文档内容
福 建 省 福 州 第 一 中 学
2023 届高三第一次调研测试
数学
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．如果复数 是纯虚数，则实数 的值为
A．0 B．2 C．0或3 D．2或3
3．若函数 同时满足：(1)对于定义域内的任意 ，有 ；(2)对于定
义域内的任意 ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函
数”.给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④
.
其中是“理想函数”的序号是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．已知函数 的部分图象如图所示， ，
则下列判断正确的是A．函数 的最小正周期为4
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象
5．设 都是正数，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且
， ，异面直线 与 所成角为 ，点 ， ， ， 都
在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，且 ， ，其中 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围
是
A． B．C． D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在锐角三角形 中， 、 、 是其三内角，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．在 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，能确定 为锐角的有（ ）
A． B．
C． 、 均为锐角，且 D．
12．设 是等差数列 的前n项和，且 ， 则（ ）
A． B．公差
C． D．数列 的前n项和为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．如图，直三棱柱 ， ， ，侧棱长为 ，点 是侧
面 内一点．当 最大时，过 、 、 三点的截面面积的最小值为
______．14．若函数y＝ sin ωx在区间 上单调递减，则ω的取值范围是________.
15．若直线 和曲线 相切，则实数 的值为_________.
16．已知函数 ，则函数 的零点个数是______个.
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，根据下列条件，解三角形．
（1）A＝60°，c＝ ，a＝ ；
（2）a＝ ，b＝ ，B＝45°.
18．已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 的图象右移 个单位得到 的图象，求函数 的单
调递增区间．
19．如图，要在一块矩形空地 上开辟一个内接四边形 为绿地，且点 ､
､ ､ 都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知 ， ，且
.设 ，绿地 的面积为 .（1）写出 关于x的函数关系式 ，并写出这个函数的定义域；
（2）记 的最大值为 ，求 的表达式.
20．在多面体 中，四边形 为菱形， ，平面 平
面 ， ， ， .
（1）若 是线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
21．已知各项均为正数的两个数列 满足
且
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 的前n项和分别为 求使得等式： 成立的有
序数对
22．已知函数 在 处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线 在点 处的切线方程；(3)求函数 在 上的最值.参考答案：
1．C
试题分析： ， ，故A选项错误，B选项错
误， ，所以 ，故C选项正确， ，D选项错误，故选C.
考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系
2．A
由纯虚数的概念求得 值，注意虚部不能为0．
根据纯虚数的概念可知:
且 ，
解 ，得 或 ；
当 时， 符合题意，
当 时， （舍） ，
所以 .
故选：A.
3．C
由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调
性，能求出结果．
解： 函数 同时满足①对于定义域上的任意 ，恒有 ；
②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理
想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
① 是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
② 是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③ 是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④ 是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选
本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
4．C
根据函数 ， 的部分图象，
， ， ．
再根据五点法作图可得 ， ， ．
故它的周期为 ，故 不对．
令 ， ， 的值不是最值，故 不对．
令 ， ， 的值为零，故函数 的图象关于
点 ， 对称，故 正确．
把函数 的图象向左平移2个单位，可得 的图象，
显然所得函数不是偶函数，故 错误，
故选： ．
故选C.
5．B
首先根据指对运算，利用对数表示 ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.
设 ，所以 ， ， ，
A.由对数函数的单调性可知， ，可知 ，故A正确；
B.
，故B错误；
C. ，故C正确.
D. ，则 ，故D正确.故选：B
6．D
由题意可得 ， ，可得 的长，结合 可得
三棱锥 外接球半径 的值，可得其表面积.
解：如图，过点 作 ，由 ， ，且 ，
可得四边形 为矩形， ， ，
由 ，由于 ，异面直线 与 所成角为 ， 平面 ，
故 ，则 ，
设三棱锥 外接球半径为 ，
结合 ，
可将以 、 、 为相邻三条棱补成一个长方体，
可得： ，
该球的表面积为： .
故选：D.
本题考查球与几何体的切、接问题，以及球的表面公式，转化为长方体的外接球是解题的
关键.
7．B
将角度拆则分 ， ，利用两角和差的正弦公式展开整理后，
结合商数关系即可得.
解：∵
∴整理得： ，由于 ， ，所以 ，
则 ，即 .
故选：B.
8．A
试题分析： , 函数 的定义域为 , ,
, 由 解得 ．因为函数 在区间
上单调递减,所以 ,解得 ．故选A．
考点：函数的单调性．
【方法点晴】本题考查函数的单调性以及给定的区间与单调区间的子集关系,属中档题目．
求函数单调区间的方法是:（1）确定函数的定义域；（2）求导函数 ；（3）解不等式
,所得的 范围即为 的单调递增区间；令 所得的 范围即为
的单调递减区间．接下来利用 ,写出不等关系,注意等号的取舍,为本题
的易错点．
9．BD
利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.
A选项：由选项可知 与 同号，当 且 时，由基本不等式可知 恒成立，当 且 时， ， 时，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项：当 时， ，则
恒成立，即
恒成立，当 时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项：当 时， ，即 ， 恒成
立，当 时， ，即 ， ，故C
选项错误；
D选项：由重要不等式可知， ， 恒成立，故D选项正确；
故选：BD.
10．BC
【解析】由正弦定理可判断A；由 结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断
BC；由BC结论可判断D.
对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则 ，由正弦定理得
，故A错误.
因为 是锐角三角形，所以 所以B对，同理C
对；
对于D，由于 ， ，所以D错.
故选：BC.
本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.
11．BCD判断出 的符号，可判断AB选项；判断 与 的大小关系，可判断C选项；判断
的符号，可判断D选项.
对于A选项， ，可得 ，则 为钝角，A选
项不满足条件；
对于B选项，由余弦定理可得 ，则 为锐角，B选项满足条件；
对于C选项，因为 为锐角，则 也为锐角，
因为 ，且函数 在 上单调递增， 、 均为锐角，
所以， ，则 ，所以， ，C选项满足条件；
对于D选项，若 为直角三角形，则 、 、 中有一个无意义，不合乎题
意.
，则 ， ，
由两角和的正切公式可得 ，则
，
所以，
，
由于 中至少有两个锐角，则 、 、 中至少有两个正数，
进而可知 、 、 均为正数，从而 为锐角，D选项满足条件.
故选：BCD.
方法点睛：判断 的内角 为锐角，可从以下方面来进行分析；
（1）三角函数值符号： 或 ；
（2）平面向量数量积： .12．BCD
【解析】根据已知条件求出等差数列 的通项公式和前 项和公式，即可判断选项 、
、 ，
再利用裂项求和即可判断选项D.
因为数列 是等差数列，则 ，解得： ，故选项B正确；
所以 ，
对于选项A： ，故选项A不正确；
对于选项C： ，所以故选项C正确；
对于选项D： ，
所以前n项和为
，故选项D正确，
故选：BCD.
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列 的前 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同
一个常数，那么求这个数列的前 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构
成的，那么这个数列的前 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从
而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组
成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
13．3
设 由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当 时， 取得最
大值，得到此时三棱柱 是正三棱柱，过点 作 ,连接 ，可得
过 、 、 三点的截面即为平面 ，由 ，求出 最小值，
即可得到答案.
在 中，设 ， , ，
由余弦定理可得： ，
即 ，即 ，
由 ,则 （当且仅当 时等号成立），
所以 ，
所以 即 （当且仅当 时等号成立），
即当 时， 取得最大值4.此时三棱柱 是正三棱柱，
过点 作 ,则 ,连接 ，
过 、 、 三点的截面即为平面 .，
由三棱柱 为直三棱柱，则 平面 ，
所以 ,由 ，则 ，
所以四边形 为矩形，则 ，
当 最小时， 最小.当 平面 时，即 ， 最小. 此时 ，
所以 最小值为 ，
故答案为：3.
14．[－4,0)
根据题意可得 ，函数 在区间 ， 上单调递增，可得 ，
由此求得 的范围．
解： 函数 在区间 ， 上单调递减， 当 时，这不可能．
，函数 在区间 ， 上单调递减，
故函数 在区间 ， 上单调递增，
，求得 ，
故答案为： ， ．
15．1
首先求导的 ，再假设切点为 ，根据斜率 ，得 ，再将 分别代
入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数
已知 ，得 ，设切点为 ，已知直线斜率 ，得 ，再将 分别代入直线与曲线中
可得 解得 .
故答案为：
16．4
分 ， ， ， 讨论，根据分段函数解方程即得.
当 时， ，
当 时， ， ，解得 ；
当 时， ， ，解得 ；
当 时， ，
当 时， ，
，解得 ；
当 时， ，
，解得 ；
综上，函数 的零点为 或 或 或 ，共4个．
故答案为：4.
17．（1） （2） 或
【解析】利用正弦定理、余弦定理，即可求解三角形.
（1）由正弦定理可得 ,所以 ，
，
,
（2） a＝ ，b＝ ，B＝45°
，
，
, 或 ,
由余弦定理得 ,
即 ，
整理得： ，
解得 或
所以 或
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题.
18．（1） ；（2） ．
（1）利用三角恒等变换思想化简函数 的解析式为 ，利用正弦型函数的周期公式可求得函数 的最小正周期；
（2）利用三角函数图象变换规律得出 ，然后解不等式
，可得函数 的单调递增区间．
（1）
，
所以，函数 的最小正周期为 ；
（2）将函数 的图象右移 个单位，
得到函数 的图象，
由 ，解得： ．
函数 的单调递增区间为 ．
本题考查正弦型三角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变
换思想化简三角函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
19．（1） ，其定义域为 ；（2）
.
（1）由题意可知 ， ，而绿地 的
面积等于矩形空地 的面积减去 的面积，从而可得的函数关系式；
（2）由于 的对称轴为 ，所以分 和 两种情况
讨论求函数的最值
（1） ， .
.
，其定义域为 .
（2）当 即 时，则 时， 取最大值 .
当 即 时， 在 上是增函数，则 时， 取最大值 .
综上所述，
20．（1）证明见解析；（2） .
（1）连接 、 、 ，可知 为等边三角形，利用三线合一的性质可得
，利用面面垂直的性质定理可得出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理
可得出平面 平面 ；
（2）证明出 ，然后设 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分
别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可求得二面角
的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得二面角 的正弦值.（1）连接 、 、 ，如图所示：
四边形 为菱形， ， ，则 为等边三角形，
为 的中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，因此，平面 平面 ；
（2）由（1）可知， ， ， ， 平面 ，
平面 ， ，
为 的中点，则 ， ，则 是等腰直角三角形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系
，
设 ，则 、 、 、 ，
，则 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，可得 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，则 为钝角，
，所以， ， .
因此，二面角 的正弦值为 .
本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理
能力与计算能力，属于中等题.
21．（1）证明见解析（2） （3）
【解析】（1）根据递推关系可得 ，从而得到数列 是等差数列；
（2）分别求出数列 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列 的通项公式；
（3）求出 ， ，代入 中，则存在 ，使得 ， ，
从而 ，再证明 不成立，从而得到 ， ， ．
（1）由
即 ．
因为数列 各项均为正数，所以 ，即 ，
故数列 是公差为1的等差数列．
（2）由（1）及 知 ．由 ，得 ．
所以 ，上面两式相除得 ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．
由 及 知 ，所以 ， ，
所以 ．
综上，数列 的通项公式为 ．
（3）由（1）和（2）知 ， ．
由 ，得 ，即 ．
则必存在 ，使得 ， ，从而 ．
若 ，则 ，故 ．
又因为 ，所以 ．
这与 矛盾，所以 ．由于 ，则只能 ，
此时 ， ．
满足题意数对为 .
关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，
这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，
特殊性，提供方向.
22．(1)
(2)(3)函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
(1)求导，利用在 处的导数值为0，并且 ，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在 处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在 时，随 的变化， 的变化情况，进而即可
求解.
（1）因为函数 ，所以 ，
又函数 在 处取得极值 .
则有 ，即 ，解得： ，
经检验， 时，符合题意，故 .
（2）由（1）知：函数 ，则 ，
所以 ，又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
也即 .
（3）由（1）知：函数 ，则 ，
令 ，解得： ，
在 时，随 的变化， 的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
由表可知：当 时，函数 有极小值 ；当 时，函数 有极大值 ；
因为 ， ，
故函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
