2013年高考数学试卷（文）（天津）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第 Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. 第Ⅰ卷 参考公式: 如果事件A, B互斥, 那么 P(AB)P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V = Sh， 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ·如果事件A, B相互独立, 那么 P(AB)P(A)P(B) ·球的体积公式 V  4 R3. 3 其中R表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则AB (A) (,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 3x y60, (2) 设变量x, y满足约束条件 则目标函数z = y－2x的最小值为 x y20,  y30, (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的 值为 (A) 7 (B) 6 第1页 | 共5页(C) 5 (D) 4 (4) 设 , 则 “ ”是“ ”的 a,bR (ab)a2 0 ab (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆 相切, 且与直线 垂直, 则 (x1)2  y2 5 ax y10 a 1 (A)  (B) 1 2 1 (C) 2 (D) 2     (6) 函数 f(x)sin2x 在区间  0,  上的最小值是  4  2 2 (A) 1 (B)  2 2 (C) (D) 0 2 (7) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0,)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log a) f(log a)2f(1), 则a的取值范围是 2 1 2  1 (A) [1,2] (B) 0,   2 1  (C) ,2 (D) (0,2]   2  (8) 设函数 . 若实数a, b满足 , 则 f(x)ex x2,g(x)lnxx2 3 f(a)0,g(b)0 (A) g(a)0 f(b) (B) f(b)0g(a) (C) 0g(a) f(b) (D) f(b)g(a)0 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 第2页 | 共5页第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = . 9 (10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 . 2 x2 y2 (11) 已知抛物线y2 8x的准线过双曲线  1(a0,b0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为 a2 b2 2, 则该双曲线的方程为 . (cid:2) (cid:2) (12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, BAD60, E为CD的中点. 若AC·BE 1, 则AB的长为 . (13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与 CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 . 1 |a| (14) 设a + b = 2, b>0, 则  的最小值为 . 2|a| b 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则 该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A A A A A 1 2 3 4 5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A A A A A 6 7 8 9 10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; 第3页 | 共5页(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发 生的概率. (16) (本小题满分13分) 2 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知 , a = 3, . bsinA3csinB cosB 3 (Ⅰ) 求b的值;   (Ⅱ) 求sin2B 的值.  3 (17) (本小题满分13分) 如图, 三棱柱 ABC－A B C 中, 侧棱 A A⊥底面 ABC,且各棱长均 1 1 1 1 相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A C 的中点. 1 1 (Ⅰ) 证明EF//平面A CD; 1 (Ⅱ) 证明平面A CD⊥平面A ABB ; 1 1 1 (Ⅲ) 求直线BC与平面A CD所成角的正弦值. 1 (18) (本小题满分13分) x2 y2 3 设椭圆  1(ab0)的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得 a2 b2 3 4 3 的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) , 求k的值. AC·DB AD·CB8 (19) (本小题满分14分) 已知首项为3 的等比数列 的前n项和为 , 且 成等差数列. {a } S (nN*) 2S ,S ,4S 2 n n 2 3 4 第4页 | 共5页(Ⅰ) 求数列{a }的通项公式; n 1 13 (Ⅱ) 证明S   (nN*). n S 6 n (20) (本小题满分14分)  x3 (a5)x, x0, 设 , 已知函数  a[2,0] f(x) a3 x3  x2 ax, x0.  2 (Ⅰ) 证明 f(x)在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; 1 (Ⅱ) 设曲线y f(x)在点P(x, f(x))(i1,2,3)处的切线相互平行, 且xx x 0, 证明x x x  . i i i 1 2 3 1 2 3 3 第5页 | 共5页