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2017年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C
=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概
率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输
出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线
第1页 | 共4页的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log 4.
2
1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
8．（5分）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥
| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切
线为l，则l在y轴上的截距为 ．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积
为18，则这个球的体积为 ．
12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的
圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ．
13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈
第2页 | 共4页R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4b
sinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广
告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收
视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播
放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．
分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，
AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
第3页 | 共4页18．（13分）已知{a }为等差数列，前n项和为S （n∈N*），{b }是首项为2的
n n n
等比数列，且公比大于0，b +b =12，b =a ﹣2a ，S =11b ．
2 3 3 4 1 11 4
（Ⅰ）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求数列{a b }的前n项和（n∈N*）．
2n n
19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g
（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x ，y ）处有相同的切线，
0 0
（i）求证：f（x）在x=x 处的导数等于0；
0
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x ﹣1，x +1]上恒成立，求b的取值范
0 0
围．
20．（14分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点
为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x
轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
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