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专题 5.6 实际问题与一元一次方程（2 大知识点 12 类题型）（知识
梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意．
（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．
（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找
出的等量关系列出方程．
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写
出答案．
【知识点2】题型等量关系分析
【题型1】日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律)
数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6
【题型2】等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体
积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，
周长没变；②原料体积＝成品体积。
【题型3】数字问题
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路
分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示
多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为
10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量
关系列方程.
【题型4】和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有
量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩
余以及倍，增长率等．【题型5】调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象
流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。
【题型6】利润率问题。
利润
利润率= 100%
（1） 进价 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【题型7】工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和．
【题型8】行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题：
（a）基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间;
（b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：
（a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
（b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出
发：
（c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：
（a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
（b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变
来考虑．
（c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助
画草图来分析．
【题型9】方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优
劣性后下结论．
题型目录
【题型1】日历问题...........................................................3
【题型2】等积（周）变形问题.................................................5
【题型3】数字问题...........................................................7
【题型4】和、差、倍、分问题.................................................8
【题型5】调配问题..........................................................10
【题型6】利润问题..........................................................12
【题型7】行程问题..........................................................14
【题型8】工程问题..........................................................16
【题型9】方案问题..........................................................19
【题型10】古代问题.........................................................21
【题型11】阶梯（电费、水费）问题...........................................23
【题型12】数轴上的动点问题.................................................25第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】日历问题
【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是 年 月份的月历，现用十字框任意框出 个数，如：
(1)十字框框出的 个数与十字框中间的数有什么关系？
(2)如果十字框框出的 个数之和为 ，那么十字框中间的数是多少？
(3)十字框框出的 个数之和可以是 吗？
【答案】(1)十字框框出的 个数的和等于十字框中间的数的 倍；(2)十字框中间的数是 ；(3)十字框框
出的 个数之和可以是
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据题意列式计算，即可找出相应关系；
（2）根据“十字框框出的 个数之和为 ”列方程求解即可；
（3）根据“十字框框出的 个数之和是 ”列方程求解即可．
解：（1） ，
答：十字框框出的 个数的和等于十字框中间的数的 倍；
（2）设十字框中间的数是 ，
则依据题意有： ，
解得： ，
答：十字框中间的数是 ；
（3）设十字框中间的数是 ，
则依据题意有： ，
解得： ，
且 ，
十字框框出的 个数之和可以是 ，
答：十字框框出的 个数之和可以是 ．
【变式1】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为 ，那么该“十”字型中正中间的
号数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．设中心数
为x，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可．
解：设中心数为x，根据题意得：
，
解得： ，
∴该“十”字型中正中间的号数为23，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）某月有五个星期二，已知这五个日期的和为 ，则这月中
最后一个星期二是 号．
【答案】
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用每个星期相差 天，设最后一个星期二是 号，则其他四个星
期的号数分别为： ， ， ， ，由这五个日期的和为 列方程解答即可，读懂题意，
列出方程是解题的关键．
解：设最后一个星期二是 号，则其他四个星期的号数分别为： ， ， ， ，
根据题意列方程得， ，
解得： ，故答案为： ．
【题型2】等积（周）变形问题
【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为 ，高均为 的量筒中装
有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒
中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留 ）
【答案】倒入水之前大量筒中水的体积为【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及圆柱体的体积公式，解题关键在于熟记该公式．设量筒
中原来水的高度为 ，根据将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，求出量筒中
原来水的高度，即可得出答案．
解：设量筒中原来水的高度为 ，
大量筒的底面半径为 ，底面积为 ，
小量筒的底面半径为 ，底面积为 ，
则由题意可得 ，
解得 ，经检验，符合题意，
量筒中原来水的高度为 ，倒入水之前大量筒中水的体积为 ．
答：倒入水之前大量筒中水的体积为 ．
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的一边长减少 后，得到一个长方形（图
中阴影部分），若长方形的周长为 ，求正方形的边长．设正方形的边长为 ，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，
掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键．
解：设正方形的边长为 ，
∴ ,
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用一只高48厘
米的量桶（不考虑量筒厚度）和一些体积相同的小球进行如下实验．先阅读表格信息，再解答下列问题：放入球个数x（个） 0 3 5 x
量桶内水面高度h（厘米） 30 36 ______ ______
(1)请根据题意，补全上表中的两个空：
(2)当放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度为y（厘米），请写出变量y与x之间的表达式；
(3)当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数．
【答案】(1)40， ； (2) ； (3)放入小球的个数为9.
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用：
（1）放入3个小球时，水面高度上升 厘米，则每放入1个小球，水面高度上升2厘米，由此可解；
（2）放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度减少 厘米，由此可解；
（3）设放入小球的个数x个，此时量桶内水面距离量筒口的高度为0，由此列一元一次方程，解方程即
可；
解：（1）由表可知，每放入1个小球，水面高度上升 厘米，
因此放入5个小球时， ，放入x个小球时， ，
故答案为：40， ；
（2）由题意知， ，
即y与x之间的表达式为： ；
（3）设当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为x．
则 ，
解得 ，
即当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为9．
【题型3】数字问题
【例3】（23-24六年级下·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，
得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位
数小360，则这个两位数是多少？【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一位数为 ，则这两位数为 ，再根据题意列式
，然后计算，即可作答．
解：设一位数为 ，则这两位数为
∵把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，
且后面的三位数比前面的三位数小360，
∴ ，
解得 ，
则 ，
∴这个两位数是 ．
【变式1】（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的 倍多 ，第二个数比第一个
数的 倍少 ，问这两个数是多少？设第二个数为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为 ，则第一个数为 ，根据题意列出方程即
可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
解：设第二个数为 ，则第一个数为 ，
根据题意可列方程： ，
故选： ．
【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字
互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对
调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为 ．若一个
“相异数”y的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，则“相异数” ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出关于 的方程，求解即可，理解题意，正确列出
方程是解此题的关键．解：∵一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴“相异数” ，
故答案为： ．
【题型4】和、差、倍、分问题
【例4】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三
条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的 ，余下的人参加B街路和C
街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的 ．
(1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
(3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处 的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此
时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
【答案】(1)240人; (2)B街路：144人；C街路：216人; (3)72人。
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系．
（1）直接将 计算即可；
（2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可；
（3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可．
解：（1） （人），
∴参加A街路清冰雪劳动共有240人；
（2）设参加C街路的清冰雪劳动有x人，
，，
∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人；
（3）设参加清冰雪劳动的居民有y人，
，
，
∴参加清冰雪劳动的居民有72人．
【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快
递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（ ）
A．66件 B．67件 C．68件 D．72件
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还
剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
解：设分派站现有包裹x件，
依题意得： ，
解得： ，
故选：A．
【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年
龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁．
【答案】11
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33
岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为 岁，列一元一次方程即可求解．
解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为 岁，由题意得：
，
解得 ，即王芳现在的年龄是11岁，
故答案为：11．
【题型5】调配问题
【例5】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（ 天）用 的时间生产课桌， 的时间生产课椅，每个月可生产900套课
桌椅；乙厂每月用 的时间生产课桌， 的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合
生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？
【答案】100套
【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂
生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足
够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产 天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此
即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，
即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
解：甲厂每天生产课桌： （张），
椅子： （张）；
乙厂每天生产课桌： （张），
椅子： （张）；
设乙生产 天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套．
根据题意可得方程：
，
，
，
；
（套），
（套），
答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套．
【变式1】（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初
是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克
糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰
好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用 千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉
粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可．
解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用 千克糯米制作碱水粽，
根据题意得 ．
故选：B．
【变式2】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间的生产流
程是先“灌装”：即将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再“装箱”：即将瓶装黄酒装箱出车间，该瓶酒车间
“灌装”“装箱”生产线信息如表所示：
“灌装”生 “装箱”生
产线 产线
生产线数量 条 条
每条生产线的生产效率 瓶/小时 750瓶/小时
某日8时到11时，车间内的生产线全部投入生产，如图表示该时段内还没有装箱的瓶装黄酒存量 随时
间的变化情况，则 ．
【答案】
【分析】根据车间内的瓶装黄酒存量8时时为400瓶，到11时为700瓶，列一元一次方程，求解即可．
解：根据题意，得 ，
解这个方程，得： ．故答案为：14．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【题型6】利润问题
【例6】（23-24七年级上·四川南充·期末）“爱读书，读好书，善读书”正成为全民的追求，某书城老
板看到了商机，准备购进甲、乙两类畅销书刊．第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共
28000元，甲类书刊每本的进价比乙类书刊多4元．书城决定甲、乙两类书刊均按进价的1.5倍标价销售．
(1)求甲、乙两类书刊每本的进价各是多少元？
(2)该书城第一次购进的甲、乙两类书刊很快售完，第二次以同样的价格购进了与上次同样数量的甲、乙
两类书刊．一段时间后，甲类书刊销售缓慢，只卖出了400本，老板决定对剩余的甲类书刊打折出售，
乙类书刊价格不变，最后全部售完总利润比第一次少赚3600元，求剩余的甲类书刊打了几折？
【答案】(1)甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元；(2)剩余的甲类书刊打了八折.
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和找等量关系，找出等量关系，列方程求解是解题的关键．
（1）根据第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，列方程即可求解．
（2）设剩余的甲类书刊打了a折，求出第一次的总利润，根据全部售完总利润比第一次少赚3600元列方
程，即可求解．
解：（1）设乙类书刊每本的进价为x元，则甲类书刊每本的进价为 元，
由题意得： ，
解得： ．
∴ （元）．
答：甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元．
（2）甲类书刊每本的利润为 （元），
乙类书刊每本的利润为 （元），
第一次的总利润为 （元），
设剩余的甲类书刊打了a折，由题意得：
．
解得： ．
答：剩余的甲类书刊打了八折．
【变式1】（2024·山西大同·二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节
（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销
售．若打8折后仍能获利 ，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（ ）
A．220元 B．260元 C．300元 D．320元
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键．
设该服装每件标价是x元，根据题意，得 ，求解即可．
解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得
，
解得 ，
故选C．
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一本书若定价每本10元，获得的纯利润是 ；如果
想使获得的纯利润是 ，则每本书应定价 元．
【答案】
【分析】设这本书的进价为x元，根据题意，得 ，结合纯利润是 ，列式解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用—利润问题，熟练掌握解方程是解题的关键．
解：设这本书的进价为x元，根据题意，得 ，
解得 ，
设每本书应定价为y元，根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【题型7】行程问题
【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车
上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动
车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．分析：
已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变
未知量：大桥的长度、动车速度
等量关系：速度=路程÷时间
难点：根据线段图形分析图得出：
小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长 车长
合作探究：
请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为
___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为 米，所以动车的平均速度还可
以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________．
【答案】 ； ；
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程．
根据速度=路程 时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程；
解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米，
∴动车的平均速度可表示为 米/秒．
∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为 米，
∴动车的平均速度还可以表示为 ．
∵火车的平均速度不变，
∴可列方程： ．
故答案为： ； ； ．
【变式1】（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道
路 的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行
走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（ ）A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为 米
列方程求解即可．
解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘
根据题意得 ，
解得 ，
此时巧巧走了 米， ，则巧巧在D处；
淘淘走了 米， ，则淘淘也在D处，
故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处，
故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·江西景德镇·期末）如图，直线l上有A、B两点， ，M从点A出发
向左运动，速度为 ；N从点B出发向左运动，速度为 ．设经过t秒后， ，
．
【答案】 秒或8秒
【分析】分两种情况，当点N在点A、B之间时，或当点N追上点M时，分别列方程，解方程即可求解．
解：当点N在点A、B之间时，
根据题意得： ，
解得 ，
当点N追上点M时，
根据题意得： ，
解得 ，综上，经过 秒或8秒后， ，
故答案为： 秒或8秒．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论，正确列出方程是解决本题的关键．
【题型8】工程问题
【例8】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，
需要施工费 万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要
施工费 万元．
(1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？
(2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？
(3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？
【分析】本题考查了一元一次方程的应用
（1）设甲工程队一周完成的工作量为 ，则乙工程队一周完成的工作量为 ，根据若先请甲工程
队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设甲工程队工作一周需要施工费 万元，则乙工程队工作一周需要施工费 万元，即
万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施
工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可；
（3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可．
解：（1）设甲工程队一周完成的工作量为 ，则乙工程队一周完成的工作量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成，
答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成；
（2）设甲工程队工作一周需要施工费 万元，则乙工程队工作一周需要施工费 万元，即万元，
由题意得： ，
解得： ，
，
答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元；
（3）应该选择乙工程队，理由如下：
只请甲工程队单独做，施工费为 （万元），
只请乙工程队单独做，施工费为 （万元），
，
应该选择乙工程队．
【变式1】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（工程问题）甲、乙两管同时打开， 分钟就能注满
水池．现在先打开甲管， 分钟后再打开乙管，再过 分钟就注满了水池．已知甲管比乙管每分钟多注入
立方米的水，那么这个水池的容积是 立方米．
【答案】
【分析】本题考查了工程问题的解决方法，解题的关键是找到等量关系列出方程．
设乙水管每分钟注入 立方米水，甲水管每分钟注入 立方米水，根据水池的容积不变，列出方
程解出 即可解答本题．
解：设乙水管每分钟注入 立方米水，甲水管每分钟注入 立方米水，由题意得：
，
解得： ，
所以容积是 （立方米），
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划n天完成（n
为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一
天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天
完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则 （ ）
A．37 B．38 C．40 D．41
【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的实际应用：分三种情况考虑，最后发现只要经过3的倍数天，甲、乙、
丙的工作天数都是一样的，则只要看最后那几天就行，若第一种情况，最后甲 乙，那么第三种情况最
后必然是乙 丙 甲，这样得到甲 乙 乙 丙 甲，显然不符合题意，据此分析另外两种情况，求出甲
单独25天完成，乙单独50天完成，设乙和丙工作了 天，则甲工作了 天，恰好如期完成，列出方
程求解即可．
解：第一种：甲 乙 丙 ；
第二种：丙 甲 乙 ；
第三种：乙 丙 甲 ；
我们发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的，
∴只要看最后那几天就行
若第一种情况，最后甲 乙
那么第三种情况最后必然是乙 丙 甲，这样得到甲 乙 乙 丙 甲，显然不符合题意，
∴第一种情况，最后应该是甲；
那么第二种情况最后就是丙 甲，
第三种情况就是乙 丙；
∴甲 丙 甲 乙 丙，
因为丙单独50天做完，工效为 ，
∴甲单独25天完成，乙单独50天完成，
设乙和丙工作了 天，则甲工作了 天，恰好如期完成，
则：
解得： ，
∴ ；
故选：A．
【题型9】方案问题
【例9】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．
现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一
盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）．
(1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简
式子表示）；
(2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多；
(3)当 时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？
如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用．
【答案】(1) ， ; (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多; (3)在甲店购买40副球
拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元．
【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论；
（3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可．
解：（1） 甲店每买一副球拍赠一盒球，
在甲店购买需付款 （元），
乙店全部按定价的8折优惠，
（元）
故答案为： ， ；
（2）根据题意得： ，
解得 ，
答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多；
（3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为：
甲店付款 （元），
乙店付款 （元），
一共需付款 （元），
答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元．
【变式1】（2022七年级上·全国·专题练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购
书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（ ）
①一次性购书不超过100元，不享受优惠
②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折
③一次性购书超过200元，一律打八折A．180元 B．202.5元
C．180元或202.5元 D．180元或200元
【答案】C
【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价 ，打八折即原价 ，分别得出等式求出答案．
解：∵ ， ， ，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．
当购买的书款9折销售时，设原价为x元，根据题意可得：
，
解得： ，
当购买的书款8折销售时，设原价为y元，根据题意可得：
，
解得： ，
故李明所购书的原价一定为180元或202.5元．
故选：C．
【点拨】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是理解售书的三种方案．
【变式2】（23-24七年级上·甘肃白银·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电
影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下：
影城 票价（元） 优惠活动
时光影城 48 学生票半价
遇见影城 50 网络购票，总价打八折
乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的
优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人 人，根据“时光影城”的优惠方式计
算费用列出一元一次方程，求解即可．
解： 共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为：
(元)，
．购票的总费用是240元；
设6人中学生x人，则成年人 人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用得：
，
解得： ．
故答案为：2．
【题型10】古代问题
【例10】（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解
下列应用题．
①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，
多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数
字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百
鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领
取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？
【答案】①这个两位数为36；②75户
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
①解：设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位
数”列方程求出x即可；
②设城中共有 户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程
求解即可．
解：①设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，
根据题意得： ，
解得 ，
则 ，
答：这个两位数为36；
②设城中共有 户人家，
根据题意得： ，
解得 ，
答：城中共有75户人家．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在
一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解
题的关键．
本题可设鸡有x只，则兔有 只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”
即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可，
解：设有x只鸡，则有 只兔子，
可列方程为： ．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，
五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，
天到齐国；乙从齐国出发， 天到长安．现乙先出发 天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设
乙出发 天甲乙相遇，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设乙出发 天甲乙相遇，根据题意列出方程 即
可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程．
解：设乙出发 天甲乙相遇，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【题型11】阶梯（电费、水费）问题
【例11】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a
超过17吨但不超过30吨的部分 b
超过30吨的部分
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水16吨，交水费 元．8月份用水25吨，交水费 元．
(1)求a、b的值．
(2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？
【答案】(1) ；(2)上交水费 元
【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键；
（1）当用水16吨时，水费为 元，根据水费为 ，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由
所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于 元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值；
（2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解．
解：（1）当用水16吨时，水费为 元，则 ，
则 （元）；
当用水25吨时，17吨水的费用为 （元）， （元），
所以 ，
得： ；
（2） （元）；
答：小王家9月份用水36吨，应上交水费 元．
【变式1】（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电
费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（ ）
A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过
2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电
量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可．
解：∵ （元）， （元），
又∵ ，
∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，
设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得：
，
解得： ，
（度），
答：小聪家去年全年用电量为4900度．
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下：
用水量/立方米 单价/元
a
超过10的部分
李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费 元，则李阿姨12月份的用水
量是 ．
【答案】16立方米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家
11月份用水5立方米，交水费11元，可知 ，根据李阿姨12月份交水费 元，可知李阿姨12月
份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案．
解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，
所以 ，
解得 ，
∵ ，∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米，
设李阿姨家12月份用水量为x立方米，
则 ，
解得 ，
所以李阿姨家12月份用水量是16立方米．
故答案为：16立方米．
【题型12】数轴上的动点问题
【例11】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知 ，且 ， 在数轴上对应的点分别是
，
(1) ____________， ____________
(2)数轴上有一点 ，且 到 ， 两点的距离之和为11，求点 在数轴上对应的数
(3)若点 、点 同时沿数轴正方向运动，点 到原点 的距离记为线段 ，点 到原点 的距离记为线
段 ，点 的速度是点 速度的2倍，3秒后满足 ，求点 的速度
【答案】(1) ；3； (2)点 在数轴上对应的数为5或 ；(3)点 的速度为 或 ．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）利用绝对值的非负性质得到 ， ，解得 ， ；
（2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据 分情况讨论，列出方程，解方程即可；
（3）设点B的速度为v，则A的速度为 ，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论．
解：（1） 且 ．
， ，
解得 ， ．
故答案为： ；3；
（2）设点 在数轴上所对应的数为 ，
当 在 点右边，
．
根据题意得
，
解得 ．即点 在数轴上所对应的数为5；
当 在 点左边，
．
根据题意得
，
解得 ．
即点 在数轴上所对应的数为 ；
综上，点 在数轴上对应的数为5或 ；
（3）设 速度为 ，则 的速度为 ，
3秒后点， 点在数轴上表示的数为 ， 点在数轴上表示的数为 ，
当 还在原点 的左边时，由 可得 ，
解得 ；
当 在原点 的右边时，由 可得 ，解得 ．
即点 的速度为 或 ．
【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知 两点在数轴上，点 表示的数为 ，
，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向右运动．点 以每秒 个单位长度的速度从点 向
左运动（点 、点 同时出发）．经过几秒，点 、点 分别到原点 的距离相等？（ ）
A． 秒 B． 秒或者 秒 C． 秒或 秒 D． 秒
【答案】B
【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是
解题的关键．
由 确定点 表示的数为 ，由点 、点 分别到原点 的距离相等，分别表示出 ， ，
建立方程求解即可．
解：∵点 表示的数为 ， ，
∴ ，
∴点 表示的数为 ，设经过 秒，点 、点 分别到原点 的距离相等，则点 运动距离为 ，则点 表示的数为 ，
点 运动的距离为 ，点 表示的数为 ，
∴ ， ，
根据题意得： 时，
即 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
即经过 秒或 秒后，点 到原点 的距离相等．
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点 ， ， 均在数轴
上，其中点 ， 表示的数分别是 ，3.以点 为折点，将此数轴向右对折，折叠后点 落在点 右侧
的数轴上，且 ， 两点之间的距离为2，则点 表示的数是 ．
【答案】0或
【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式
用含 的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当 在 的右侧及当 在 的左侧，利用
及 ，列出方程解答即可．
解：设对折后，使点 落在 处，
当 在 的右侧且距离是2时，
点表示的数为5，
设点 表示的数是 ，
则 ， ，
，
即 ，解得： ，
点 表示的数是0．
②当 在 的左侧且距离是2时，
点表示的数为1，
设点 表示的数是 ，
则 ， ，
，
即 ，
解得： ，
点 表示的数是 ．
故答案为：0或．
