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专题 23.1 解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【题型一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】.................................................1
【题型二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】.....................................................7
【题型三 利用旋转计算面积】......................................................................................................................13
【典型例题】
【题型一 利用旋转结合等腰（边）三角形、垂直、平行的性质求角度】
例题：（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，在 中， ，将 以点 为中心
逆时针旋转得到 ，点 在边 上， 交 于点 ，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质可得 ，由对顶角相等可得 ，根据三角形的外角性质可得
，即可求解．
【详解】解：∵将 以点 为中心逆时针旋转得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）如图，在 中， ，将 绕
点A逆时针旋转，得到△ADE，点 恰好落在 的延长线上，则旋转角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知 ，可算出 ，就可以算出旋转角．
【详解】由旋转的性质可知： 是旋转角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题
的关键．
2．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转
得到△ADE，点 的对应点为点 ，若点 ， ， 恰好在同一条直线上，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得 ， ，由等腰三角形的性质可得 ，即可
求解．【详解】解： 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得
△ADE，使点 恰好落在 边上，连结 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的
性质求解．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
4．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）如图，在 中， ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，使得 ，划 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转到 的位置，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，即旋转角的度数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内
角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．
5．（2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，将 绕点 逆时针旋转一定角度，得到
△ADE．若 ， ，且 ， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，根据三角形内角和定理可得 ，
进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交于点 ，绕点 逆时针旋转得到 ，
， ，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图， ， ， 可以看作是
绕点 顺时针旋转 角度得到的．若点 在 上，则旋转角 的度数是 .
【答案】 / 度
【分析】根据旋转的性质得到 ，根据等边对等角得到 ，再利用三角形内角和定
理计算即可．
【详解】解： 可以看作是 绕点 顺时针旋转 角度得到的，点 在 上，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
即旋转角 的度数是 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，关键是得出 ，题目比
较典型，难度不大．
7．（2023春·上海嘉定·七年级校考期末）已知 中， ，将 绕点 旋转得 ，使点
恰好落在边 上点 处，边 交边 于点 （如图），如果 为等腰三角形，则 的度数为
．
【答案】 或
【分析】如图，设 ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 ，再利用旋转
的性质得 ， ，则 ，利用平角定理得 ，利用三角形外角性质
得，讨论：当 时， ，则 ；当 时， ，利用
得到 ；当 时， ，利用
得到 ，然后分别解关于 的方程，然后计算 即可得到 的度数．
【详解】解：如图，设 ，
，
，
绕点 旋转得 ，使点 恰好落在边 上点 处，
， ，，
， ，
当 时， 为等腰三角形，即 ，则 ，解得 ，此时
；
当 时， 为等腰三角形，即 ，而 ，则 ，
解得 ，此时 ，
当 时， 为等腰三角形，即 ，而 ，
则 ，无解，故舍去，
综上所述， 为等腰三角形时 的度数为 或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想．
【题型二 利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】
例题：（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，将 绕点C逆时针旋转一定的角度得到
，此点A在边 上，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据图形旋转的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点C逆时针旋转一定的角度得到 ，此点A在边 上，
∴ ，
∴ ．故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，若
， ， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用勾股定理求得 ，再根据旋转的性质可得 ，即可求解．
【详解】解；∵ ， ， ，
∴ ，
∵把 绕点C逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023春·陕西汉中·八年级统考期中）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转
，得到 ，连接 ，若 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】先由旋转的性质得到 ， ，然后由计算出 的长度，最后由勾股定理算出线段 的长．
【详解】解：由旋转得， ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练应用“旋转过程中对应线段相等”是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图． 中， ， ，
，将 绕点 逆时针旋转得 ，若点 在 上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 的长，再利用旋转的性质可得 ， ，
，从而求出的长，然后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解： ， ， ，
，
由旋转得： ， ， ，
， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握旋转的性质是解题的关
键．
4．（2023·山西运城·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ，点 为 的中
点，点 是 边上的一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，若
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】由等腰直角三角形的性质可求 ，由旋转的性质可得 ， ，
由“ ”可证 ，可得 ．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
， ， 是 的中点，
， ， ，
又 点 是 的中点，
， ，
，
，将线段 绕点 顺时针旋转 ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构
造全等三角形是解题的关键．
5．（2023·河南周口·统考一模）如图1，在 中， ， ， ， 分别为边 和
的中点，现将 绕点 自由旋转，如图2，设直线 与 相交于点 ，当 时，线段
的长为 ．
【答案】 或
【分析】由 绕点 自由旋转可知有以下两种情况：①当点 在 的右侧时， ，先证
和 全等，进而可证四边形 为正方形，然后求出 ， ，进而可得 的长；
②当点 在 的右侧时， ，同理①证 和 全等，四边形 为正方形，进而得
， ，据此可求出 的长，综上所述即可得出答案．
【详解】解： 绕点 自由旋转，
有以下两种情况：
①当点 在 的右侧时， ，如图：由旋转的性质得： ，
，
，
， ， 分别为边 和 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 为矩形，
又 ，
矩形 为正方形，
，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
；
②当点 在 的右侧时， ，如图：
同理可证： ，四边形 为正方形，
， ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理的： ，，
．
综上所述：当 时，线段 的长为 或 ．
答案为： 或 ．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等
三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正
方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错
点之一．
6．（2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ，将 绕点A按逆
时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边 上，求 的长．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得出 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】∵ ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是
解题的关键．
【题型三 利用旋转计算面积】
例题：（2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，正方形 和正方形 的边长都是 ，正方形 绕点 旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得出 ， ， ，推出
，证出 ≌ ，即可求出两个正方形重叠部分的面积．
【详解】解：
四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，
．
在 与 中，
，
≌ ，
，．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形
的面积等于三角形 的面积是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）将直角边长为 的等腰直角 绕点A逆时针旋转 后，
得到 ，则图中阴影部分的面积是（ ） ．
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】设 与 交于D点，根据旋转角 ，等腰直角 的一锐角 ，可求
，旋转前后对应边相等，对应角相等， ， ，解直角 ，可求
阴影部分面积．
【详解】
解：设 与 交于D点，
根据旋转性质得 ，而 ，
，又 ， ，
设 ，则 ，
，即 ，
解得 ，
，
阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三
角形的特点，计算三角形的面积．
2．（2023秋·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形 的中心与正方形 的顶点
重合，且与边 、 相交于 、 ，图中阴影部分的面积记为 ，两条线段 、 的长度之和记
为 ，将正方形 绕点 逆时针旋转适当角度，则有（ ）
A． 变化， 不变 B． 不变， 变化 C． 变化， 变化 D． 与 均不变
【答案】D
【分析】如图，连接 ， ．证明 ，可得结论．
【详解】解：如图，连接 ， ．∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 定值，
定值，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找
全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（2023春·广东清远·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，将 绕点A
逆时针方向旋转 到 的位置，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】【分析】过点 作 于点D，根据旋转的性质可得到 是等边三角形， ，进而
得到阴影部分的面积等于 ，再由勾股定理求出 ，继而得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点D，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 到 的位置，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，阴影部分的面积等于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即阴影部分的面积是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转
的性质是本题的关键．
4．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，
给出如下问题：如图①，正方形 的对角线 、 相交于点 ，正方形 与正方形 的
边长相等．在正方形 绕点 旋转的过程中， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形 的面积有什么关系．
(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形 面积的______”；请说明理由．
(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形 中， ，
，连接 ．若 ，求四边形 的面积．请你帮小颖解答这道题．
【答案】(1) ，见解析
(2)18，见解析
【分析】（1）只需要证明 MOB≌△NOC得到 ，即可求解．
△
（2）过 作 ，交 的延长线于 ，证明 EAD≌△CAB得到 ，AE=AC=6，则
△
．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答案为： ；
（2）过 作 ，交 的延长线于 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性
质与判定是解题的关键．
5．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）【问题背景】如图1，在 中， ．将 绕点逆时针旋转至 ，记旋转角 ，当线段 与 不共线时，记 的面积
为 ， 的面积为 ．
【特例分析】如图2，当 恰好过点 ，且点 ， ， 在同一条直线上时．
（1） ______°；
（2）若 ，则 ______， ______；
【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中， 与 之间存在一定的等量关系．再
经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图1，过点 ， 分别作直线平行于 ， ，两直线交于点 ，连接 ，可证一组三角形
全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；
思路2：如图2，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，可证一组三角形
全等，再根据旋转的相关性质解决问题；
……
（3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究 与 之间的等量关系为______，并说明理由．
【拓展应用】在旋转过程中，当 为 面积的 时， 的值为______【答案】（1）60；（2） ； ；（3） ，理由见解析；拓展应用： 或
【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得 是等边三角形，即可求解；
（2）过点F作 交 延长线于点 ，设 交于点N，通过证明 ，进
而得出 ，再证明 ，可得 ，仅为求解即可；
（3）分别根据思路1和2进行推理证明即可；
拓展应用：先根据面积之间的关系得出 ，继而得出 ，分别在图3和图2中
进行求解即可．
【详解】（1）由旋转可得， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为：60；
（2）如图，过点F作 交 延长线于点 ，设 交于点N，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解： ，理由如下：
思路1：如图，过点 ， 分别作直线平行于 ， ，两直线交于点 ，连接 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵旋转，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
思路2：如图，过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
拓展应用：
∵ ，
∴当 为 面积的 时， ，
由（3）思路2得， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
如图3， ；
如图2, ，
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
