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专题5.4 相交线与垂线（考点分类拓展）
【考点目录】
【考点1】旋转问题； 【考点2】折叠与重合问题；
【考点3】最值问题； 【考点4】三角板角度计算问题；
一、单选题
【考点1】旋转问题
1．（2022上·内蒙古乌海·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝
120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点
O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，
则t的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
2．（2022下·北京·七年级北理工附中校考期中）如图，直线 ， 相交于点 ，在 内部画
射线OA，使OC恰为 的平分线，在 内部画射线OB，使 ，将直线 绕点
旋转，下列数据与 大小变化无关的是（ ）
A． 的度数 B． 的度数
B．C． 的度数 D． 的度数
3．（2021下·北京海淀·七年级统考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD
的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）A．∠AOD的度数 B．∠AOC的度数
C．∠EOF的度数 D．∠DOF的度数
【考点2】折叠与重合问题
4．（2022下·山东济南·六年级统考期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线
l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点
的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对
C．两人都对 D．两人都不对
5．（2018下·七年级课时练习）在同一平面内，直线a、b相交于O，b∥c，则a与c的位置关系是（
）
A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或重合
【考点3】最值问题
6．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，在 中， ， 于点D，
，若点E在边AB上（不与点A，B重合）移动，则线段 最短为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．67．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图，直线 ，垂足为
O，点A是射线 上一点， ，以 为边在 右侧作 ，且满足 ，若点B是射线
上的一个动点（不与点O重合），连结 ，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，
当线段 取最小值时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】三角板角度计算问题
8．（2021上·浙江嘉兴·七年级统考期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直
角三角板的直角顶点且与斜边相交，则 与 一定满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2015下·湖北武汉·七年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若
∠1=2∠2，则∠3的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
二、填空题【考点1】旋转问题
10．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图①，点O在直线 上， ， ，将
绕点O以每秒 的速度按逆时针方向旋转（如图②），当 旋转到第t秒时， 平分 ，则t
的值为 ．
11．（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）【动手操作】如图，点 为直线 上一点，过点 作射
线 ，使 ．将直角三角板 绕点 旋转一周，当直线 与直线 互相垂直时，
的度数是 ．
12．（2022下·北京·七年级校考阶段练习）如图， 为直线 上一点，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的上方．将三角板绕点 以每秒3°
的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过 秒后， ．
13．（2022上·江西赣州·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，
∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三
角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角
∠AOC，则t的值为 ．【考点2】折叠与重合问题
14．（2015下·七年级课时练习）如图所示，矩形ABCD沿EF折叠，若∠DEF＝72°，则∠AEG的度数为
．
15．（2021上·北京通州·七年级统考期末）点 为线段 上一点，不与点 、 重合， 于
点 ，若 ，则 的度数为 ．
【考点3】最值问题
16．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图， 中， ，D为 边上的任意一点，
连接 ，E为线段 上的一个动点，过点E作 ，垂足为F点．如果 ， ，
，则 的最小值为 ．
17．（2022下·湖北孝感·七年级统考期末）如图， 于点D， ， ， ，点E
是线段 上的一个动点（包括端点），连接 ，那么 的最小值是 ．【考点4】三角板角度计算问题
18．（2023上·山西太原·七年级统考期末）如图，将直角三角板的直角顶点 落在直线 上，射线
平分 ， ，将三角板绕点 旋转（旋转过程中 与 均指大于 且小于
的角）．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．当三角板整体都在直线 上方时， 的度数为 （用含 的代数式表示）．
B．将三角板绕点 旋转一周， 的度数为 （用含 的代数式表示）．
19．（2023下·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）如图，某位同学将一副三角板随意摆放
在桌上，则图中 的度数 ．
三、解答题
【考点1】旋转问题
20．（2022上·四川成都·七年级统考期末）已知：O是直线 上的一点， 是直角， 平分钝
角 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2， 平分 ，求 的度数；
（3）当 时， 绕点O以每秒 沿逆时针方向旋转t秒（ ），请探究
和 之间的数量关系．21．（2022上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图1，已知，点O为直线 上一点；
在直线 的上方， ．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边 在射线
上，另一边ON在直线 的下方．
（1）在图1的时刻， 的度数为 ， 的度数为 ；
（2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边 恰好平分 时， 的度数为 ；
（3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边 在 的内部时， 的度数为 ；
（4）在三角板绕点O旋转一周的过程中， 与 的关系为 ．
【考点2】折叠与重合问题
22．（2015下·七年级课时练习）如图，取一张正方形纸片ABCD．如图①，折叠∠A，设顶点A落在
点A′的位置，折痕为EF；如图②，折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数
是否是定值，并说明理由．23．（2022上·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线 均与直线l重合，如图1所
示，过点O作射线 和射线 ，使得 ， ，作 的平分线 ．
（1）求 与 的度数；
（2）作射线 ，使得 ，请在图2中画出图形，并求出 的度数；
（3）如图3，将射线 从图1位置开始，绕点O以每秒 的速度逆时针旋转一周，作 的平分
线 ，当 时，求旋转的时间．
【考点3】最值问题
24．（2018上·江苏盐城·七年级校联考期末）如图， 、 、 是平面内三点.
（1）按要求作图：
①作射线 ，过点 作直线 ，使 、 两点在直线 两旁；
②点 为直线 上任意一点，点 为直线 上任意一点，连结线段 、 ；
（2）在（1）所作图形中，若点 到直线 的距离为2，点 到直线 的距离为5，点 、 之间的
距离为8，点 、 之间的距离为6，则 的最小值为_______，依据是_______.25．（2022下·北京·七年级北京市第二中学分校校联考期中）如图，A、B、C是平面内三点．
（1）按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；
（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距
离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________
【考点4】三角板角度计算问题
26．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板 的直角顶点O放在直线
上．
（1）若线段 的长是点C到直线 的距离，则点D在直线 ______（填“上”或“外”）．
（2）比较 与 的大小，并说明理由．27．（2022上·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点 是直线 上一点，在直线 的上方作射线
，使 ，将一个直角三角板 的直角顶点放在点 处（注： ），且直角三角
板 始终保持在直线 的上方．
（1）如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 的度数=______；
（2）如图2，若直角三角板 的边 在 的内部．当 平分 时，试判断 平分
吗？并说明理由．
（3）若 ，求 的度数．参考答案：
1．D
【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角
平分线的定义及角的和差关系即可得答案．
解：∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON= ∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90°−30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；∴t的值为：6或24．
故选：D．
【点拨】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想．
2．B
【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到 与各个选项的角度的关系即可．
解：∵ ， 相交于点 ，
∴ = ，A选项不符合题意；
∵OC恰为 的平分线，
∴ = ，D选项不符合题意；
∵ =180°-
∴ =180°- ，C选项不符合题意；
故选：B
【点拨】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到 与各个选项的角度的关系最后
利用排除法得到正确答案是解题的关键．
3．C
【分析】由角平分线性质解得 ，根据对角线性质、平角性质解得 ，
，据此解题．
解： OE，OF平分∠AOD，∠BOD都与∠BOD大小变化有关，
只有∠EOF的度数与∠BOD大小变化无关，
故选：C．
【点拨】本题考查角平分线的性质、涉及对顶角、平角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
4．C
【分析】根据垂直的定义即可解答．
解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；
淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．
5．B
解：根据平面内的直线之间的关系，由题意可知a与c相交.如图：
故选B.
6．D
【分析】根据垂线段最短得到 时，线段 最短，利用三角形的面积计算方法求出最小值.
解：根据垂线段最短可知，当 时，线段 最短，
这时，
∵ ，
∴ ，
故选D.【点拨】此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
7．D
【分析】作 ， ， ，作射线 ，由角平分线的性质得 ，
可得 平分 ，进而知 ， ，当 时， 最小，此时点C在 处，
再由 可得答案．
解：作 于点E，作 于点G，作 于点H，作射线 ．
∵ 平分 ， ， ， ，
∴ ．
同理： ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
根据题意可知点C在 的平分线上运动，当 时， 最小，此时点C在 处．
在 中， ．
所以，当线段 最小时， 的度数是 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解
题的关键．
8．D
【分析】根据直角和邻补角的定义列出关系式，从而利用等式的性质计算求解．
解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°
∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2∴90°-∠1=180°-∠2
∴
故选：D．
【点拨】本题考查直角和邻补角的概念及等式的性质，掌握相关性质正确列关系式求解是关键．
9．D
解：试题分析：根据图形可得：∠1+∠2=90°，又∠1=2∠2，所以3∠2=90°，所以∠2=30°，又
∠3+∠2=180°，所以∠3=180°-30°=150°，故选D．
考点：1．互余，2．互补．
10．60
【分析】本题考查角平分线的定义、一元一次方程的几何应用，先求得 ，再根据角平分
线的定义得到 ，然后根据题意列方程求解即可．正确得到关于t的方程是解答的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 绕点O以每秒 的速度按逆时针方向旋转t秒时， 平分 ，
∴ ，则 ，
解得 ，
故答案为：60．
11． 或
【分析】分 在直线 的右侧和 在直线 的左侧两种情况求解即可．
解：∵ ，
∴ ．
当 在直线 的右侧时，如图，∵ ，
∴ ，
∴ ．
当 在直线 的左侧时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键．
12．10或70/70或10
【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．
解：如图， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵将三角板绕点 以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴ （秒）；
如图， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵将三角板绕点 以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，
∴旋转角为 ，
∴ （秒）；
故答案为：10或70．
【点拨】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的
定义求解即可．
13．5或23/23或5
【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进
而得到t的值．
解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON= ∠AOC=40°，
此时，三角板旋转的角度为90°-40°=50°，∴t=50°÷10°=5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°-90°-40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解
题的关键．
14．36°
解：根据图形的折叠变换可得∠DEG＝2∠DEF＝144°，根据邻补角的性质可知∠AEG＝180°－∠DEG＝
36°．
15． 或
【分析】分OC，OD在AB的同侧和异侧两种情况讨论来求解．
解：如图,当OC，OD在线段AB的同侧时，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ,当OC，OD在线段AB的异侧时，反向延长OD到E，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ,
，
综上， 或 ；
故答案为： 或
【点拨】本题主要考查了平角定义，垂线定义及角的计算，讨论OC，OD在线段AB的同侧和异侧是解
本题的关键．
16． /
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作
于F，交 于E．则 的最小值为 ，利用三角形等面积法求出 ，即为 的
最小值．
解：过C作 于F，交 于E，则 的最小值为 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴CF= ，
即 的最小值为： ，
故答案为： ．
17．3
【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到当 时， 取最小值，即可解答．
解：由题意得，当 时， 取最小值，
此时 ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了垂线段最短，熟知本概念是解题的关键．
18． A或B 或
【分析】选A：根据补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，结合三角板的度数
计算即可；
选B：同A的方法计算即可．
解：选A：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
选B：
当 在 上方时，
同A可得： ；
当 在 下方时，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ； 或 ．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，邻补角，分类讨论等知识；熟练掌握角平分线定义是解题的关
键．
19． / 度
【分析】先根据三角形内角和定理得到 ，再由对顶角相等得到
，由此即可得到答案．
解：如图所示，由题意得， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了对顶角相等，三角板中角度的计算，正确推出 是
解题的关键．
20．（1） ；（2） ；（3） ， ； ，
【分析】（1）根据 是直角和交平分线的性质求解即可；
（2）根据 是直角和交平分线的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论： 时， 时．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是直角，
∴ ，
∵ 平分 ．，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直角，
∴ ；
（3）解：① 时，由题意得 ，∴
∴ ；
② 时，
由题意得
∴
∴ ；
【点拨】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键．
21．（1）120，150；（2）30；（3）30；（4） 或 ，或
，或
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，认真审题并仔细观察图形，熟记角平分线的定义，
找到各个角之间的关系是解题的关键．
（1）由平角的定义可求 和 的度数，进而可求的度数；
（2）由角平分线的定义求出 ，再根据角的和差关系解答即可；
（3）由 ， ，可得 ，然后作差即
可；（4）分两种情况：当三角板绕点O旋转至一边 在 的内部时；当三角板绕点O旋转至一边
不在 的内部时，分别根据对顶角相等和周角的定义计算即可．
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：120，150；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：30；
（3）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为：30；
（4）解：分两种情况：
当三角板绕点O旋转至一边 在 的内部时，
如图，设 的延长线为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
当三角板绕点O旋转至一边 不在 的内部时，
如图：
∵ ， ，
∴ ；
都在 内时， ；
都在 的对顶角内时， ．
综上所述，∠COM与∠AON的关系为： 或 ，或 ，
或 ．
故答案为： 或 ，或 ，或 ．
22．为定值．
解：由折叠可知，∠FEA′＝∠FEA，∠GEB＝∠GEA′，所以 ， ．因为
∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以 ，即
∠FEG的度数为定值．
23．（1） ， ；（2） 或 ；（3）6秒或 秒
【分析】（1）根据 ， ，即可得出 的度数，根据角平分线的定义得
出 ，然后根据 得出 的度数；
（2）根据题意得出 的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线 在 内部时；②当
射线 在 外部时；分别进行计算即可；
（3）根据 平分 得出 ，根据题意画出图形，计算 的角度，然后计算时间
即可．
（1）解：由题意可知， ，
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
①当射线 在 内部时，如图2（1），
；
②当射线 在 外部时，如图2（2），
，
综上所述， 的度数为 或 ；
（3）∵ 平分 ，
∴ ，
①如图3，，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
②如图3（1），
此时， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转的时间 （秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或 秒．
【点拨】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题
的关键；第（3）问，搞清楚在射线 旋转的过程中， 和 的相对位置在不断的变化，以此进行分
类画图．
24．（1）见分析；（2）5；两点之间，线段最短； 垂线段最短.
【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到
直线的距离垂线段最短回答即可．
解：（1）如图所示.（2） 的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.
依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.
【点拨】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直
线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．
25．（1）①见分析；②见分析；（2）5，垂线段最短
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据线段的性质即可得到结论．
（1）解：①如图1所示，射线BC，直线l即为所求；
②如图1所示，线段AP，PQ即为所求；
；
（2）解：过A作AQ⊥BC交直线l于P，
则此时，AP+PQ的值最小，
∵点A到直线BC的距离为5，
∴AP+PQ的最小值为5，
依据是垂线段最短，
故答案为：5，垂线段最短．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
26．（1）上；（2）
【分析】（1）由线段 的长是点C到直线 的距离，可得 ，结合 ，从而可得答案．
（2）由垂线段最短可得答案．
（1）解：∵线段 的长是点C到直线 的距离，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 重合，
∴则点D在直线 上．
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ 与 上各点的连线段中，垂线段 最短．
∴ ．
【点拨】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记点到直线的距离的含义是解本题的关键．
27．（1） ；（2） 平分 ，理由见分析；（3） 的度数为 或
【分析】（1）根据直角三角形的直角可知 求解即可得到结果；
（2）根据角平分线的定义可以求得 的度数，进而求出 的度数，得到 最
后得到结论．
（3）根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果．
（1）解：∵ ，
∴
∴
故答案为：
（2）解：∵ ， 平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ 平分
（3）解：如图第一种情况，当 在 的内部时，设
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴可得方程：
解得：
∴
第二种情况，当 在 的外部时，设 ，则
∴
∵
∴
∵ ，
∴可得方程：
解得：
∴
综上所述， 的度数为 或
【点拨】本题考查了邻补角，角平分线等相关知识点，根据图形分析出各角之间的关系是解题的关键．
