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专题 14.2 幂的运算（六大题型总结）
【题型一：同底数幂的乘法】
1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算x2 ⋅x3的结果是（ ）
A．2x5 B．x10 C．x6 D．x5
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解，熟记运算性质是
解题的关键．
【解题过程】
解：x2 ⋅x3=x2+3=x5，
故选：D．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算 （ ）
(x−y) 3 ⋅(y−x)=
A． B． C． D．
(x−y) 4 −(x−y) 4 （y−x) 4 (x+ y) 4
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法法则，把(x−y)看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关
键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．
【解题过程】
解： ，
(x−y) 3 ⋅(y−x)=−(x−y) 3 ⋅(x−y)=−(x−y) 4
故选：B．
3．（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）计算式子 的结果用科学记数法表示为
(2×103)×(3×105)
（ ）
A．6×108 B．6×109 C．6×1010 D．6×1015
【思路点拨】
此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学记数法
进行解答，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．【解题过程】
解：
(2×103)×(3×105)=2×3×103×105=6×108
故选：A
4．（2024·河北邯郸·三模）若 34×34×34=3m，43+43+43+43=4n，则m−n的值为( )
A．−5 B．0 C．3 D．8
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法，根据题意得出m=12，n=4，代入代数式，即可求解．
【解题过程】
解：∵34×34×34=312=3m，43+43+43+43=4×43=44=4n，
∴m=12，n=4
∴m−n=12−4=8，
故选：D．
⏟23+23+23+....+23=2m
5．（2024·河北沧州·模拟预测）若 （k>1，k,m都为正整数 ，则m的最小值为
k个23
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【思路点拨】
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合
幂的运算的相应的法则进行分析即可．
【解题过程】
⏟23+23+23+....+23=2m
解： （k>1，k,m都为正整数 ∴23k=2m，
k个23
则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数，
∴k的最小值为：2=21，
∴23×2=2m，
∴m=4，
∴m的最小值为：4
故选：B
【题型二：同底数幂乘法的逆用】
6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）a2m+2可以写成（ ）
A．2am+1 B．a2m+a2 C．a2m ⋅a2 D．a2 ⋅am+1【思路点拨】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法的逆运算直接得出答案．
【解题过程】
解：a2m+2=a2m ⋅a2，
故选：C．
7．（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知2a=10，2b=6.4，2c=2，则a+b+c的值为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将a+b+c与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同
底数幂的乘法的逆运算是指am+n=am ⋅an ,将2a=10，2b=6.4，2c=2，三式相乘,即可得到答案．
【解题过程】
解： ∵2a=10，2b=6.4，2c=2，
∴2a+b+c=2a×2b×2c=10×6.4×2=128=27，
∴a+b+c=7，
故选：A．
8．（2024七年级·全国·竞赛）若x=3n+3n+1，y=3n−2+3n−1，其中n为大于2的整数，则x与y的数量关
系为（ ）．
A．x=9 y B．y=9x C．x=36 y D．y=36x
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法的逆运算．熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解题的关键．
根据 ，判断作答即可．
x=32×(3n−2+3n−1)=9 y
【解题过程】
解：由题意知， ，
x=3n+3n+1=32×3n−2+32×3n−1=32×(3n−2+3n−1)=9 y
故选：A．
【题型三：幂的乘方】
9．（2023·江苏南京·模拟预测） (−a3) 4 +(−a4) 3 等于( )
A．0 B．−2a12 C．2a12 D．−2a7
【思路点拨】
先分别进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案．【解题过程】
解：原式=a12−a12=0．
故选：A．
10．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）若 ，则 ．
a5·(an ) 3=a11 n=
【思路点拨】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和解一元一次方程，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和解一元
一次方程步骤，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解题过程】
解：由 ，
a5·(an
)
3=a5·a3n=a5+3n=a11
∴5+3n=11，
解得n=2，
故答案为：2．
11．（2024七年级上·上海·专题练习）计算：
−(a3) 4 ⋅(a2) 3 ⋅(−a)⋅(−a) 13
【思路点拨】
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算．
【解题过程】
解：
−(a3) 4 ⋅(a2) 3 ⋅(−a)⋅(−a) 13
=−(a3) 4 ⋅(a2) 3 ⋅a⋅a13
=−a12 ⋅a6 ⋅a⋅a13
=−a12+6+1+13
=−a32.
12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）化简： [(3x−2y) 2) 3 ⋅[(2y−3x) 3) 5．
【思路点拨】
本题考查幂的运算，利用幂的运算法则进行化简是解题的关键；
根据幂的运算化简即可求解；
【解题过程】解： [(3x−2y) 2) 3 ⋅[(2y−3x) 3) 5
=[(2y−3x) 2) 3 ⋅[(2y−3x) 3) 5
=[(2y−3x) 6)⋅[(2y−3x) 15)
=(2y−3x) 6+15
=(2y−3x) 21
【题型四：幂的乘方的逆用】
13．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知2m=a，32n=b，m、n为正整数，则2(3m+10n)=（ ）
A．ab B．a3b10 C．a3b2 D．a2b3
【思路点拨】
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，通过同底数幂乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算
可将 转化为 ，代入已知条件运算即可求解，掌握同底数幂乘法的逆运算及幂的乘方的
2(3m+10n) (2m) 3 ·(32n) 2
逆运算是解题的关键．
【解题过程】
解：∵ ，
2(3m+10n)=23m·210n=(2m) 3 ·(25) 2n =(2m) 3 ·(32) 2n=(2m) 3 ·(32n) 2
又∵2m=a，32n=b，
∴2(3m+10n)=a3b2，
故选：C．
14．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知a=255,b=344,c=433，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b>c>a B．a>c>b C．c>a>b D．ac>a，
故选：A．
15．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若x，y均为正整数，且2x+1·4y=128，则x+ y的值为
（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．4或5或6
【思路点拨】
本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，解二元一次方程，代数式求值，先把2x+1·4y转化为
6−x
2x+1+2y，128转化为27，进而得2x+1+2y=27，得到x+1+2y=7，由此得到y= ，根据x，y均为正整
2
数，得到6−x=2或4，即x=4或2，求出y的值，再代入到x+ y中计算即可求解，灵活运用幂的运算法则
是解题的关键．
【解题过程】
解：∵2x+1·4y=2x+1·22y=2x+1+2y，128=27，
又∵2x+1·4y=128，
∴2x+1+2y=27，
∴x+1+2y=7，
∴x+2y=6，
6−x
∴y= ，
2
∵x，y均为正整数，
∴6−x=2或4，
∴x=4或2，
6−2
当x=2时，y= =2，此时x+ y=2+2=4；
2
6−4
当x=4时，y= =1，此时x+ y=4+1=5；
2
综上，x+ y的值为4或5，
故选：C．
16．（23-24七年级下·全国·期中）（1）若2x+5 y−3=0，求4x ⋅32y的值；（2）已知3m ⋅9m ⋅27m ⋅81m=330，求m的值．
【思路点拨】
本题考查幂的运算．
（1）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘法则得到4x ⋅32y=22x+5y，代入求值即可；
（2）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘法则得到3m ⋅9m ⋅27m ⋅81m=310m=330，即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵2x+5 y−3=0，
∴2x+5 y=3，
∴ ，
4x ⋅32y=(22) x ⋅(25) y =22x+5y=23=8
（2）∵3m ⋅9m ⋅27m ⋅81m=3m ⋅32m ⋅33m ⋅34m=310m=330，
∴10m=30，
∴m=3．
17．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）27b=9×3a+3，16a=4×22b−2，求a+b的值
（2）若2a=3，2b=5，求22a+3b+1的值
【思路点拨】
本题主要考查了同底数幂乘法计算及其逆运算，幂的乘方计算及其逆运算，解二元一次方程组
（1）根据幂的乘方的逆运算法和幂的乘方计算法则得到33b=3a+3+2，24a=22b−2+2，进而得到方程组
{ a+3+2=3b )
，解方程组即可得到答案；
4a=2b−2+2
（2）先计算出22a=9，23b=125，再根据22a+3b+1=22a×23b×2进行求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵27b=9×3a+3，16a=4×22b−2，
∴ ， ，
(33) b =32×3a+3 (24) a =22×22b−2
∴33b=3a+3+2，24a=22b−2+2，
{ a+3+2=3b )
∴ ，
4a=2b−2+2
{a=1)
∴ ，
b=2
∴a+b=1+2=3；
（2）∵2a=3，2b=5，∴ ，
22a=(2a) 2 =32=9，23b=(2b) 3 =125
∴22a+3b+1=22a×23b×2=9×125×2=2250．
【题型五：积的乘方】
18．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知
a3=2
，
b6=3
，则
(ab2) 3 =
．
【思路点拨】
利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘
方与积的乘方的法则是解题的关键．
【解题过程】
解：∵a3=2，b6=3，
∴(ab2
)
3=a3b6
=2×3
=6，
故答案为：6．
19．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
−(−2x2y) 4 +x2 ⋅(−x2
)
3 ⋅(−y4 )−(−3x4 y2) 2
．
【思路点拨】
本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．先进行积的乘方，幂的乘方运算，同底数
幂乘法，最后合并同类项即可．
【解题过程】
解：
−(−2x2y) 4 +x2 ⋅(−x2
)
3 ⋅(−y4 )−(−3x4 y2) 2
=−16x8y4+x8y4−9x8y4
=−24x8y4．
20．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）化简求值： (a2b6) 3 +5(−a3b9) 2 −3 [(−ab3) 2) 3，其中，
a=1,b=−1．
【思路点拨】
本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【解题过程】解： (a2b6) 3 +5(−a3b9) 2 −3 [(−ab3) 2) 3
=a6b18+5a6b18−3(a2b6) 3
=a6b18+5a6b18−3a6b18
=3a6b18，
当 时，原式 ．
a=1,b=−1 =3×16×(−1) 18=3
【题型六：积的乘方的逆用】
21．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）计算
(1) 674
⋅(−2) 2024 的结果是（ ）
8
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拨】
本题考查了幂的乘方与积的乘方等知识点，应用幂的乘方与积的乘方的逆运算将原式变形为
2022
[1 ×(−2) ) ×(−2) 2 ，计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
2
【解题过程】
解：
(1) 674
⋅(−2) 2024
8
= [(1) 3 ) 674 ⋅(−2) 2024
2
=
(1) 3×674
⋅(−2) 2022 ⋅(−2) 2
2
=
(1) 2022
⋅(−2) 2022 ⋅(−2) 2
2
2022
= [1 ×(−2) ) ×(−2) 2
2
=(−1) 2022×(−2) 2
=4；
故选：B．
22．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知a=222,b=311,c=129，下列结论①a>b；②ab>c；③b＜c中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法公式，幂的乘方及其逆应用，积的乘方及其逆应用是解题
的关键．
【解题过程】
解：∵a=222,b=311,c=129，
∴ ，
a=222=(22) 11 =411,b=311
∴a＞b，
故①正确；
∵ ， ，
ab=222×311=411×311=(3×4) 11=1211 c=129
∴ab＞c，
故②正确；
∵ ， ，
b=311=32×39=9×39,c=129=(3×4) 9=49×39 9＜49
∴b＜c，
故③正确；
故选：D．
23．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如 ，则
ambm=(ab) m
．（ 为非负数、 为非负整数）请运用所学知识解答下列问题：
(ab) m=ambm a、b m
（1）已知：2x+3 ⋅3x+3=36x−2，求x的值．
（2）已知：3×2x+1×4x+1=192，求x的值．
【思路点拨】
本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关
键．
（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到6x+3=62(x−2)，即x+3=2(x−2)，求解即可；
（2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到3(x+1)=6，求解即可．
【解题过程】（1）解：∵2x+3 ⋅3x+3=36x−2，
∴ ，即 ，
(2×3)
x+3=(62) x−2 6x+3=62(x−2)
∴x+3=2(x−2)，
解得：x=7，
∴x的值为7；
（2）解：∵3×2x+1×4x+1=192，
∴ 3×2x+1×(22) x+1 =192 ，
∴2x+1×22(x+1)=64，
∴23(x+1)=26，
∴3(x+1)=6，
解得：x=1，
∴x的值为1．
24．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式： ， ， …
(ab) 2=a2b2 (ab) 3=a3b3 (ab) 4=a4b4
回答下列三个问题：
（1）验证： ； ．
(5×0.2) 10= 510×0.210=
（2）通过上述验证，归纳得出： ； ．
(ab) n= (abc) n=
（3）请应用上述性质计算：
① ；
4101×(0.25) 100
② ．
(−0.125) 2021×22020×42022
【思路点拨】
本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键．
（1）积的乘方公式及其逆运算计算即可；
（2）由 ， ， …，归纳可得， ， ；
(ab) 2=a2b2 (ab) 3=a3b3 (ab) 4=a4b4 (ab) n=anbn (abc) n=anbncn
（3）逆用公式 ，即 容易求出答案．
(ab) n=anbn anbn=(ab) n
【解题过程】（1）解： ，
(5×0.2) 10=110=1
；
510×0.210=(5×0.2) 10=110=1
故答案为：1，1；
（2） ， ， …
∵ (ab) 2=a2b2 (ab) 3=a3b3 (ab) 4=a4b4
∴ ， ；
(ab) n=anbn (abc) n=anbncn
故答案为：anbn；anbncn；
（3）①
4101×(0.25) 100
=4100×(0.25) 100×4
=(4×0.25) 100×4
=1100×4
=4；
②
(−0.125) 2021×22020×42022
= ( − 1) 2020 × ( − 1) ×22020×42020×42
8 8
= ( − 1 ×2×4 ) 2020 × ( − 1) ×42
8 8
( 1)
=1× − ×16
8
=−2．
