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专题14.21 因式分解（公式法）（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各多项式中，不能用公式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．要使多项式 能运用平方差公式进行分解因式，整式 可以是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知 ， ，则 与 的大小关系式（ ）
A． B． C． D．无法比较
5．设a，b，c是三角形的三边，则多项式 的值（ ）
A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定
6．已知： 、 、 满足 ， ， ，则以 、 、 为边长的三角形是
个（ ）三角形
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
8．若 ，则k的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．204
9．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ，3， ，a，
分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将 分解因式，结果呈现的密
码信息可能是（ ）A．我爱学 B．爱一中 C．我爱一中 D．一中数学
10．已知正方形 的边长为b，正方形 的边长为 ．如图1，点H与点A重合，点E
在边 上，点G在边 上，记阴影部分的面积为 ；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正
方形 的右下角又放了一个和正方形 一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在
和 上，记阴影部分面积为 和 ． 若 ， ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中能够因式分解的是： （填上序号）．
12．若 ，则 的值为 ．
13．已知 ，则 的值为
14．若 ，则 的值是 ．
15．（1）若 是完全平方式，则 ；
（2）若 是完全平方式，则 ．
16．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为10，面积为5，则 的值为
．17．小明将 展开后得到 ，小李将 展开后得到 ，
若两人计算过程无误，则 的值为 ．
18．如图，点 在线段 上 ，在线段 同侧作正方形 及正方形 ，连接
、 、 得到 ．当 时， 的面积记为 ；当 时， 的面积记为 ；
当 时， 的面积记为 ；则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）因式分解
（1） ； （2） ．
20．（8分）分解因式：
（1） ； （2） ．21．（10分）计算：
（1） ． （2） ．
22．（10分）把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ．
23．（10分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如
，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四
项结合再运用平方差公式进行分解．
解题过程如下： ．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）若 ， 为非零实数， ，且 ，求 的值．24．（12分）阅读思考： 年 月 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜
利闭幕．某校以学习二十大精神为主题开展了黑板报评比活动．八年级 班的数学课代表王华看着教室里
的黑板报，出了一道题：已知黑板的周长为 米，设黑板的高为 米，宽为 米，且
，求黑板的面积．下面是小慧同学的解法：
解：∵黑板的周长为 米，
由已知可得 ，……第一步
∴ ，……第二步
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，联立方程组： ，……第三步
∴解得， ……第四步
∴黑板的面积为 （平方米）……第五步
（1）请你判断上述小慧同学的解答是否正确．若不正确，请指出错误之处，并改正．
（2）由第一步到第二步等式左边的变形属于_____________；（填：整式乘法或因式分解）（3）因式分解： ．
（4）拓展：已知 为 的三边长，若 ，试判断 的形状．
参考答案
1．C
【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一分解，即可得到答案．
解：A、 ，能用公式分解，不符合题意，选项错误；
B、 ，能用公式分解，不
符合题意，选项错误；
C、 ，不能用公式分解，符合题意，选项正确；
D、 ，能用公式分解，不符合题意，选项错误；
故选：C．【点拨】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式分解因式是解题关键．
2．D
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方
项底数积的2倍，据此逐项分析即可．
解：A． 不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B． 不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C． 不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
D． ，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握 是解答本题的关键．
两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．
3．D
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：A. 是完全平方公式因式分解，不合题意；
B. 不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．B
【分析】用 ，根据完全平方公式进行计算即可求解．
解：∵ ， ，
∴
∴故选：B．
【点拨】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．C
【分析】先将原式进行因式分解可得 ，然后根据三角形的三边关系可得
，即可求解．
解：
，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，
三角形的三边关系是解题的关键．
6．D
【分析】根据 ， ， ，求出 、 、 的值即可做出判断．
解：∵ ， ， ，
∴
即
∴
∴
∴
∴以 、 、 为边长的三角形是个等腰三角形，故选：D．
【点拨】本题考查配方法及非负式和为零成立的条件，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
7．C
【分析】根据提取公因式和平方差公式“ ”因式分解，逐项判定即可．
解：A、 ，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、 ，只用了提取公因式来因式分解，故该选项不符合题意；
C、 ，用了提取公因式和平方差公式进行因式分解，故该选项符合
题意；
D、 ，只用了提取公因式来因式分解，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握用提取公因式和平方差公式因式分解是解题的关键．
8．D
【分析】移项后利用平方差公式进行因式分解即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用平方差公式进行简便运算．
9．C
【分析】根据提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．
解：∵ ，
∴这几个字分别为：中，爱，我，一，即我爱一中．
故选C．
【点拨】本题考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
10．A
【分析】先表示出 和 的面积，进而求出a和b的值，再根据 表示边长为 的正方形的面积，即可求解；
解：∵ 的面积等于正方形面积 -正方形面积 ， 是边长为 的正方形的面积，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解 ，得 ， ，
∵S 表示边长为 的正方形的面积，
3
∴ ；
【点拨】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决
（1）的关键；解（2）的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
11．②④⑤⑥
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
解：① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
12．
【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
解：∵ ，
∴
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式即可解答．
13． /0.25
【分析】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形后，根据两非负数之和为0，两非负数分别为0
得到关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出 的值．
解：∵ ，
∴
∴ ，
解得： ，
则 ．故答案为：
【点拨】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质：绝对值与偶次方，熟练掌握完全平
方公式是解本题的关键．
14．49
【分析】根据平方差公式把原式进行因式分解，把 整体代入分解后的式子，化简后再次利用整
体代入即可得．
解： ，
原式 ，
故答案为：49.
【点拨】考查了“整体代换”思想在因式分解中的应用，平方差公式，熟记平方差公式，通过利用整
体代入式解题关键．
15． 9
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值；
（2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值．
解：（1）∵ ，
而 ，
∴ ；
（2）∵ ，
而 ， ，
∴ ．
故答案为：（1）9；（2） ．
【点拨】本题主要考查了运用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题关键．
16．125
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式，得到 ，将多项式进行因式分解后，整体
代入计算即可．
解：由题意，得： ，∴
；
故答案为：125．
【点拨】本题考查因式分解，代数式求值．解题的关键是将多项式进行因式分解，利用整体思想进行
求解．
17．
【分析】根据完全平方公式可得 ， 再利用平方差公式进行简便运算即可．
解： 展开可得：
展开可得：
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行
有理数的简便运算”是解本题的关键．
18．
【分析】连接BE发现，无论正方形BCEF怎样变，△AME面积都与△AMB相等，因为都是以AM为底，
以AM到BE之间的距离为高．
解：连接BE，
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM．∴△AME与 AMB同底等高．
∴△AME的△面积= AMB的面积．
△
∴当AB=n时， AME的面积为 ，
△
当AB=2019时， AME的面积为 ．
△
当AB=2020时， AME的面积为 ．
△
∴
故答案为：
【点拨】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE始终平行AM是本题关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）直接提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是正确运用公式法分解因式．20．（1） ；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，即可求解；
（2）根据平方差公式因式分解，即可求解．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）两次运用平方差公式分解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
解：（1）．
（2）
．
【点拨】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）将 组合成完全平方公式，即可进行因式分解；
（2）将 分别组合，即可进行因式分解；
（3）将 整理得 ，再利用分组分解法可
得 ，即可求解．
（1）解：
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式以及应用．熟练掌握相应方法，进行正确分组是解题关键．
24．（1）不正确，错误之处：第四、五步，改正见分析；（2）因式分解；（3） ；
（4） 是等腰直角三角形，证明见分析
【分析】（1）根据整式的混合运算，因式分解的方法，乘法公式即可求解；
（2）根据因式分解的方法即可求解；
（3）运用提公因式，乘法公式进行因式分解即可求解；
（4）根据整式的混合运算，因式分解，几何图形边长的特点即可求解．
（1）解：不正确，错误之处：第四、五步，改正过程如下，
∵黑板的周长为 米，由已知可得 ，……第一步
∴ ，……第二步
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，联立方程组： ，……第三步
∴解得， ……第四步
∴黑板的面积为 （平方米）……第五步．
（2）解：由已知可得 ，……第一步∴ ，……第二步
运用的是提公因式法因式分解，
故答案为：因式分解．
（3）解：
．
（4）解：∵
∴
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点拨】本题主要考查整式运算与几何图形的综合，掌握整式的混合运算的法则，因式分解，几何图
形面积，周长等知识的综合运用是解题的关键．
