【详解】解：（1） ，
故答案为：9；
（2）
，
，
，
当 ，即 时， 有最大值，最大值是7，
即当 时，多项式 有最大值，最大值是7，
故答案为：−2，大，大，7；
（3）
，
，
代数式 有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
16．（24-25八年级上·全国·期中）对于任意四个有理数 ， ， ， ，我们规定： ，．例如： ， ．
(1)若 是一个完全平方式，求常数 的值；
(2)若 ，且 ，求 与 的值；
(3)在（2）问的条件下，将梯形 及梯形 按照如图方式放置，其中点 在边 延长线上，点
在 上，且 ， ，连接 ．若 ， ， ， ，当
时，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
(3) 的值是 或 ．
【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式在几何图形中的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、
通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）先根据材料中的定义可得：， ，再由完全平方公式可得 的值；
（2）先根据定义和等式可得 ，将已知 两边同时平方，可得 的值，将 展开
可得结论；
（3）根据梯形面积公式和三角形面积公式进行计算即可．
本题是新定义问题，考查了新定义的运用，三角形的面积，梯形的面积和完全平方公式等知识，解题的关
键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）解：依题意 ，
∵ 是一个完全平方式，
，
；
（2）解：∵
，
，
，
，
，
，；
（3）解： ，
，
，
，
由（2）知： ， ， ，
当 时， ，
，
，
当 时， ，
，
．
综上， 的值是 或 ．
