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《课程学习 最短路径问题》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动
点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
2．如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲
在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上
的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为（ ）A．10cmB．15cmC．20cmD．40cm
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点
A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（-2，0）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，0）
5．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是
OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、解答——知识提高运用
6．如图：已知四边形ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB=AD=3，点E，F分别
在BC，CD边上，那么△AEF的周长最短是。
7．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置
时，PA2+PB2的值最小？。
8．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边
上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值。
9．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千
米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物
运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小。如图建立直角坐
标系。
（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点
设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式。
（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B。
2．【答案】B
【解析】作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，
交点即为所求点M。根据最短路线问题，B选项图形方案符合。故选B。
3．【答案】C
【解析】如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，
由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D，
△CPD周长的最小值=P′P″，
由轴对称的性质，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=20cm，
所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°，
所以，△OP′P″是等边三角形，∴PP′=OP′=20cm。
故选：C。
4．【答案】C
【解析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（-2，4），
∴C（-2，-4），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
把C、B的坐标代入得：
2＝4k+b
−4＝−2k+b，
解得：k=1，b=-2，
∴y=x-2，
把y=0代入得：0=x-2，x=2，
即P的坐标是（2，0），
故选C。
5．【答案】A
【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB
于F．此时，△PEF的周长最小。
连接OC，OD，PE，PF。∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°。
故选A。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】延长AB至M，使AB=BM，延长AD至N，使AD=DN，分别交BC于E，DC于
F，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴BC，CD是AM和AN的垂直平分线，
∴AE=ME，AF=FN，
∵△AEF的周长=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN，
∴此时△AEF的周长最短为线段MN的长，
∵AB=AD=3，
∴AM=AN，
∵∠BAD=120°，
∴∠M=∠N=30°，
∴MN=2AM•cos30°=12×=6，
故答案为6．
7．【答案】设OA=a，OB=b，OP=x，
∵PA2=a2+x2-2axcosα，PB2=b2+x2-2bxcosα，
∴PA2+PB2=a2+x2-2axcosα+b2+x2-2bxcosα=2x2-2（a+b）cosαx+a2+b2，
∴当x=cosα时，PA2+PB2的值最小．．
8．【答案】作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP。
∵DQ=D″Q，DP=D′P，
∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+D″Q+D′P=D′D″，
根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值。
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°-60°=30°，
∠D′DD″=180°-30°-30°=120°，
∵D为AB的中点，
∴DF=AD•cos30°=1×=，AF= ，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P为AC、BC的中点．
∴DD″=×2=，
同理，DD′=×2=，
∴△DD′D″为等腰三角形，
∴∠D′=∠D″= =30°，
∴D″D′=2DD′•cos30°=2××=3
9．【答案】（1）如图所示：过B作直线BE⊥y轴于E点，
∵A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，
∴AE=4-2=2千米，
∴BE===，
∴A（0，4）、B（，2），
过点B作关于直线l1的对称点B′，则BF=B′F=2-a，
∴B′点的坐标为（，-2+2a），
∴S=AB′= =2；
（2）由（1）可知，S=2，
∵0≤a≤2，
∴当a=2时S有最小值，则S=2=6（千米）。
