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专题13.4 等边三角形的性质和应用（6个考点）
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【考点3：等边三角形的判定】
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
1．（2024•福州模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的
长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D＝90°，
∴CD＝ BC＝2，
故选：A．2．（2023秋•楚雄州期末）如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线
于点C．若CE＝6，则AB的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，∠A＝∠ABD＝60°，
∵BE是等边△ABD的中线，
∴DE＝ AD＝ BD，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠ABD＝60°，
∴∠CBD＝∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝BD，
∴DE＝ CD，
∴CD＝ CE＝ ×6＝4，
∴AB＝CD＝4．
故选：D．
3．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外
作等边△ACD，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，若 AB＝5，CE＝3，则 BC 的长为
（ ）A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB+∠ACB＝120°．
∵等边△ACD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°．
∴∠ACB+∠DCE＝120°．
∴∠CAB＝∠DCE．
过点C作CP⊥AB于点P，
∴∠APC＝90°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°．
在△DCE和△CAP中，
，
∴△DCE≌△CAP（AAS）．
∴CE＝AP＝3．
∵AB＝5，
∴BP＝2．
在Rt△BPC中，∠B＝60°，
∴BC＝2BP＝4．
故选：A．
4．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、
AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（
）A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【解答】解：∵AB⊥MG，
∴∠BAG＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAG＝∠BAC﹣∠BAC＝30°，
∴∠G＝60°，
同理∠M＝∠N＝60°，
∴△MNG是等边三角形．
∴MG＝MN＝NG．
在Rt△ABM中，
∠M＝60°，
∴∠MBA＝30°，
∴MB＝2MA＝4，
∵AC⊥MG，
∴∠ACG＝90°，
在△ABM与△CAG中，
，
∴△ABM≌△CAG（AAS）
∴GA＝MB＝4，
∴MG＝GA+AM＝6，
∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18．
故选：B．
5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
6．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，
点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE
的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，
∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，
∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．
故选：C．
7．（2023秋•潮南区校级月考）如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯
出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 6 0 cm ．
【答案】60cm．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的 ，正六边形的周长为 ，
故答案为：60cm．
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
8．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则
∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∵AB//CD，
∴∠DCA+∠BAC＝180°，
∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵∠DCE＝45°，
∴45°+60°+60°+∠EAB＝180°，
解得∠EAB＝15°．
故选：D．
9．（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，
DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（ ）
A．120° B．110° C．100° D．140°
【答案】A
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝120°，
故选：A．
10．（2023春•龙岗区期中）如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大
小为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．90°【答案】C
【解答】解：∵AD＝DE＝EA，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∵DA＝DB，∠ADE是△ABD的一个外角，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∵EA＝EC，∠AED是△AEC的一个外角，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAE+∠EAC＝120°，
故选：C．
11．（2022秋•永善县期末）如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、
OC，那么∠BOC是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，O为三条高线的交点，
∴BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝ 60°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故选：C．
12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形 ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则
∠3的大小为 6 0 （度）．【答案】60．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠APC＝∠2+∠3＝∠1+∠B，
又∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B＝60°，
故答案为：60．
13．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，
若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵△ABC与△BDE均为等边三角形，
∴∠A＝∠BDE＝60°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝95°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝25°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝35°，
故答案为：35°．
【考点3：等边三角形的判定】14．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（ ）
A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4
【答案】D
【解答】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；
B、2，3，3是等三角形，不符合题意；
C、2，4，5是直角三角形，不是等边三角形，不符合题意；
D、4，4，4是等腰三角形，是等边三角形，符合题意；
故选：D．
15．下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
【答案】D
【解答】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边
三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判
断正确，不符合题意；
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断
正确，不符合题意；
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意．
故选：D．
16．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的
形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30°角的直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b，b＝c，c＝a，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
故选：A．
17．已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且
BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAE＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交
BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ ×（180°﹣120°）＝30°，∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D，
∴AE＝BE，AD＝CD，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C+∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，
试判断△CEB的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：△CEB是等边三角形．
证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，
∴∠CBE＝∠ABE＝60°．
又∵DE＝DB，BE⊥AC，
∴CB＝CE．
∴△CEB是等边三角形．
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故答案为：30°．
（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【考点4：等边三角形的判定与性质】
21．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，
过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
【答案】见解析．
【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝30°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）∵CE∥DA，
∴∠BEC＝∠ADB＝60，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝BE＝CB，
∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，
∴BC＝ BD，∴CE＝ BD，
∴E是BD的中点，
∴AE是边BD的中线，
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD．
22．已知：如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED．
（1）求证：△DEC为等边三角形；
（2）求∠BED的度数．
【答案】（1）见解答：（2）120°．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE，
∴∠DEC＝∠C，
∵EC＝ED，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠C＝∠EDC＝60°，
∴△DEC为等边三角形．
（2）解：∵△DEC是等边三角形，
∴∠EDC＝∠C＝60°，
∴∠BED＝∠EDC+∠C＝60°+60°＝120°．
23．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．
（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请
直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴AD＝ ，
∵AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝ ，
∴BD＝DE，
即△BDE为等腰三角形，
同理△DEC为等腰三角形．
∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
∴DE∥BC，
∴∠EBC＝∠DEB＝30°，
同理∠BCD＝∠EDC＝30°，
∴FB＝FC，DF＝EF．
即△DEF和△BFC都为等腰三角形．
24．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点
M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
25．如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，
OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于
点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（ ）A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝60°，AD＝2DE＝6，
∴∠CAD＝30°，BD＝6，
∴ ，
∴BC＝BD+DC＝9．
故选：C．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的
长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】D
【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于6；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∴AP的长不能大于12，
∴6≤AP≤12．
故选：D．
28．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8，
∴DO＝ OP＝4，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3．
故选：B．
29．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠CAD＝90°，
∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，
又∵∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（AAS），
∴BE＝AC，
又∵在Rt△BAE中，AB＝3，∠BAE＝30°，
∴ ，
∴AC＝1.5，
故选：D．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点
E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是
直角三角形，则t的值为（ ）
A．2 B．0.5 C．2或3.5 D．2或0.5
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm，
①∠BDE＝90°时，
∵D为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝ AB＝ ×4＝2（cm），
点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2＝6（cm），
∴t＝6÷1＝6（秒）（舍去）；
②∠BED＝90°时，BE＝0.5cm，
点E在AB上时，t＝（4﹣0.5）÷1＝3.5（秒）．
综上所述，t的值为2或3.5．
故选：C．
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
31．（2023秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若
∠CDA＝120°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝ AB＝AD＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°，
∴∠B＝60°．
故选：D．32．（2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝ AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
33．（2023秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交
BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝ BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝ AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
34．（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝3，则AB＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝3，
∴AB＝2CD＝3×2＝6，
故答案为：6
