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专题 14.4 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题
目录
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】................................................................................................1
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】........................................................................................................4
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................................................................6
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】......................................................................................11
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】..........................................................................................................18
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】..........................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（2024·陕西榆林·三模）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得 ，即可求解．
【详解】解：∵单项式 与 的积为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：A
【变式训练】1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，即可求出m、n的值．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查单项式的乘法，根据 求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：B．3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，求出m、n的值，然后代入 中计算求解即
可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到 ，
据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 ，再由同类项的定义得
到 ，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解： ，
∵ 与 的积与 是同类项，
∴ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ；
（2）解：，
当 时，原式 ．
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，
可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解： ，
，
，
故选： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若 ，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出 的结果即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知 ，当x为任意数时该等式都成立，则 的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】B
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为 ，根据当x为
任意数时该等式都成立，可得 ，然后代入，即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∵ ，当x为任意数时该等式都成立，
∴ ，
∴
故选：B
3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
【答案】1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的
法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，原式子对任意 都成立，
， ，
解得： ， ，
．
故答案为：1．
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式 展开后不含x的一次项，则
．
【答案】 /
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一
次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出 ，求出即可．
【详解】解：
，
∵多项式 展开后不含x的一次项，
∴ ，
解得： ，
故答案是： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含 的项，则常数a的值
为 ．
【答案】
【知识点】合并同类项、利用单项式乘多项式求字母的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解
题关键．利用相关运算法则计算得到 ，根据展开式中不含 的项，即 的系数为
零，据此建立等式求解，即可解题．
【详解】解： ，
，
展开式中不含 的项，
，
解得 ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若 的积中不含 项与 项，则求代数式
的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，
整理后根据积中不含 和 项，求出 与 的值，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵ 的积中不含 项与 项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)12
【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算．
（1）将 展开，根据结果不含 与 项，即含 与 项的系数为0进行求解即可；
（2）将（1）所求值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
的积中不含 与 项，
，
；（2）解：∵ ， ，
∴
．
4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【答案】(1) ，
(2)35
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得
， ，求解即可获得答案；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
，又∵展开式中不含 的一次项，常数项是 ，
∴ ， ，
解得 ， ；
（2）原式
，
∵ ， ，
∴原式
．
5．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式 与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式 ，B中x的一次项系数为0，则 ．
(2)若B为 ，求 的值．
(3)若A为关于x的二次三项式 ，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c
的值；如果不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可能，当 或 时，B为三次二项式
【知识点】多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减．
（1）根据题意列出 ，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值；
（2）根据B为 ，可以设A为 ，根据多项式 与另一多项式A的乘积为多项式
B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得 的值；
（3）根据A为关于x的二次三项式 ，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当 时，，当 时， ，可得b和c的值．
【详解】（1）解：根据题意可知：
，
∵B中x的一次项系数为0，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ；
（2）设A为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下：
∵A为关于x的二次多项式 ，
∴b，c不能同时为0，
∵ ．
当 时， ，
∵b不能为0，
∴只能当 ，即 时，B为三次二项式，为 ；
当 时， ．
只有当 ，即 时，B为三次二项式，为 ．
综上所述：当 或 时，B为三次二项式．【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽为
的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出
一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并说
明理由．
【答案】(1)
(2)5，46，9
(3) ，理由见解析
【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式
的混合运算法则成为解题的关键．
（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；
（3）设 ，由图可知 ，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答．
【详解】（1）解：由 ．
故答案为： ．（2）解：∵ ，
∴需用A类卡片5张， 类卡片46张， 类卡片9张．
故答案为：5，46，9．
（3）解： ，理由如下：
设 ，
由题意可得
由于S的值与 无关，则 ，即 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成 部分，除阴影图形
外，其余 部分为形状和大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 ．
(1)计算：小长方形 的长 ________，小长方形 的周长 ________；（用含 的代数式表示）；
(2)小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释．
【答案】(1) ，
(2)与 值无关，理由见详解
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解；
（2）根据图示分别表示出阴影图形 与阴影图形 的长、宽，并计算其周长，由此即可求解；本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形 的长为 ，
∴小长方形 的周长为 ，
故答案为： ， ．
（2）解：由（1）可知，小长方形 的长为 ，小长方形 的宽为 ，
∴阴影图形 的长为 ，宽为 ，则阴影图形 的周长为：
，
阴影图形 的长为 ，宽为 ，则阴影图形 的周长为：
，
∴阴影图形 与阴影图形 的周长之和为： ，
∴与 值无关．
2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块，除阴影
外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ．
(1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含 的代数式表示）；
(2)分别计算阴影 的周长（用含 的代数式表示），并说明阴影 与阴影 的周长差与 的取值无关；
(3)当 时，比较阴影 面积的大小【答案】(1)
(2)影A的周长为 ，阴影B的周长为 ，说明见解析
(3)阴影A的面积 阴影B的面积
【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数
式即可；
（2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将
两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与 的取值无关；
（3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是 ，
故答案为： ；
（2）解：由图可知：
阴影A的长为： ，宽为： ，
∴阴影A的周长为： ，
阴影B的长为： ，宽为： ，
∴阴影B的周长为： ，
∴阴影 与阴影 的周长差 ，
∴阴影 与阴影 的周长差与 的取值无关；
（3）解：阴影A的面积为： ，
阴影B的面积为： ，
∴把 代入得： ，
∴阴影A的面积 阴影B的面积．
【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟
练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式 ，所以 ，则 ．
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未
被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化时，
的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题
意得出关于y的方程是解题的关键．
（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m；
（2）设 ，由图可知 ， ，即可得到 关于x的代数式，根据取值与
x无关可得 ．
【详解】（1）解：
，
其值与x的取值无关，
，
解得： ，
答：当 时，多项式 的值与x的取值无关；
（2）解：设 ，由图可知 ， ，
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变．
取值与x无关，
，
．
4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式 ，所以 ，即 ．［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在
大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角的
面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1）根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出 的值，再根据含 项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设 ，先求出 ，从而可得 ，再根据“当 的长变化时， 的值始终保持不
变”可知 的值与 的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，关于 的多项式 的值与 的取值无关，
，
解得 ；
（2）令
，
原式=
，
的值与 无关，
，
解得 ；
（3）解：设 ，
由图可知， ， ，
则
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变，
的值与 的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加
减乘法的运算法则是解题关键．【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）若 是完全平方式，则常数 的值为 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，
则有如下特征：①该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方；③第三项是这两数（或
式）的积的 倍．据此解答即可．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴常数 的值为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值为
．
【答案】13或 / 或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解
即可．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ 或 ；
故答案为：13或
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式 是一个完全平方式，则
【答案】4或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定
的值．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 ．
故答案为： 或 ．
3．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式 是一个完全平方式，则 ．
【答案】 或1
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了了完全平方公式，注意分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形计算是解题
的关键．根据完全平方公式的形式求解即可．
【详解】∵多项式 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或1．
4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足 ，那么 ．
【答案】 ，
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：
的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可．
【详解】解：∵A是二项式，
∴ 是一个二项式的完全平方，
∴ 可以写成一个二项式的完全平方，
∴ ， ．故答案为： ， ．
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式 （ 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外
两个多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式， 的绝对值是这组平衡多
项式的平衡因子．
例如：对于多项式 ，因为 ，所以多项式 是一
组平衡多项式，其平衡因子为 ．
任务：
(1)小明发现多项式 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：
，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)判断多项式 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由；
(3)若多项式 （ 是常数）是一组平衡多项式，求 的值．
【答案】(1)3
(2)是，3
(3) 或7或
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，
并求出平衡因子；
对于（2），根据运算法则计算 ，并求出平衡因子；
对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值．
【详解】（1）根据题意，得
，所以平衡因子是 ；
（2）是平衡多项式，理由如下：
根据题意，得
，
所以是平衡多项式，平衡因子是 ；
（3）若
，
∴ ，
解得 ；
若
，
∴ ，
解得 ；
若
，
∴ ，
解得 .
所以m的值为 或7或 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·湖北咸宁·期中）定义：若 ，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是
关于1的伴随数， 与 是关于-3的伴随数．
(1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与 是关于2的伴随数．
(2)若a与 是关于3的伴随数， 与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求的值.
(3)现有 与 (k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值．
【答案】(1)2023，
(2)8
(3)
【知识点】新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值、整式四
则混合运算
【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据题意可得 ， ， ，由原式可得 ，据此即可求
得；
(3)首先求得 ，再根据题意可知 的值与x无关， ，即可求得k
的值，据此即可解答．
【详解】（1）解：根据定义得： ， ，
故2022与2023是关于-1的伴随数， 与 是关于2的伴随数，
故答案为：2023， ；
（2）解：由定义知， ， ， ，
（3）解：
与 (k为常数)始终是数n的伴随数，，
的值与x无关，
，解得 ，
即 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，代数式求值问题，根据不含某项求参数，求得k的值
是解决本题的关键．
2．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）定义 ，如 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的值与 无关，求 值．
【答案】(1)1
(2)
【知识点】整式加减中的无关型问题、整式乘法混合运算、一元一次方程解的综合应用
【分析】（1）先根据定义运算的规定，得到关于x的方程，求解即可；
（2）先根据定于运算的规定得到整式，计算并化简整式，根据值与x无关确定m、n的值，再计算nm．
【详解】（1）解：（1）（x+1）2﹣（x﹣1）2＝4，
∴4x＝4，
∴x＝1．
（2）（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1）
＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣x﹣nx+1）
＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+x+nx﹣1
＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m﹣1
∵ 的值与x无关，
∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0，
∴n＝2，m＝﹣2，∴nm＝2﹣2 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解定义运算的规定，掌握乘法的完全平方公式和多项式乘多
项式法则是解决本题的关键．
3．（23-24八年级上·福建福州·期中）若整式A只含有字母 ，且A的次数不超过3次，令
，其中 ， ， ， 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：
为整式 的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式
，则 ， ， ， ，故A的关联点坐标为
(1)若 ，则A的关联点坐标为_______________
(2)已知整式 是 与 的乘积，其中 ，若整式 的关联点为 ，求 和 的值
(3)若整式 ，整式 是只含有字母 的一次多项式，整式 是整式 与整式 的平方的乘积，若整
式 的关联点为 ，请直接写出整式 的表达式
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、计算多项式乘多项式、坐标与图形
【分析】（1）根据整式得出 ， ， ， ，根据关联点的定义得出 ，
，即可得出A的关联点坐标；
（2）根据题意计算出 ，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为 ，
列出关于 ， 的等式，解出m、n的值即可；
（3）设 ，根据题意求出 ，进而表达出a，b，c，d
的值，再根据F的关联点为 ，列出关于 ， 的等式，解出m、n的值即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
A的关联点坐标为： ．
故答案为： ．
（2）∵ ，
又∵ ，整式C是B与 的乘积，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∵整式C的关联点为 ，
∴ ， ，
解得： ， ．
（3）解：根据题意：设 ，
∴
，
∴ ， ， ， ，
∵整式F的关联点为 ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，把 代入 ，得 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题．
