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专题13.16 等边三角形（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．如图，梯子与地面的夹角为 ，上端 靠墙，底端 距离墙角 米，则梯子的长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且 ，则CE的长
是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．如图， 于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 是等边三角形，点 为 边上一点，以 为边作等边 ，连接 ．若
，则 长为（ ）
A． B． C． D．5．若 三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，则该三角形一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形，但不一定为等边三角形
6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形 B．有两个外角相等的等腰三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．三个角都相等的三角形
7．如图，在等边 中，D为 的中点，P，Q分别在 ， 上，且 ， ，在
上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．18 D．19
8．古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面
示意图． 为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂
直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为 ，点
B的对应点为 ．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若 垂直地面， ，此时，
到水平地面的距离是（ ）米
A．12 B． C． D．21
9．如图，在等边三角形DEF中， ，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2， ，
，则CE的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
10．将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC //DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．如图，在 中， ， ， 是高 若 ，则 ．
12．如图，在 中， ， 交 于点 ， ， ，则 的长为
．
13．如图， ， ， 三点在同一直线上， 和 均为等边三角形，连结 ， ，若
，那么 ．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC
的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
15．如图，在 中， ，D，E是边 上两点，且 所在的直线垂直平分线段 ，
平分 ， ，则 的长是 ．
16．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA，OB的对称点，连接CD交
OA，OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为9，则线段OP＝
17．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧
相交于两点 ， ；②作直线 交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，则．
18．如图， 中， ， ， ，动点 在边 上运动，将线段 绕点 逆时
针旋转 得 ，取 的中点 ，当点 从点 开始向右运动到点 时结束，则对应的点 所经过的路
线的长度为 ．
三、解答题
19．如图， 平分 ， ， ，在 上取一点 ，连接 ，使 ，
．
（1）求证：PC//OB； （2）求∠CPO的度数．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长．解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（ ）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（ ）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（ ）
∠H＝∠BCD＝90°，（ ）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8．（ ）
21．如图， 是等边三角形， 是 边上一点，在 右侧作 ，且 ，连接
， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 是等边 外一点，且与点 都在直线 同侧，若 ，连接 ，画出图形，探究
线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．22．如图， ，点C为射线 上一定点，E为线段 延长线上一定点，且 ，点A
关于射线 对称点为D，连接 ．
（1）证明： ；
（2）若P为直线 上一个动点，求 周长最小时，P所在的位置，并求出 周长的最小值．
23．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，
AM⊥BO，M为垂足．
（1）求AM的长； （2）求证：AO＝CO．
24．作图：已知直线 ，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l 上取点
1
A，D，在l 上取点E，作等边△ADE，DE交l 于点B；在l 上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，
3 2 3
BC，则△ABC即为所求的等边三角形．
（1） 完成作图并写出已知，求证；（2） 证明△ABC为等边三角形．
参考答案
1．B
【分析】梯子与地面的夹角为 ，即 ，则 ，再根据 ，利用直角三角形中
角所对的直角边是斜边的一半即可求得梯子的长度．
【详解】解：已知梯子与地面的夹角为 ，即 ，则 ，且 ，
所以 ，即梯子的长度为6米．
故选：B
【点拨】本题考查直角三角形的 角的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，
求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC= cm，
∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角
所对的直角边等于斜边的一半．
3．C
【分析】根据等角对等边得到 ，根据三角形外角的性质得到 ，再根据含30度
角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出
， 是解题的关键．
4．A
【分析】由 ， 是等边三角形可得AC=BA=BC，BD=BE， ，可得出
，即 ，可得 ，由全等三角形的性质得
AD=CE=3，则BC=AC=AD+CD，即可解题．
【详解】解：∵ ， 是等边三角形，
∴AC=BA=BC，BD=BE， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴AD=CE=3，
∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．
故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证 是解题的关
键．
5．C
【分析】三角形的三条角平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等，由此可知三角形的三个内角相等，
则三角形为等边三角形．
【详解】如图：
∵ 内的三条角平分线的交点D到三个顶点的距离相等，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴三角形为等边三角形；
故选：C
【点拨】本题考查的是等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握
其性质是解决此题的关键．
6．B
【分析】根据等边三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；
B、有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故此选项符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；
D、三个角都相等的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，熟知等边三角形的判定定理是解题的关键．
7．A【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最小值
．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
∵D为 的中点， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴当点P、E、 三点在同一直线上时， 最小，则 最小，
即 的最小值为 ，
， ， ，
，
∴ ，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为28．
故选：A．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题，属于中考常考题型．8．C
【分析】如图所示，延长 交地面于C，延长 交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明
都是等边三角形，得到 ，再证明 得到
，则 ，即可得到 ， ，设 ，则 ，求出
，即可求出 ．
【详解】解：如图所示，延长 交地面于C，延长 交地面于D，设此时炮索的位置为E，
∵ ，
∴ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则炮索的长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到水平地面的距离是 ，
故选C．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解
题的关键．
9．D
【分析】由等边三角形的性质得三个角都是60°，三边相等，证明△ADB≌△CFA（AAS），再根据全等
三角形的性质得出DA＝CF，即可得出答案．
【详解】解：∵∠CAB＝60°，
∴∠FAC+∠DAB＝120°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠D＝∠F＝60°，DF＝DE＝EF，
∴∠FAC+∠FCA＝120°，
∴∠DAB＝∠FCA，
在△ADB和△CFA中，
，
∴△ADB≌△CFA（AAS），
∴DA＝CF＝2，
∵EF＝6，
∴CE＝EF﹣CF＝6﹣2＝4，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解
题的关键．
10．B
【分析】根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，直接利用相关性质判定①②③④的结论．
【详解】解：根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，
如图所示：①粘合时，线段AB与线段FG重合，故①正确，符合题意；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，故②正确，符合题意；
③在正方体中，AC 和DE不在同一平面内，不平行，故③错误，不符合题意；
④在正方体中，连接BD，所以△BDE为等边三角形，DE与EF所在直线成60°角，故④正确，符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方体及其平面展开图，等边三角形的判定和性质，注意正方体的空间图形，从相对
面入手，分析及解答问题．
11．9
【分析】求出 ，求出 ，根据含30度角的直角三角形性质求出 ， ，求出
即可．
【详解】解： 是高， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
【点拨】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出
， ．
12．
【分析】根据 ， ，可求出 的度数，得等腰三角形 ，在根据含
角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形，含 角的直角三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，含 角的直
角三角形的角与边的关系是解题的关键．
13． /21度
【分析】由等边三角形的性质得出 ，根据 可求出答案．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
14．8
【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求
出BG，利用等腰三角形的性质求出BC．
【详解】解：∵△BEF是等边三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG= BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°∴GF= DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案为8
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键．
15．10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，证明 为等边三角形，得到 ，根据等腰
三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，掌握线段的垂直平分线上的点
到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．9
【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【详解】解：连接OD，OC，∵∠AOB=30°，点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
，
即 ，
，
∴ ，
DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，
∴△DOC是等边三角形，
，
∵△PEF的周长的为9，
，
∴OP=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，得出△DOC是等边三角形是解题关键．
17．
【分析】根据线段垂直平分线的画法和性质，得 ， ， ，再根据
，根据等边三角形的判定与性质，即可．
【详解】解：由题意得， 是 的垂直平分线，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查线段垂直平分线画法及其性质，等边三角形的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线
的性质，等边三角形的判定和性质．
18．
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ，由题意得， ，则 是等边三角形，根据等边
三角形的性质，得 ， ，根据直角三角形中， 所对的直角边是斜边的
一半，再根据勾股定理，即可．
【详解】如图所示：把 绕点A逆时针旋转 得 ，
取 的中点 ，连接 ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 得 ，
∴ ， ， ，
∴当点 与点 重合时，点 与点 重合时， 是等边三角形；当点 与点 重合时，点 在
处， 是等边三角形，
∴连接 、 两点， 为点 的运动路线，
∵ 是 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查动点问题与几何的综合，旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和
性质，勾股定理的运用，旋转的性质，动点的运动轨迹．
19．(1）见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，可得 ，再由 平分 ，可得 ，从而得
到 ，即可求证；
（2）根据角平分线的性质定理，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，再由
PC//OB，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
平分 ，，
，
∴PC//OB；
（2）解： 平分 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
∵PC//OB，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌
握平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质是解题的关键．
20．垂直的定义；中点的定义；对顶角相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；直角
三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半
【分析】根据垂直、中点的定义以及全等三角形的判定与性质，结合上下文，求解即可．
【详解】解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（垂直的定义）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（中点的定义）
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（全等三角形的对应边相等）∠H＝∠BCD＝90°，（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8．（直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了垂直、中点、对顶角以及直角三角形的性质，解题
的关键是熟练掌握相关基本性质．
21．(1）证明过程见详解
（2）当点 在 右侧时， ；当点 在 左侧时， ，理由见详解
【分析】（1） 是等边三角形， ， ，可证 ，由此即可证；
（2）如图所示（见详解），当点 在 右侧时，当点 在 左侧时，
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：如图所示，当点 在 右侧时， ．
证明：在 上取点 ，使 ，连结 ，设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
如图，当点 在 左侧时， ．
在 上取点 ，使 ，连接 ，同理可得 ，
∴ ， ，同理可得 为等边三角形， ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角
形的判定和性质的综合运用是解题的关键．
22．(1）见解析
(2)P与B重合时， 周长最小，最小值为36．
【分析】（1）根据 证明 ，即可得出结论；
（2）根据两点之间线段最短，得出当P，A，E三点共线时， 最小，最小值为 ，再证明
为等边三角形，即可求解
【详解】（1）证明：∵A，D两点关于射线 对称，B，C在 上，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵ ，
由于点D，E均为定点，故 的长不变．
∴当 最小时， 的周长最短．
∵A，D两点关于射线 对称，
∴ ．
∴ ．
∵两点之间线段最短，
∴当P，A，E三点共线时， 最小，即P与B重合时 最小， 最小值为
．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ 为等腰三角形．
又∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识；熟练掌
握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）3；（2）见解析
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的基本性质以及“等边对等角”求出∠BAO和∠OAM，即可得到
∠BAM，从而可得到 BAM是含30°角的直角三角形，即可求解；
（2）作OD⊥AC于D△点，结合（1）的结论分别求出AD和CD的长度，即可证D为AC的中点，进而得到OD垂直平分AC，最终利用垂直平分线的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAO=15°，
∴∠BAO=90°-15°=75°，
∵AB=OB，
∴∠BAO=∠BOA=75°，
∴∠ABO=180°-2×75°=30°，
∵AM⊥BO，M为垂足，
∴∠AMO=∠AMB=90°，
∴Rt ABM中，∠ABM=30°，
∵AB△=6，
∴AM= AB=3；
（2）证：如图所示，作OD⊥AC于D点，则∠ADO=90°，
由（1）可知，∠DAO=∠MAO，
在 AMO和 ADO中，
△ △
∴ AMO≌ ADO(AAS)，
∴△AM=AD，△
由（1）知，AM=3，
∴AD=3，
∵AC=6，
∴CD=6-3=3，
∴AD=CD，
∵OD⊥AC，
∴OD垂直平分AC，
∴AO=CO．【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中垂线的判定与性质，掌握基
础知识，并熟练综合运用是解题关键．
24．(1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；
（2）只需要证明△ACE≌△ADB得到AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，再证∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB＝
60°，即∠CAB＝60°，即可证明△ABC为等边三角形．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为完成的图形；
已知：如图，已知直线l∥l∥l，在l 上取点A，D，在l 上取点E，作等边△ADE，DE交l 于点B；在l 上
1 2 3 1 3 2 3
点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC．
求证：△ABC为等边三角形．
（2）证明：由（1）得：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°，
∵l∥l∥l，
1 2 3
∴∠EAD＝∠CEA＝60°，
∴∠AEC＝∠EDA，
在△ACE和△ADB中，
，
∴△ACE≌△ADB（SAS），∴AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB＝60°，
∴∠CAB＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【点拨】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的
性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．
