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专题23.7 中心对称（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说
这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别提醒：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形
重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别提醒：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称
图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
【知识点2】关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
【知识点3】中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别提醒：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活
运用的前提.
【考点一】中心对称有关作图题
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图，已知 是 的中线．
（1）画出发点 为对称中心，与 成中心对称的三角形（点 的对称点为点 ）；
（2）如果 ， ，那么 长的取值范围为_________．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，延长 至点 ，使 ，连接 、 ，则 为
所求作的三角形；
（2）根据中心对称图形的性质，得到 ，进而得到 ，再利用三角形的三边关
系，即可求出 长的取值范围．
（1）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 、 ，则 为所求作的三角形；（2）解：由（1）可知， 和 成中心对称，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了画中心对称图形，中心对称图形的性质，全等三角形的性质，三角形的三边关系，
灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的中线，画出以 为对称中心，与
成中心对称的三角形．
【分析】延长 到 使 ，则 为所作．
解：如图， 与 关于 点中心对称．
【点拨】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段
也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转
后的图形．
【变式2】（2023春·湖南常德·八年级常德市第五中学校联考期中）如图所示， 与 关于
点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
（1）请你找到对称中心O的位置．
（2）连接线段 和线段 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）四边形 是平行四边形，理由见分析
【分析】（1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点
、 ，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O；
（2）由中心对称的性质可知： ， ，再利用平行四边形的判定，即可解决问题．
（1）解：如图所示：
（2）四边形 是平行四边形
由中心对称的性质可得 ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】本题主要考查对中心对称等考点的理解，解答此题要根据中心对称的意义进行解答．
【考点二】利用中心对称的性质求值或证明
【例2】（2022秋·广西河池·九年级统考期末）如图， 与 关于C点成中心对称，若
， ， ，求 的长【答案】
【分析】根据 与 关于C点成中心对称，可得 ，即可得
， ， ，进而有 ，在 中，利用勾股定理即可
求解．
解：∵ 与 关于C点成中心对称，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴在 中，有： ．
即 ．
【点拨】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据 与 关于
C点成中心对称，得到 ，是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 与 关于O点成中心对称，点E、F在
线段 上，且 ．求证： ．【分析】依据题意， 与 关于O点成中心对称，证出 ， ，再根据条件
AF=CE，推出OF=OE，最后证出四边形 是平行四边形，从而证出结论．
解：证明：如图，连接 、 ，
∵ 与 关于O点成中心对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
【点拨】此题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握中心对称图形的性质
是解题关键．
【变式2】（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，直线 ： 与y轴交于点A，与直线 ：
交于点B，直线 与y轴交于点C，点 在射线 上，过点P作直线 轴，垂足为
E，直线 交直线 于点Q．
（1）求点B的坐标及线段 的长；
（2）当点P在线段 的延长线上，且线段 与 关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
（3）当 时，求m的取值范围．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得 ，解析式联立，解方程组
即可求得B点的坐标；
（2）根据题意得出 ，即可得到 ，解得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据 ，借助图象即可得到当 时，则 ，解得 ；当 时，则
，解得 ．
解：（1）在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解 得， ，
∴ ；
（2）设 ，则 ，∵线段 与 关于点B成中心对称
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
由题意可知， ，
当 时，则 ，
解得 ；
当 时，则 ，
解得 ，
综上，m的取值范围是 或 ．
【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的
关键．
【考点三】中心对称图形
【例3】（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．
（1）画出将 沿着 轴的反方向平移 个单位得到的 ；（2）画出将 绕原点 旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）画出的 和 是中心对称图形吗？如果是，请写出对称中心的坐标，如果不是，请
说明理由．
【答案】（1）见分析；（2） ，图见分析；（3）是，
【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）连接对应点即可求得．
（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）如图所示： 即为所求，点 的坐标为： ；
（3） 和 是中心对称图形，对称中心的坐标为 ．
【点拨】本题考查了根据旋转变换和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 边 的中点，连接 并延长到点 ，使
，连接 ．连接 ，还能找出哪两个图形成中心对称？并判断四边形 是什么特殊的四边
形．
【答案】 与 成中心对称，平行四边形
【分析】根据 是 边 的中点得到 ，结合 ，即可得到答案；解：∵ 是 边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 绕点 旋转 能与 重合， 与 成中心对称；
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】本题考查中心对称图形的定义及平行四边形的判定．
【变式2】（2023春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标
为 ， ， ， 各顶点的坐标为 ， ， ．
（1）在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
（2）若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
（3）在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】（1）作图见分析；（2） ；（3）作图见分析，
【分析】（1）由题意确定点 ， ， 的位置，再连线即可；（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴的交点即为所求的点 ．
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由 与 关于点 成中心对称，如图所示，则 与 是对称点，
， ，
点的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示：
点 即为所求， ．【点拨】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对
称的性质是解答本题的关键．
【考点四】关于原点对称的点的坐标
【例4】（2023秋·九年级课时练习）如图，正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直
角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）作出 并使它与 关于坐标原点O成中心对称，则 的坐标为 ．
（2） 的面积为 ．
（3）将 绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为 ， ， ，则旋转中心
的坐标为 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据关于原点成中心对称的特征作出图形即可；
（2）利用坐标求出 三个点的坐标，然后计算出三边长度可证得 是等腰直角三角形，然后
计算面积即可；
（3）利用作图观察求解．
（1）解：如图所示， 为所求图形，由图可知 ；
（2）解：由图可知 ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 和 关于原点对称，
∴ ，
∴ ；
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的
交点就是旋转中心，如图，作 ，连接 和 ，然后分别作 和 的垂直平分线交于点P，由图可知点P坐标为 ，
∴旋转中心的坐标为： ．
【点拨】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中
考常考题型．
【举一反三】
【变式1】（2023春·上海黄浦·七年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已知点 、
、 ，
（1）点C关于原点对称的点 的坐标是______；
（2） 的面积是______；
（3）在x轴负半轴上找一点D，使 ，则点D坐标为______．【答案】（1） ；（2）6；（3）
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特点进行求解即可；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据面积相等列方程求解即可．
解：（1）∵点C的坐标为 ，
∴点C关于原点对称的点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）连接 ， ， ，如图：
则 的面积为 ．
故答案为：6．
（3）设点 的坐标为 ，则 ，
即 ，
解得： 或 （舍去）
则点D坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，借助网格求三角形的面积等，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
【变式2】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图1，点 为平面直角坐标系的原点，点 在 轴
上， 是边长为 的等边三角形．
（1）求点 的坐标；
（2）若将 绕点 顺时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标是______；
（3）将 沿着 轴向右平移到 处，如图 ，连接 ， 交于点 ．判断 的形状，
并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 是等腰三角形，理由见分析
【分析】（1）作高线 ，根据等边三角形的性质和勾股定理求 和 的长，写出 点的坐标，
注意象限的符号问题；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求解；
（3）根据平移可得 ，证明 ，得出 ，等角对等边，即
可得出结论
（1）解：如图1，过 作 于 ，
∵ 是等边三角形，且 ，，
∴ ，
∴
（2）解：若将 绕点 顺时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标是 ，
故答案为： ．
（3）解： 是等腰三角形，理由如下，
∵平移，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【点拨】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理，全等三角形的性质与
判定，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
