文档内容
专题 18.4 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、
新定义、中点四边形问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】............................................................................................1
【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】......................................................................................10
【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】......................................................................................19
【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】......................................................................................24
【考点五 矩形、菱形、正方形中新定义型问题】......................................................................................31
【典型例题】
【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】
例题：（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图所示，矩形 中， ， 为 上的
一动点，过点 作 于点 ， 于点 ，试问当 点在 上运动时， 的值是否
发生变化？若不变，请求出定值．
【变式训练】
1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形 的中心与正方形 的顶点
重合，且与边 、 相交于 、 ，图中阴影部分的面积记为 ，两条线段 、 的长度之和记
为 ，将正方形 绕点 逆时针旋转适当角度，则有（ ）A． 变化， 不变 B． 不变， 变化 C． 变化， 变化 D． 与 均不变
2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为平面内一动
点（不与点D重合），连接 ，以 为边作正方形 ，连接 ．
(1)如图1，当点E在对角线 上移动时：
①求证： ；
②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线 上．
(2)如图2，连接 ，则 的最小值等于_______．
3．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形 中， ，
，点E在边 上，且 ，动点P从点E出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速
度运动．作 ， 交边 或边 于点Q，连接 ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．
设点P的运动时间为t秒．(1)当点P和点B重合时，线段 的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求 的值；
(3)当点P在边 上运动时，如图②，求证： 为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线 的对称点F，连接 、 ，当四边形 和矩形 的重叠部分为轴对称四
边形时，直接写出t的取值范围．
【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】
例题：（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，菱形 的边长为2， ，E是 的中
点，P是对角线 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式训练】
1．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图，P是 的斜边 （不与点A、C重合）上一动点，
分别作 于点M， 于点N，O是 的中点，若 ， ，当点P在 上运动
时， 的最小值是 ．2．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在矩形 中，点P在边 上运动（可与端点重合），
连接 ，E、F分别为 、 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最小值为 ．
3．（2024上·贵州遵义·九年级校联考期末）如图，正方形 ，边长 ，对角线 相交于
点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与 交于E、F两点，当三角板
绕点O旋转时，线段 的最小值为 ．
4．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在 中， ， ，垂足为点D，
是 外角 的平分线， ，垂足为点E， ， ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并证明．(3)在矩形 中内部有一动点P，满足 ，求 的最小值．
5．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，菱形 中， ， ，点P为 边上
任意一点（不包括端点），连结 ，过点P作 边 点Q，点R线段 上的一点．
(1)若点R为菱形 对角线的交点， 为 的中位线，求 的值；
(2)当 的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值；
(3)当 的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出 的最小
值．
【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】
例题：（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别是边
， 上的动点（可与端点重合）， ， 分别是 ， 的中点，则 的最大值为 ．【变式训练】
1．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形 中， ， ，E为 边的中点，P
为 边上的一动点（含端点），F为 的中点，则 长度的最大值为 ．
2．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形 中， ， ，点 分别在边 ，
上，连接 ，点 关于 的对称点在线段 上，则 的最大值为 ．
3．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）矩形 中， ，点A是y轴正半轴上
任意一点，点B在x轴正半轴上．连接 ．则线段 的长度最大值是 ．
4．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形 中， ， ，
为正三角形，点 ， 分别在菱形的边 ， 上滑动，且 ， 不与 ， ， 重合．当点 在 ，
上滑动时，求 面积的最大值．【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】
例题：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，E、F分别是 、 的中
点，G、H分别是 、 的中点．
(1)请判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)四边形 满足什么条件时，四边形 是菱形，请说明理由．
(3)四边形 满足什么条件时，四边形 是矩形，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形 各边中点得到四边形 ，下列说法正
确的是（ ）
A．只有四边形 为平行四边形，四边形 才可能为平行四边形
B．只有四边形 为正方形，四边形 才可能为正方形
C．如果四边形 为矩形，则四边形 一定是菱形
D．如果四边形 为菱形，则四边形 一定是菱形
2．（2022下·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次
连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，
四边形EFGH是矩形．
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
3．（2022下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC
的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE BC，且DE BC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，
连接FC．求证：DE BC，DE BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次
连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求
解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
【考点五 矩形、菱形、正方形中新定义型问题】例题：（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：
如图①， ，则四边形 为“等邻角四边形”．
(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四边形 为“等邻角四边形”，且 ，则 ________．
②如图②，在五边形 中， ，对角线 平分 ，求证：四边形 为等邻角四边
形．
(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形 中， ，点P为边BC上的一动点，过点P作
，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中， 的值是否会发生变化？请说明
理由．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩
形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
知图①，在四边形 中，若 ，则四边形 是“准矩形”；
如图②，在四边形 中，若 ，则四边形 是“准菱形”．(1)如图，在边长为1的正方形网格中， 在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画
出“准矩形” 和“准菱形” （要求： 在格点上）；
(2)如图⑤，在 中， ，以 为一边向外作“准菱形” ，且
交于点 ．若 ，求证：“准菱形” 是菱形；
(3)在（2）的条件和结论下，连接 ，若 ，请直接写出菱形 的边
长为__________．
2．（2023下·广东广州·八年级校考期中）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序
号）；
(2)如图1，在正方形 中，E为 上一点，连接 ，过点B作 于点H，交 于点G，连
、 ．
①求证：四边形 是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是 、 、 、 的中点．试判断四边形 是不是“神奇四边
形”；
(3)如图3，点F、R分别在正方形 的边 、 上，把正方形沿直线 翻折，使得 的对应边
恰好经过点A，过点A作 于点O，若 ，正方形的边长为6，求线段 的长．
