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专题 14.2 幂的运算（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（2024·福建厦门·模拟预测）式子 的运算结果与下列运算结果一致的是（ ）
A．3个 相乘 B．6个 相乘 C．5个 相乘 D．2个 相乘
2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．35 B．2 C．12 D．10
3．（2024·河北·模拟预测）计算 的结果为a8，则“？”的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（24-25八年级上·湖南岳阳·开学考试）若 ， ，则 的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知 ，则 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2024·河北石家庄·一模）已知 ，若 ，则 （ ）
A．4047 B．4048 C． D．
8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若 ，其中m、n、k均为正整数，则 的最大值与
最小值的差是（ ）
A．1768 B．455 C．252 D．757
9．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）方程 ， ，则 （ ）
A．1 B．0 C．1.5 D．210．（20-21七年级下·浙江·期中）W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，
培养皿上约有 个细菌，其中W细菌占其中的 ，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数
量达到 后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A． B．4 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·全国·期末）计算： ．
12．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 ，则 的值为 ．
13．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知： ，则 ．
14．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算 的结果是 ．
15．（2024七年级·全国·竞赛）式子 的值的个位数是 ．
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）若 ，则 ， ．
17．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足 ，则记作 ．
(1）根据题意， ，则 ．
(2）若记 ， ， 则a，b，c三者之间的关系式是 ．
18．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：
①无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数．
②当 时，方程组的解也是方程 的解．
③若 ，则 ．
④无论a取何值， 的值始终不变．
其中正确的有 ．（填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级下·江苏·专题练习）计算
(1) ． (2) ．
20．（本小题满分8分）（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·福建厦门·期中）（1）已知 ，则 的
值．
（2）已知 ，求 的取值范围．
22．（本小题满分10分）（2024七年级下·全国·专题练习）若 且 ， 、 是正整数），
则 ．利用上面结论解决下面的问题：
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ， ，用含 的代数式表示 ．
23．（本小题满分10分）（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】
如果 是整数，且 ，那么我们规定一种记号 ，例如 ，那么记作 ．
【尝试应用】
（1） _______；
【拓展提升】
（2）若 均为整数，且 ，求证： ．
24．（本小题满分12分）（2024·安徽安庆·三模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进
行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：______；
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出 _____（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算： ．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A B C D D A B
1．C
【分析】本题考查了乘方的意义，同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算出结果，再根据乘方
的意义即可判断．
【详解】解： ，表示5个a相乘，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解题的关键．利用
同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
故选：A
3．B
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （ 是正整
数）．根据幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴“？”的值为4．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则化简计算即可得出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项
都等于0是解题的关键．
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解： ，
， ，
解得 ， ，
．
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，先根据有理数的乘方和相同加数的
加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵
∴
∴
故选：D
8．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．将2024写成幂
的乘积的形式后，求得 的最大值与最小值即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴此时 取得最小值为 ；
∵ ，
∴ 取得最大值为 ，
∵ ，
∴ 的最大值与最小值的差是757．
故选：D．
9．A
【分析】由题意可得： ， ，进而可得 ， ，求出 ， ，代入式
子求解即可．
【详解】解：∵ ， ，即： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为： ， 是解决问题的关键．
10．B
【分析】由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．
【详解】解：由题意，
W细菌的数量为： （个），∵该培养皿中的W细菌的数量达到 后会使T变色，
∴设分裂n次达到变色的数量，则
，
∴ ；
∵每30分钟分裂一次，
∴ （小时）；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的应用，以及细胞分裂问题，解题的关键是正确的理解题意．
11．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，
指数相加计算即可．
【详解】 ，
故答案为：
12．108
【分析】本题考查同底数幂的逆运算，根据同底数幂的逆运算进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：108．
13．10
【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方法则，进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：10．
14．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算可得．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．【详解】解：（ ，
故答案为： ．
15．2
【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到 的个位数．
根据题意，分别找出 和 的个位数即可．
【详解】解：原式＝ ，
∵ ……，
∴ 的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……，
∵
∴ 的末位数是6；
∵
∵
∴ 的个位数为2
故答案为：2．
16．
【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，把原式分别变形为 ，
，再整体代入即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为： ，
17． 3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，
（1）根据定义可得 ，由 即可得出 ．（2）由 得 ，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式．
【详解】解：（1）由定义可知 即 ，
∵ ，
∴ ，
（2）由定义可知： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为3； ．
18．③④
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的
定义，以及相反数性质判断即可．
【详解】
得： ，
解得 ，
把 代入 得
①当 时 ，解得 ，
∴当 时，x，y的值互为相反数，故①错误；
②当 时， ，此时 ， ，方程组的解不是方程 的解，故②错误；
③若 ，则 ，即 ，把 ， 代入得 ，解
得 ，故③正确；④ ，即无论a取何值， 的值始终不变，故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积
的乘方法则．
（1）利用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算；
（2）利用积的乘方法则，让各个因式分别乘方，再把所得结果相乘即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)0
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
（1）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算得出即可；
（2）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则得出即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
21．（1）6（2）
【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，解不等式，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的法则和解不
等式是解决问题的关键．
（1）利用幂的乘方与同底数幂相乘的法则进行计算，即可得出答案．
（2）由 ，得出 ，代入 ，求解即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
，
，
，
，
（2） ，
，
，
，
解得 ．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变
形．
（1）由题意得出 ，即可得出答案；
（2）将 代入 可得答案．
【详解】（1）解： ．
，
，；
（2）解： ，
，
．
23．（1）3；（2）证明见解析
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义得到 ，则可证明 ，再由同底数幂乘法计算法则得到
，即可证明 ．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
24．【规律探究】 ；【解决问题】 ；【拓展应用】
【分析】本题考查实践探索问题、整式的混合运算等知识点，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为
立方数的和等于最大正方形面积是解题的关键．
（1）计算 大正方形面积，然后将36开方即可解答；（2） 可转化为大正方形面积，其边长为 ，再求面积化简即可；
提公因式8转化为 ，然后运用规律计算即可．
【详解】解：规律探究： 大正方形的面积 ．
故答案为： ．
解决问题：由上面表示几何图形的面积探究可得： ，
又 ，
∴ ．
故答案为： ．
拓展应用： ．
故答案为： ．
