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专题 13.8 等边三角形（精选精练）（专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图， 是等边三角形， ， 于点D，则
等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在 中，三个内角的度数分别为 ， ， ，且满足等式
，这个三角形是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在 中， ， ， ， ，
则 （ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，如图在等边 中， 是 的一点，
，下列结论不正确的是（ ）A． B．
C． D． ．
5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知 ，以点O为圆心， 长为半径画弧，分
别交 于点B、A．连结 ，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线 交 于点C，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，线段 与 相交于点 ，且 ，连接 ，分
别将 和 平移到 ， 的位置．若 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立
体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为
，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·河南信阳·期末）如图，已知等边三角形 的周长为a， ，则
等于（ ）A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路 、 ，如图，
，在两条公路之间的点 处有一个草场， ．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，
分别记为 、 ，存在 、 使得 的周长最小．则 周长的最小值是（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图， ，点 、 、 …在射线 上，点 、 、
…在射线 上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为（
）
A．6 B．12 C．16 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线 ，将等边 按如图方式放置，点 在直线
上，边 交直线 于点 ，若 ，则 的度数为 ．12．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知 ，D为 边上一点， ， 为线段 的
中点，以点O为圆心，线段 长为半径作弧，交 于点E，连接 ，则 的长是 .
13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点D为 的边 上一点，且满足 ，作
于点E，若 ，则 的长为 ．
14．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点 D是 的中点， ，
， , 则 ．
15．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在 中， ．点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若点 刚好落在边 上，
，则 的长为 ．16．（22-23八年级上·陕西延安·期末）如图， ， ， ， ，若
， ，且 长为奇数，则 的长为 ．
17．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知 ，过 的中点 作 另一边的垂线，垂足
为点 ，连接 ，作 的垂直平分线交 的延长线于点 ，连接 ，作 ，垂足为点 ，
则 的长为 ．
18．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：等边三角形 ，点D在直线 上，点E在直
线 上， ，连接 ，直线 交于点 在 的延长线上，点E在 的延长线上，
过点A作 ，垂足为H，若 ，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在
外， 且 ， ．
求证：(1) ； (2) ．
20．（8分）（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在 中， ， 平分 ，交
于点 ，过点 作 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
21．（10分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图， 是 的角平分线， ，交 于点
F．已知 ．（1）求 的度数．
（2）若点F是 的中点，请判断 的形状，并说明理由．
22．（10分）如图， 为等边三角形， 平分 交 于点D， 交 于点E．
（1）求证： 是等边三角形．
（2）求证： ．
23．（10分）（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）（1）问题发现：如图 ， 和 均为等
边三角形，点 ， ， 在同一条直线上，连接 ．①∠AEB的度数为______；
②猜想：线段 与 的数量关系为______，并证明你的猜想；
（2）拓展探究：如图 ， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ，
在同一条直线上， 为 中 边上的高，连接 ，试探究 ， ， 之间有怎样的数量关
系．并说明你的理由．
24．（12分）（22-23八年级上·广西桂林·期中）小明遇到这样一个问题： 是等边三角形，点 在
射线 上，且满足 ， 交等边 外角平分线 于点 ，试探究 与 的数量关系．
(1)【初步探究】小明发现，当点 为 的中点时，如图①，过点 作 ，交 于点 ，通过
构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段 与 的数量关系，则线段 与 的数量关系是
∶ ；构造的 的形状是：
(2)【类比探究】当点 是线段 上（不与点 、 重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想
与 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)【拓展应用】当点 在 的延长线上时，其他条件不变，连接 ．请在图③中补全图形，并直接写
出 的大小为参考答案：
1．A
【分析】由等边三角形的性质推出 ， ．本题考查等边三角形的性质，关键是
由等边三角形的性质推出 ．
【详解】解： 是等边三角形，
，
于点 ，
．
故选：A
2．B
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，等边三角形的性质，正确理解绝对值、平方的基本性质是
解题的关键．根据 求出 ， ， 之间的等量关系，即可求解．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
这个三角形是等边三角形．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性
质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后根据 角所对的直角边等
于斜边的一半求出 ，再求出 ，然后求出 ，从而得到 ，根据等角对等边
可得 ，从而得解．
【详解】解： ， ，
，
，
， ，，
，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边
三角形的性质得到 ，根据平角的定义和三角形内角和定理证明 ，
，进而证明 ，得到根据现有条件无法证明 ，
据此可得答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 选项正确；
又∵ ，
∴ ，则 选项正确；
∴ ，则 选项正确；
∴四个选项中，只有D选项根据现有条件无法证明，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等边三角形的性
质是解答本题的关键．
由作图痕迹可知，射线 为 的平分线， ，则 为等边三角形，即可得 ，
即 ．
【详解】解：由作图痕迹可知，射线 为 的平分线， ，
，
为等边三角形，
，．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查平移的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，利用平移的性质和平行线的
性质，推出 是等边三角形，即可得出结果．
【详解】解：∵将将 和 平移到 ， 的位置，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：B．
7．B
【分析】作 于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 于点D，
中, ， ，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关
键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
8．B
【分析】根据等边三角形的性质得出 ， ，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵等边三角形 的周长为a， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用这两个性质是
解题关键．
9．A
【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点 关于直线 的对称点
，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，分别交 、 于 、 ，得到 的周长的最小
值为 ，再证得 为边长为4的等边三角形即可得出答案．
【详解】解：作点 关于直线 的对称点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
分别交 、 于 、 ，如图：
∴ ， ，
∴ 的周长的最小值为 ，
由轴对称的性质得： ， ，
， ，
， ，
， ，
为边长为4的等边三角形，
，
的周长的最小值为4．
故选：A．10．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质
可得 ，再由 ，可得 ，从而得到 的边长为2，同
理： 的边长为4， 的边长为8， 的边长为16，即可．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的边长为2，
同理： 的边长为4， 的边长为8， 的边长为16．
故选：C．
11． /40度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得 ，再由题意得出 ，然后再利用平行线的
性质即可解答．
【详解】解：如图所示，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．4
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质．根据作图得到 ，从而得到 为等边三角形即
可得到答案．
【详解】解：∵ ， 为线段 的中点，
∴ ，
∵以点O为圆心，线段 长为半径作弧，交 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故答案为：4．
13．3
【分析】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性
质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．由等腰三角形的性质得
，求出 ，然后由30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了直角三角形 的角所对的边等于斜边的一半．先根据点 D是 的中点，
，求出 ，再根据直角三角形 的角所对的边等于斜边的一半求出
．
【详解】解：∵点 D是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根
据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：∵将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．点 刚好落在边 上，在 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．3
【分析】由已知条件得 ，进而得出 ， ，再根据
得到 为等边三角形，进而得到 ，最后根据三角形的三边关系即可求出．
【详解】解：在 和 中
，
， ，
， ，
，
为等边三角形，
，
， ，
，即 ，
,
长为奇数，
，
故答案为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理
与性质是解题的关键．
17．2
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据含30
度角的直角三角形的性质求得 ，线段垂直平分线的性质求得 ，再利用 证明
即可求解．
【详解】解：作 于 ，∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
18．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含 度角的直角三角形的性质，证
明 ，得出 ，根据 ，
进而可得 ，根据含 度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
19．(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定—“同旁内角互补，
两直线平行”，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．
（1）由 是等边三角形得出 ，在根据已知条件即可得证；
（2）由（1）得 可得 ，再利用 是等边三角形，得出
，即可得证．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
在 和 中，
（2）由（1）得
又 是等边三角形，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含 度角的直角三角形的性质，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出 ，利用 即可证明 ；
（2）由角平分线的性质定理得出 ，求出 ，再由含 度角的直角三角形的性质
即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
21．(1)
(2) 是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定；
（1）根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到
，即可得到答案；
（2）由（1）得： ，从而得到 ，再由点F是 的中点，可得 ，
然后根据 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）解： 是等边三角形，理由：
由（1）得： ，
∴ ，
∵点F是 的中点，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ 是等边三角形．
（2）∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ．
23．（1）①60°；②AD=BE，证明见解析；（2）AE=2CM+BE
【分析】（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，
∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由
△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此
判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，根
据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出
AE=BE+2CM．
【详解】解：（1）①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，AC=BC，CD=CE，∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE，理由如下：
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC，CD = CE，∠ACB -∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，
∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解
题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
24．(1) ，等边三角形
(2) ，理由见详解
(3)
【分析】（1） 是等边三角形，即 ，且 ，点 为 的中点，则， ，根据中线性质可知点 是 的中点，则 ，且
，由此即可求解；
（2）根据题意可知， 是等边三角形，且 ，即可证明 ，由此
即可求证；
（3）根据（2）的结论，可知 是等边三角形，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，如图所示，连接 ，
∵ 是等边三角形，点 为 的中点， ， ，
∴ ， ， 平分 ，即 ，
∴ ，则 ，
∵ 平分 外角，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等边三角形，即 ；
由题意可知 ，根据中线性质可知点 是 的中点，即 ，且
，
∴ ，即 的形状是等边三角形．
（2）解：结论： ，
理由如下：如图，过点 作 ，交 于点 ，∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ， ， ，
∵ 是外角的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在△AFD和△DCE中，
，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图所示，∵ 是等边三角形， 平分 ， ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，理解点 为等边三角形一边的中点，且 ， 为
外角的角平分线是解题的关键．
