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专题 4.5 三角形中角度计算压轴大题精选 30 道
【人教版】
1．（2023•榆林一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图 1中，
△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根
据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，
求∠BED的度数．
2．（2024春•宿城区期末）已知：△ABC中，记∠BAC＝ ，∠ACB＝ ．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△AαBC的外角∠βCBM和∠BCN，BD⊥AP于点D．
①用 的代数式表示∠BPC的度数；
②用α的代数式表示∠PBD的度数；
（2）如β 图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D．
①请补全图形；
②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论．
3．（2023秋•和平县期末）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，过点D作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．
（1）问题解决：如图1，若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：2：1，求∠DAC的度数．
1
（2）如图1，若∠BED＝128°，∠DAF= ∠BAD，试猜想∠DAF与∠C之间的数量关系，并说明理
2
由．
（3）问题拓展：如图2，若过点D作DG∥AB交BC于点G，连接EG，交BD于点O，试探究DO是否
平分∠EDG，并说明理由．
4．（2023秋•法库县期末）在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一
动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
【问题初探】 α
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠ ＝60°，则∠1+∠2＝ °；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，α则∠1，∠2，∠ 之间的数量关系为 ；
【问题再探】 α
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠ 之间的数量关系；
（4）如图4，若点P运动则△ABC的内部，求∠1，∠2，∠ 之间α的数量关系；
【问题解决】 α
（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，
∠2，∠ 之间的数量关系．
α5．（2024春•农安县期末）（问题背景）
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点 A、点 B 的运动，∠AEB＝
．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝ ，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝
．（用含 的代数式表示） α
6．（2024春α•曲阳县期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于
1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可
知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动
点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出
∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的
角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的
度数．
7．（2024春•内乡县期末）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．
如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交
线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
8．（2023秋•平原县期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
（1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相
交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
（2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的
平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和
∠CFE的度数；
（3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD
于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE
的度数．
9．（2024春•南昌期末）【课本再现】（1）如图1，在△ABC中，线EF经过点A且EF∥BC．求证：
∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【变式演练】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝50°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于点F．若∠1＝
125°，求∠B的度数．
【方法应用】（3）如图3，直线l 与直线l 相交于点O，夹角的锐角为 ，点B在直线l 上且在点O右
1 2 1
侧，点C在直线l 上且在直线l 上方，点A在直线l 上且在点O左侧运动α，点E在射线CO上运动（不
2 1 1
与点C、O重合）．当 ＝70°时，EF平分∠AEC，AG平分∠EAB交直线EF于点G，求∠G的度数．
α
10．（2024春•鼓楼区校级月考）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝ °；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G ，G …，G ，若∠BDC＝140°，∠BG C＝77°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
11．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图
1，AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：
①∠DOC＝∠AOB（对顶角相等）；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图2，∠E与∠D，∠B
之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交
于点E．
（1）如图2，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2
请你完成后续的推理过程：∴∠D+∠1+∠B+∠4＝
∵CE，AE分别是∠BCD，∠BAD的平分线
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠E＝
又∵∠D＝30°，∠B＝50°
∴∠E＝ 度．
（2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是：
【类比应用】（3）如图3，∠BAD 的平分线AE与∠BCD 的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝ ，∠B＝ ，（ ＜ ）则∠E＝ ．（用 、 表示）
12．（2023秋•佛α山期末）β已知α∠AβOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交α 于β点D，点C，D均不与
点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝
45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM
交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．
13．（2024春•雁江区期末）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上
一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝ ．
α
（1）如图1，若点P在线段BA上，且 ＝30°，则∠PEB+∠PDA＝ °；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题α意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含 的
α式子表示），并证明；
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含 的
式子表示）． α
14．（2023秋•鄱阳县校级月考）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交
于点P．
①当∠A与∠ABC满足的 关系时，PC∥AB；
②当∠A＝70°时，求∠P的度数．
知识运用
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A+∠D＞∠ABC+∠BCD，∠ABC的平分线与∠BCD的外角的平分
线交于点P，求∠A、∠D与∠P之间的数量关系．
拓广探索
（3）如图3，在五边形ABCDE中，∠ABC+∠BCD＞180°，∠ABC的平分线所在的直线与∠BCD的外
角平分线所在的直线交于点P，若∠P＝20°，求∠A+∠D+∠E的度数．
15．（2023秋•瑶海区校级月考）（1）【判断】如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，作∠BAC的
平分线AD交BC于点D，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，则∠DFE＝ ；
（2）【迁移】如图2，将（1）中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件
不变，则∠DFE＝ ；
（3）【拓展】如图3，在△ABC中，∠B＝ ，∠C＝ （ ＞ ），AD是∠BAC的平分线，在直线AD
上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交α于点E，β请直β 接α写出∠DEF与 ， 之间的数量关系
． α β16．（2023春•叙州区校级期末）【问题探究】
将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处
（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；
（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位
置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．
17．（2023春•嘉定区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为
“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为
80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点
A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．18．（2024春•鲤城区校级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形
分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角
形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
① ；② ．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割
线．
【应用概念】：
（3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．
19．（2023秋•八步区期中）在△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点（不与A，
B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上）．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，
∠DPE＝∠ ．
（1）若点Pα在边AB上，如图（1）所示，且∠ ＝40°，则∠1+∠2＝ °；
（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，α则∠ ，∠1，∠2之间有何关系？说明理由．
（3）若点P在△ABC边BA的延长线上运动（CE＜CαD），直接写出∠ 、∠1、∠2之间关系．
α20．（2023秋•鲁山县期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与
点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ．
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（2）若点E在线段DC上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠BGE与∠A之间的数量关
系．
21．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在△ABC中，∠BAC＝66°，三个内角平分线交于点O，
△ABC的外角∠ACE的角平分线交BO的延长线于点F．
【问题初探】：（1）∠OCF的度数为 ，∠F的度数为 ；
【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODB＝∠AOB．（可直接使用问题（1）中的结论）
①求∠BOD的度数；
②试判断线段OD和CF之间的位置关系，并说明理由；
【拓展探究】：（3）若∠ABC＝ ，将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度 （0°＜ ＜360°）后得到
△O′CD′，当CD′所在直线与BαF平行时，请直接写出此时旋转角度 与 β之间的关β系．
β α
22．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现：
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．如图 1，∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ∠A+∠B，所以∠ACD ∠B．（填
“＞”、“＜”或“＝”）
（2）实验与探究：
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角
所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样
呢？大边所对的角也大吗？
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图 2，在△ABC中，AC＞AB，求证：∠B＞∠C．”并作
出了辅助线：作∠BAC的平分线AD，在AC上截取AE＝AB，连接DE．请你结合智慧小组的探究思路
完成该问题的证明过程．
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．
并且他们还提出了一个新问题：如图3，在△ABC中，∠B＝2∠C，那么AC，2AB之间有怎样的数量关
系？你的猜想是AC （填“＞”、“＜”或“＝”）2AB．请证明你的猜想．
23．（2023秋•张北县期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，动点E在射线BD上
（不与点D重合），过点E作EF∥BC交线段AC于点F（不与点A，C重合），∠AFE的平分线所在
的直线与射线BD交于点G．
（1）当点E在线段BD上时．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，∠FED的度数为 ；∠FGD的度数为 ；
1
②求证∠FGD=90°− ∠A；
2
（2）当点E在线段BD的延长线上时，直接写出∠FGD与∠A之间的数量关系．
24．（2023秋•南关区期末）将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C'．
（1）当C'落在AC上时（如图1），可得∠1与∠2的关系为 ；
（2）当C'点落在CA和CB之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；（3）当C'落在CB，CA的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
25．（2023秋•阜平县期中）如图1，点P在△ABC内，连接BP，CP，且∠BPC＝90°．
（1）若∠A＝60°，则∠ABC+∠ACB的度数为 ；
（2）求证：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）将题干中“点P在△ABC内”改成“点P在△ABC外”，其他条件不变，点P的位置如图2所
示．
①若∠A＝60°，则∠ACP﹣∠ABP的度数为 ；
②如图3，若BO，CO分别平分∠ABP，∠ACP，直接写出∠O与∠A的数量关系．
26．（2023春•川汇区期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是 ，直线
BC，AE的位置关系是 ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由．
（3）结论应用
如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数．27．（2023秋•花都区期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于
点E．
（1）若∠BDE＝60°，∠DCE＝25°，求∠A的度数．
（2）若∠BDE﹣∠DCE＝n°，解答以下问题：
①若n＝30，求∠A的度数；
②试用含n的式子表示∠A，请说明理由．
28．（2024春•衡阳期末）（概念学习）
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互
为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ °；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与
钝角∠BCD之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；（用含 的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延α长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB
的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°；
直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．29．（2023秋•惠州校级月考）在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图①，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠DAE＝ ；
（2）如图②（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系；
（3）拓展：如图③，在四边形ABDC中，AE是∠BAC的平分线，DA是∠BDC的平分线，连接BC交
AD于点F．若∠ACB＞∠ABC且∠DCB＞∠DBC，猜想：∠DAE与∠ABD，∠ACD之间的数量关系，
并说明理由．
30．（2023秋•青岛期末）【基础探究】
（1）如图1，AB∥CD，点E是CD上的点，点P是AB和CD之间的一点，连接PB、PE．若∠B＝
25°，∠PEC＝32°，则∠P的度数为 ；
（2）如图2，BE∥DF，∠DBE的平分线与∠CDF的平分线交于点G，当∠BGD＝65°时，则∠BDC的
度数为 ；
（3）如图3，DH∥EG，点A、点C分别是DH、EG上的点，点B和点F是DH和EG之间的点，连接
AB、AF、CB、CF．若∠B＝94°，∠F＝92°，AF、CB分别平分∠HAB、∠GCF，则∠BAH的度数为
；
【问题迁移】
（4）如图4，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC与∠A的数量关系为：∠BOC
＝ ；
【拓展深化】
如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED＝m°，∠C＝n°（m＜n）．
（5）如图 5，BO、DO 分别平分∠ABC、∠BDE．用含 m、n 的式子表示∠BOD 的度数为；
（6）如图6，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线DH相交于点H，点H在
△ABC内部，用含m、n的式子表示∠DHC﹣∠BOC的度数为 ．
