文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期期中测试卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二十一章~第二十四章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答
案．
【解答】解：（x+a）2＝b，
则x2+2ax+a2＝b，
∴x2+2ax+a2﹣b＝0，
由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形
的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形
重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图
形，
故选：C．
3．（3分）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移
的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的
顶点坐标为（0，﹣2），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．
故选：D．
4．（3分）用配方法将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣4
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x﹣3
＝﹣[（x+1）2+3﹣1]
＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：C．
5．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【分析】由题意知m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，将2m2+4m﹣mn转化为2（m2+2m）﹣mn
代值即可得出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2m2+4m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1+1＝3，
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，将线段AB绕点A旋转至AD，当AD∥BC
时，∠ADC的度数是（ ）
A．20° B．70° C．20°或70° D．20°或140°
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和旋转的性质可求解．
【解答】解：如图，当点D在点A左侧时，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAB＝40°，
∵将线段AB绕点A旋转至AD，
∴AD＝AC，
180°−100°−40°
∴∠ADC= =20°，
2
当点D'在点A右侧时，同理可得∠AD'C＝70°，
故选：C．
7．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的百分
率是第一次的2倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确
的是（ ）
A．560（1+x）2＝315
B．560 （1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560 （1﹣x）（1﹣2x）＝315
【分析】根据某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知第二次降价的
百分率是第一次的2倍，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
560 （1﹣x）（1﹣2x）＝315，
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，点E在 O上，且∠ADC＝125°，则
∠BEC的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．55° C．45° D．35°
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据
直角三角形的性质求出∠CAB，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
⊙
∵∠ADC＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠CAB＝90°﹣55°＝35°，
由圆周角定理得：∠BEC＝∠CAB＝35°，
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋
转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023
次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【解答】解：在正方形中，点A的坐标为（1，0），
∴点B（0，1）．
∵C（0，4），
∴OC＝4．
∴BC＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3．
∴D（1，3）．
由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣1）；第2次旋转结束时，点D的坐标
为（﹣1，﹣3）；第3次旋转结束时，点D的坐标为（﹣3，1）；第4次旋转结束时，点D的坐标
为（1，3）．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次为一个循环．
∵2023÷4＝505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为（﹣3，1）；
故选：A．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m）、（q，m）、（4，c），当1≤q﹣p
＜8时，则m的取值范围为（ ）
15
A．c﹣4≤m＜c+12 B．c− ≤m＜c+12
4C．c＜m≤c+12 D．c﹣3≤m＜c+24
b 0+4
【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x=− = =2，进而得到抛物线为y＝x2﹣4x+c，
2 2
根据抛物线的对称性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入1≤q﹣p＜8得到2.5≤q＜6，根据图象
15
上点的坐标特征即可求得− + c≤m＜12+c．
4
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（0，c），（4，c），
b 0+4
∴抛物线的对称轴为直线x=− = =2，
2 2
∴b＝﹣4，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，
∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），
p+q
∴ = 2，
2
∴p+q＝4，
∴p＝4﹣q，
∵1≤q﹣p＜8，
∴1≤q﹣4+q＜8，
∴2.5≤q＜6，
∵m＝q2﹣4q+c，
15
∴− + c≤m＜12+c，
4
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知点P（a﹣3，2b+4）与点Q（b+5，3a﹣7）关于原点对称，则a+b＝ ﹣ 2 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，2b+4）与点Q（b+5，3a﹣7）关于原点对称，
∴a﹣3+b+5＝0，
则a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是91，每个支干长出 9 个 小分支．
【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x ＝9，x ＝﹣10（舍去），
1 2
∴每个支干长出9个小分支．
故答案为：9个．
13．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（^AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为^AC一
点，OB⊥AC于D．若AC=300❑√3米，BD＝150米，则的 O的半径长为 30 0 米．
⊙
1
【分析】设圆的半径是r米，由垂径定理推出AD= AC＝150❑√3（米），由勾股定理得到r2＝（r
2
﹣150）2+(150❑√3) 2 ，求出r＝300，即可得到 O的半径长为300米．
【解答】解：设圆的半径是r米，则OD＝（r﹣⊙150）米，
∵OB⊥AC，
1 1
∴AD= AC= ×300❑√3=150❑√3（米），
2 2
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣150）2+(150❑√3) 2 ，
∴r＝300，
∴ O的半径长为300米．
故答案为：300．
⊙
14．（3分）某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽
略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处
达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了
不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O 7 米以内．
【分析】根据题意，可以设出OA右侧的抛物线解析式，然后根据题意，可以求得抛物线的解析
式，再令y＝1.8求出x的值，再结合函数图象，即可得到王师傅应站在离中心O多少米的范围内才
不会被淋湿．【解答】解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，
∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，
∴该抛物线过点（8，0），
1
∴0＝a（8﹣3）2+5，得a=− ，
5
1 1 6 16
∴OA右侧的抛物线的解析式为y=− （x﹣3）2+5=− x2+ x+ ，
5 5 5 5
1
当y＝1.8时，1.8=− （x﹣3）2+5，得x ＝7，x ＝﹣1，
5 1 2
16
∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，点A的坐标为（0， ），
5
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O7米以内，
故答案为：7．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）
之间（不包含端点），则以下结论：①abc＜0；②b＝2a；③﹣4＜a＜﹣1；④ac+2b＞1．其中
正确结论为 ①③ ．（填序号）
【分析】抛物线开口向下a＜0，对称轴在y轴右侧，b＞0，根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的
另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，抛物线和y轴正半轴相交，c＞0，则abc＜0，则可对
①进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则可对②进行判断；而x＝1时，a+b+c＝4，
则c＝4+a，由当x＝2时，y＞0，y＝3时，y＜0，得到4a﹣4a+4+a＞0，9a﹣6a+4+a＜0，解不等式
组可对③进行判断；利c＝4+a，b＝2a代入ac+2b＝a2即可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间（不包含端点），
∴与x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线和y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，故②错误；
∵x＝1时，y＝4，即a+b+c＝4，
∴a﹣2a+c＝4，即c＝4+a，
∵当x＝2时，y＞0，y＝3时，y＜0，
∴4a+2b+c＞0，即4a﹣4a+4+a＞0，
9a+3b+c＜0，即9a﹣6a+4+a＜0，
∴﹣4＜a＜﹣1，故③正确；
∵c＝a+4，b＝﹣2a，
∴ac+2b＝a（a+4）﹣4a＝a2，
∵﹣4＜a＜﹣1，
∴1＜a2＜16，
∴1＜ac+2b＜16，故④错误；
故答案为：①③．
16．（3分）如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，∠A＝60°，AB＝2且BE＝BF＝
❑√3
DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．四边形EFGH的面积为s，当s＞ 时，
2
❑√2 ❑√2
AE的取值范围是 1− ＜ AE ＜ 1 + ．
2 2
【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△AEH是等边三角形，进而表示出BE
的长，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BN⊥EF于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∵BE＝BF＝DG＝DH，
∴AH＝AE，CG＝CF，EN＝NF，
∴△AHE≌△CFG（SAS），△DHG≌△BEF（SAS），
∴EH＝FG，HG＝EF，
∴四边形HEFG是平行四边形，
又∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，∴四边形HEFG是矩形，
设AE＝HE＝x，
∴BE＝2﹣x，
设AE＝HE＝x，
∴BE＝2﹣x，
∵△AHE是正三角形，
∴HE＝x，EF=❑√3（2﹣x），
❑√3
∴s＝EF•EH=❑√3x（2﹣x）＞ ，
2
❑√2 ❑√2
∴1− ＜x＜1+ ，
2 2
❑√2 ❑√2
故AE的取值范围是1− ＜AE＜1+ ，
2 2
❑√2 ❑√2
故答案为：1− ＜AE＜1+ ．
2 2
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于x的方程x2+2x﹣m﹣5＝0的一个根为﹣1+❑√5．
（1）求m的值；
（2）求这个方程的另一个根．
【分析】（1）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得﹣1+❑√5+t＝﹣2，（﹣1+❑√5）t＝﹣
m﹣5，然后先求出t，再计算m的值；
（2）由（1）得到这个方程的另一个根．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得﹣1+❑√5+t＝﹣2，（﹣1+❑√5）t＝﹣m﹣5，
解得t＝﹣1−❑√5，
（﹣1+❑√5）（﹣1−❑√5）＝﹣m﹣5，
解得m＝﹣1；
（2）这个方程的另一个根为﹣1−❑√5．18．（6分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，顶点A（2，1），与x轴右侧交于点B
（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）方程ax2+bx+c＝0的解为 x ＝ 1 ， x ＝ 3 ；
1 2
（3）当y＞0时，请观察函数图象，直接写出x的取值范围 1 ＜ x ＜ 3 ．
【分析】（1）由图象可知抛物线顶点A（2，1），故设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，代入点
（3，0）即可求得a的值；
（2）根据抛物线的对称性求得点（3，0）的对称点，然后根据图象即可求得；
（3）根据抛物线与x轴的交点，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）由图象可知抛物线顶点A（2，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵抛物线与x轴右侧交于点B（3，0），
∴0＝a+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴B（3，0）的对称点是（1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为是x ＝1，x ＝3；
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝3；
1 2
（3）抛物线与x轴的交点为（1，0）和（3，0），
观察函数图象，当y＞0时，x的取值范围为1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
19．（8分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E
恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，
（1）求证：AB＝BH；
（2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长．【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEC＝∠BCH，再根据“AAS”可得△EDC≌△CHB，进而可
得结论；
（2）根据（1）可证明△OHB≌△OCG，勾股定理可得CH长为12，则OH＝6，再用勾股定理求
出OB，即可求出BG．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCH，
∵∠D＝90°，BH⊥AC，
∴∠D＝∠BHC，
由旋转得，CE＝CB，
在△EDC和△CHB中，
{∠DEC=∠HCB
)
∠D=∠BHC ，
CE=CB
∴△EDC≌△CHB（AAS），
∴BH＝CD＝AB．
{∠OHB=∠OCG
)
（2）∵在△HBO和△CGO中， ∠HOB=∠COG ，
BH=CG
∴△HBO≌△CGO（AAS），
∴OH＝OC，OB＝OG，
在Rt△BCH中，BH＝5，BC＝13，
由勾股定理得：CH=❑√132−52=12，
1
∴OH= CH=6，
2
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB=❑√52+62=❑√61，
∴BG＝2OB＝2❑√61．20．（8分）如图，已知AB是 O的直径，点C是 O上一点，连结BC，AC，点D为^AC的中点，
连结OD交AC于点E．
⊙ ⊙
（1）求证：OD∥BC．
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC长．
【分析】（1）连接OC，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD，由等腰三角形的性质推
出OD⊥AC，由圆周角定理推出BC⊥AC，即可证明OD∥BC；
1
（2）设圆的半径是r，得到OE＝r﹣2，由垂径定理得AE= AC＝4，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）
2
2+42，求出r＝5，因此AB＝2r＝10，由勾股定理即可求出BC=❑√AB2−AC2=6．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵D是^AC中点，
∴∠AOD＝∠COD，
∵OA＝OC，
∴OD⊥AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：设圆的半径是r，
∵DE＝2，
∴OE＝r﹣2，∵OD⊥AC，
1 1
∴AE= AC= ×8＝4，
2 2
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
∴AB＝2r＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴BC=❑√AB2−AC2=6．
21．（10分）请用无刻度直尺按下列要求作图．
（1）如图，已知AB是 O的直径，四边形AODE是平行四边形，
①如图1，当点D在圆上时，作∠BAC的角平分线AM；
⊙
②如图2，当点D不在圆上时，作∠BAC的角平分线AM．
（2）如图3，矩形ABCD内接于 O．点E是CD边的中点，作∠ABD的角平分线BM．（点M均
在 O上）
⊙
⊙
【分析】（1）①由四边形AODE是平行四边形，结合圆的半径相等，可知四边形AODE是菱形，
利用菱形的性质即可做出∠BAC的平分线；
②延长OD交于圆一点M，连接该点与点A，由此即可作出∠BAC的平分线；
（2）连接AE交BD于点H，连接CH交AD于点G，连接OG交 O于点M，连接BM，则BM为
求．
⊙
【解答】解：（1）①如图1：AD即为所求．∵四边形AODE是平行四边形，点D在圆上，
∴OD＝OA，
∴四边形AODE是菱形，
∴AD平分∠BAC；
②如图2：延长OD交于圆一点M，连接AM，同理可证AM 即为所求．
（2）连接AE交BD于点H，连接CH交AD于点G，连接OG交 O于点M，连接BM，
⊙
则BM平分∠ABD．
22．（10分）我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产
品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需
要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润
减少），设每天安排x人生产乙产品．
（1）求每天生产甲产品可获得的利润y （元）和乙产品可获得的利润y （元）与x之间的函数关
1 2
系式；
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多1250元，求x的值；
（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为W（元），求W的最大值和相应的x的值．
【分析】（1）根据某种产品每天的利润＝每件的利润×每天生产的数量，分别写出y 和y 关于x的
1 2函数关系式即可；
（2）令y ﹣y ＝1250，将对应函数关系式代入，得到关于x的一元二次方程，求解即可；
1 2
（3）令W＝y +y ，将对应函数关系式代入，得到关于x的一元二次函数，求该函数的最大值及对
1 2
应x的值．
【解答】解：（1）由题意可知：每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产甲产品2（65﹣x）
件，每件甲产品的利润为15元；
每天安排x人生产乙产品，每天可生产乙产品x件，每件乙产品的利润为（120﹣2x）元．
∴y ＝15×2（65﹣x）＝﹣30x+1950，
1
y ＝（120﹣2x）x＝﹣2x2+120x．
2
（2）根据题意，得y ﹣y ＝1250，即﹣30x+1950﹣（﹣2x2+120x）＝1250，整理得x2﹣75x+350＝
1 2
0，解得x＝5或70（不符合题意，舍去），
∴若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多1250元，x的值为5．
45 5925
（3）W＝y +y ＝﹣30x+1950﹣2x2+120x＝﹣2（x− ）2+ ，
1 2 2 2
1 5925
∴当x＝22或23时，W取最大值，最大值为W＝﹣2× + =2962．
4 2
∴W的最大值为2962，此时x＝22或23时．
23．（12分）如图，△ABC中∠B＝∠C＝ ，（0°＜ ＜45°），M为BC的中点，D为线段CM上一动
点（DM≤CD），将线段DM绕D点顺时针旋转2 得到线段DE，点F是线段BM上一点且DF＝
α α
DC，连接AE，EF．
α
（1）小亮为了研究∠AEF的度数，将图1中的点D移至到CM的中点处，使点F与点M重合，如
图2，请直接写出∠AEF的度数；
（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若 ＝30°，AB=2❑√3，延长AE交BC于点G，若BF＝2CG，请直接写出FG的长．
α
【分析】（1）由D为CM中点，将线段DM绕D点顺时针旋转2 得到线段DE，可得CD＝DM＝
DE，有∠C＝∠DEC，∠DFE＝∠DEF，即可得∠AEF＝90°；
α
（2）连接AF，AM，延长FE到H，使FE＝EH，连接CH，AH，根据三角形中位线定理可得
DE∥CH，CH＝2DE，由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2 ，即知∠FCH＝2 ，故∠B＝
∠ACH＝ ，设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2DE＝2m，CM＝m+n，可证CH＝BF，得
α α
α△ABF≌△ACH（SAS），即有AF＝AH，从而∠AEF＝90°；
（3）连接AF，AM，EM，延长FE到H，使FE＝EH，连接CH，AH，过E作EN⊥BC于N，由
（2）知，△ABF≌△ACH，CH＝2DE，∠AEF＝90°，故BF＝CH，由BF＝2CG，即得DE＝CG，
根据线段DM绕D点顺时针旋转2 得到线段DE， ＝30°，得△DEM是等边三角形，从而可证
△EFM≌△EGD（SAS），有EF＝EG，FM＝DG，故△EFG是等腰直角三角形，又EN⊥BC，知
α α
△ENG是等腰直角三角形；设DN＝MN＝x，在Rt△DEN中，DE＝2DN＝2x，EN=❑√3DN=❑√3x，
在Rt△GEN中，NG＝EN=❑√3x，即得CG＝DE＝2x，DG＝NG﹣DN=❑√3x﹣x＝FM，而BF＝2CG
3−❑√3
＝4x，求出BM＝3，即得4x+❑√3x﹣x＝3，解得x= ，即可得FG＝2EN＝3❑√3−3．
2
【解答】解：（1）∵D为CM中点，
∴CD＝DM，
∵将线段DM绕D点顺时针旋转2 得到线段DE，
∴DM＝DE，
α
∴CD＝DM＝DE，
∵DF＝DC，
∴DF＝CD＝DE，
∴∠C＝∠DEC，∠DFE＝∠DEF，
∵∠C+∠DEC+∠DFE+∠DEF＝180°，
∴2（∠DEC+∠DEF）＝180°，
∴∠DEC+∠DEF＝90°，即∠AEF＝90°；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
连接AF，AM，延长FE到H，使FE＝EH，连接CH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2 ，
∴∠FCH＝2 ，
α
∵∠B＝∠C＝ ，
α
∴∠ACH＝ ，△ABC是等腰三角形，
α
α∴∠B＝∠ACH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2DE＝2m，CM＝m+n，
∵DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
{
AB=AC
)
∠B=∠ACH ，
BF=CH
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°；
（3）连接AF，AM，EM，延长FE到H，使FE＝EH，连接CH，AH，过E作EN⊥BC于N，如
图：
由（2）知，△ABF≌△ACH，CH＝2DE，∠AEF＝90°，
∴BF＝CH，
∵BF＝2CG，
∴DE＝CG，
∵线段DM绕D点顺时针旋转2 得到线段DE， ＝30°，
∴∠MDE＝60°，DM＝DE，
α α
∴△DEM是等边三角形，
∴DE＝EM，∠EDG＝∠EMF＝120°，
∵DF＝DC，DM＝DE＝CG，
∴DF﹣DM＝DC﹣CG，即FN＝DG，
∴△EFM≌△EGD（SAS），
∴EF＝EG，FM＝DG，
∴△EFG是等腰直角三角形，∵EN⊥BC，
∴△ENG是等腰直角三角形；
设DN＝MN＝x，
在Rt△DEN中，DE＝2DN＝2x，EN=❑√3DN=❑√3x，
在Rt△GEN中，NG＝EN=❑√3x，
∴CG＝DE＝2x，DG＝NG﹣DN=❑√3x﹣x＝FM，
∴BF＝2CG＝4x，
∵∠B＝ ＝30°，
1 1
∴AM= α AB= ×2❑√3=❑√3，BM=❑√3AM＝3，
2 2
∵BF+FM＝BM，
∴4x+❑√3x﹣x＝3，
3−❑√3
解得x= ，
2
3❑√3−3
∴EN=❑√3x= ，
2
∴FG＝2EN＝3❑√3−3．
1 1
24．（12分）已知过点D（0，﹣2）的直线AD：y= x−2与抛物线G ：y=− x2+bx+c的图象
2 1 4
交于点A，B，点A在x轴上，抛物线与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线G 的解析式；
1
（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作y轴的平行线，交直线AB于点
H，交x轴于点E．当∠BAC＝2∠PDH时，求m的值；
（3）将抛物线G 平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线G ，过点Q（﹣2，﹣3）的直线交抛
1 2
物线G 于T、N两点，过点F（﹣6，﹣3）的直线交抛物线G 于T、M两点．求证：直线MN过定
2 2
点，并求出定点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①如图，当∠PDH＝∠BAO时，PD∥x轴，即可求解；②如图，当∠PDH＝∠BAO时，得
到AF＝DF，即可求解；
−m2+12
（3）求出直线TM可表示为：y= （x+6）﹣3，得到M的坐标为（﹣6t，9t2），同理可
4m+24
2 1
得：N的坐标为（− ，− ），即可求解．
t t2
1
【解答】（1）解：令y＝0，则 x﹣2＝0，
2
解得x＝4，
∴A（4，0），
1
把A（4，0），C（0，2）代入y=− x2+bx+c得：
4
{ − 1 ×16+4b+c=0)
4 ，
c=2
{ b= 1 )
解得： 2 ，
c=2
1 1
∴抛物线G 的解析式为y=− x2+ x+2；
1 4 2
1
（2）解：∵直线ADy= x−2与y轴交于点D，
2
∴D（0，﹣2），
∵C（0，2），
∴OC＝OD，
∴C，D两点关于x轴对称，
∴∠CAO＝∠BAO，
∴∠CAB＝2∠CAO＝2∠BAO，
∵∠BAC＝2∠PDH，
∴∠PDH＝∠CAO＝∠BAO，
①如图，当∠PDH＝∠BAO时，PD∥x轴，∴P（m，﹣2），
1 1
由− m2+ m+2＝﹣2，
4 2
解得m＝1±❑√17；
②如图，当∠PDH＝∠BAO时，
设PD交x轴于F，
∵∠PDH＝∠BAO，
∴AF＝DF，
设OF＝n，则AF＝DF＝4﹣n，
在Rt△ODF中，OD2+OF2＝DF2，
∴22+n2＝（4﹣n）2，
3
解得n= ，
2
3
∴F（ ，0），
2
设直线DF的解析式为y＝ax+t，
{3
a+t=0)
把D，F坐标代入解析式得： 2 ，
t=−2{ a= 4 )
解得 3 ，
t=−2
4
∴直线DF的解析式为y= x﹣2，
3
1 1
将P（m，− m2+ m+2）代入直线DF得，
4 2
1 1 4
− m2+ m+2 = m﹣2，
4 2 3
8
解得m＝﹣6或m= ．
3
8
综上所述，m的值为1+❑√17或1−❑√17或﹣6或 ；
3
1
（3）证明：由题意得，抛物线的表达式为：y=− x2，
4
1
设T的坐标为：（m，− m2），
4
−m2+12
则直线TM可表示为：y= （x+6）﹣3，
4m+24
将上式和和抛物线联立得：（m+6）x2﹣（m2﹣12）x﹣（6m2﹣+12m），
6m+12
解得：x＝m或− ，
m+6
m+2
设：t= ，
m+6
则M的坐标为（﹣6t，9t2）；
2 1
同理可得：N的坐标为（− ，− ）；
t t2
3t2+1
∴直线MN可表示为：y= +3，
2t
当x＝0，y＝3，
∴直线QP过定点（0，3）．
