文档内容
第 23 章 旋转 章节整合练习（11 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到
不同的图案．
知识点2．利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
知识点3．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做
旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够
重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
知识点4．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
知识点5．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋
转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．知识点6．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
知识点7．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心
对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自
身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
知识点8．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，
﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对
称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
知识点9．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形⇒的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊
角度如：30°，45°，60°，90°，180°．知识点10．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的
边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不
同，位置就不同，但得到的图形全等．
知识点11．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．
通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
章节题型整合练习
一．利用轴对称设计图案
1．（2024•邯郸二模）边长相等的两个正五边形无重叠，无缝隙拼在一起得到了图，对图有以下两种说法：
①是轴对称图形
②是中心对称图形
对于这两种说法，其中
A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②均对 D．①、②圴不对
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：题图，既是轴对称图形又是中心对称图形，①、②的说法均对．
故选： ．
【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（2024春•启东市期末）图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用 个这
样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度 与图形个数 之间的关系式为 ．
【分析】观察图形可得用 个这样的图形拼出来的图形总长度为： ，根据规律即可求解．
【解答】解：观察图形可知：
当两个图拼接时，总长度为： ；
当三个图拼接时，总长度为： ；
以此类推，可知：用 个这样的图形拼出来的图形总长度为： ，
与 的关系式为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出 与 的关系式是解题的关键．
3．（2024秋•秦淮区校级月考）把一个大正方形分成 9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格画上斜
线，使画斜线的部分成为一个轴对称图形，请用3种不同的画法表示．
【分析】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到
不同的图案．
【解答】解：如图：
给图中的一个白色小方格划上斜线，使划伤斜线的部分成为一个轴对称图形，共有3种不同的涂法．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是
否完全重合．
二．利用平移设计图案
4．（2024春•平阴县期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ，形
成一个“方胜”图案，则点 ， 之间的距离为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出 ，根据平移的概念求出 ，计算即可．
【解答】解： 四边形 为边长为 的正方形，
，
由平移的性质可知， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出 是解题
的关键．
5．（2020春•澄迈县期末）如图是由六个大小一样的等边三角形拼成的图形，能由标号为 1的三角形平移
而得到的是第 3 、 5 号三角形（填写序号即可）．
【分析】直接利用平移的性质进而得出符合题意的图形．
【解答】解：如图所示：能由标号为1的三角形平移而得到的是第3、5号三角形．
故答案为：3、5．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的性质是解题关键．
6．如图，方格中有一条可爱的小狗．
（1）若方格的边长为1，则小狗的面积为 1 5 ．（2）画出小狗向右平移9格后的图形（不要求写作图步骤和过程）．
【分析】（1）求小狗的面积运用拼割法正确数出正方形的格数即可．
（2）将各点向右平移9个单位，然后连接即可；
【解答】解：（1）根据小狗的组成利用拼割法正确数出正方形的格数即可：
；
故答案为：15．
（2）如图所示：
【点评】本题考查了图形面积求法以及平移作图的知识，难度不大，关键是掌握几种几何变换的特点得出
各点变换后的对称点，然后顺次连接．
三．生活中的旋转现象
7．（2023秋•广阳区期末）李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚
好旋转了 ，那么李明回家的时间是
A．9点整 B．9点半 C．10点整 D．10点半
【分析】根据时针每小时旋转 可得求得李明出门锻炼所用的时间，然后再加上出门时的时刻即可求解．
【解答】解：由于时针旋转一周 是12小时，则每小时旋转 ，
当旋转 时，李明回家的时间是： （点整），
故选： ．【点评】本题考查了时针的旋转问题，解题的关键在于懂得经过的时间与旋转度数之间的关系．
8．（2024•河北模拟）若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转定义解答即可．
【解答】解：使车轮能平稳行驶，需使正方形的中心都在一个平面内，才能使自行车平稳行驶．
故选： ．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，掌握车轮能平稳行驶，需使正方形的中心都在一个平面内是解题
的关键．
9．（2023秋•香洲区校级期中）下列现象中属于旋转的有 ②④⑤ ．（填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【分析】旋转变化就是把一个图形绕着某点旋转一定的角度，得到另一个图形；平移变化，就是把一个图
形沿着一定方向移动一定距离，据此解答即可．
【解答】解：①火车在笔直行驶，属于平移现象；
②荡秋千运动，属于旋转现象；
③地下水位下降，属于平移现象；
④钟摆的运动，属于旋转现象；
⑤圆规画圆，属于旋转现象．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，熟练区分平移现象和旋转现象是关键．
10．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，
单摆上小木球会从位置 运动到位置 ．
（1）上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
（2）运动有何共同点？
【分析】（1）根据几种运动的路线分析得出答案；
（2）利用运动方式可得出是旋转．【解答】解：（1）上述几种运动是做曲线运动；
（2）运动共同点是属于旋转．
【点评】此题主要考查了生活中的旋转，根据题意得出运动路线是解题关键．
四．旋转的性质
11．（2024 秋•思明区校级月考）如图，将等腰△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出角 的度数，再根据旋转的性质得出角 的度数即可求解．
【解答】解： ，△ 是等腰三角形，
，
将△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
12．（2024秋•天心区校级月考）如图，在△ 中， ，将△ 在平面内绕点 逆时针旋
转到△ 的位置，使 ，则旋转角为 4 8 度．
【 分 析 】 根 据 平 行 线 的 性 质 和 旋 转 的 性 质 求 出 ， ， 求 出
，根据三角形内角和求出 即可．
【解答】解： ， ，
，
将△ 在平面内绕点 旋转到△ 的位置，，
，
．
旋转角的度数是 ，
故答案为：48．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性
质进行推理是解此题的关键．
13．（2024秋•西城区校级月考）如图，正方形 是由正方形 旋转而成的，点 在 上．
（1）直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角；
（2）若正方形的边长是1，直接写出 的长．
【分析】（1）结合旋转的性质以及正方形的性质可得，旋转中心为点 ，旋转方向是逆时针方向，旋转
角为 ．
（2）由题意得， ， ， ，利用勾股定理求出 的长，再根据
可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，旋转中心为点 ，旋转方向是逆时针方向，旋转角为 ．
（2）由题意得， ， ， ，
，
．
【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2024 秋•越秀区校级月考）如图，在平面内，△ 绕点 逆时针旋转 后得△ ，
，连接 ．求证：△ △ ．
【分析】由旋转的性质得 ， ，求出 ，然后根据即可证明△ △ ．
【解答】证明： 由旋转可得△ △ ，
． ，
旋转角为 ，
．
，
，
，
，
．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，解答本题的关键是旋绕掌握旋转的性质．
五．旋转对称图形
15．（2024•民勤县三模）如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的
角度后能与自身重合，那么这个角度至少为
A． B． C． D．
【分析】根据图形的对称性，用 除以3计算即可得解．
【解答】解： ，
旋转的角度是 的整数倍，
旋转的角度至少是 ．
故选： ．【点评】本题考查利用旋转设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．（2024•青羊区模拟）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转 7 2 度后
能与原图案重合．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解： ，
该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：72．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
17．（2023秋•曲靖期末）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的
角度至少是 ．
【分析】根据菱形是中心对称图形解答．
【解答】解： 菱形是中心对称图形，
把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为 的整数倍，
旋转角至少是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：这个图形的旋转中心为圆心；
，该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
六．中心对称
19．（2024秋•越秀区校级月考）如图，△ 与△ 关于点 成中心对称，若点 的坐标为
，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称的性质， 为 ， 的中点，即可求解．
【解答】解： △ 与△ 关于点 成中心对称，点 的坐标为 ，
设 ，
依题意， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了中心对称的性质，关键是根据中心对称的性质解答．
20．（2024•秦都区校级模拟）如图，点 是菱形 的对称中心，连接 、 ， ， ，
为过点 的一条直线，点 、 分别在 、 上，则图中阴影部分的面积为A．24 B．16 C．18 D．12
【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形 的面积，因为阴影部分的面积 四边形 的面积
，求得三角形 的面积，可得阴影部分的面积．
【解答】解：连接 、 ，
，
点 是菱形 的对称中心，
， 是 与 的交点，
， ，
， ，
为过点 的一条直线，
四边形 的面积 四边形 的面积 菱形 的面积，
菱形 的面积 ，
四边形 的面积 ，
阴影部分的面积 四边形 的面积 ， ，
阴影部分的面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．
21．（2024•姜堰区二模）如图，在 的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△ 与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△ 有 2 个．
【分析】依据中心对称的性质，即可得到与 成中心对称的格点三角形 ．
【解答】解：如图所示：
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了中心对称，根据中心对称的性质找到对应点，顺次连接得出图形是解题关键．
22．（2024•秦都区校级模拟）如图，点 ， 在正方形 的边 ， 上，请用尺规作图法，在
， 上分别取点 ， ，使得 且平分正方形 的面积．（保留作图痕迹，不写作
法）
【分析】根据平分正方形面积的直线经过正方形的中心，再过此中心作 的垂线即可解决问题．
【解答】解：因为平分正方形面积的直线经过正方形的中心，
连接 和 相交于点 ，过点 作 的垂线，分别交 和 于点 和 ，如图所示， 即为所求出的直线．
【点评】本题考查中心对称及正方形的性质，熟知平分正方形面积的直线经过正方形的中心是解题的关键．
七．中心对称图形
23．（2024秋•思明区校级月考）下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解： ．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、
正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等是解题的关键．
24．（2024秋•诸暨市校级月考）将数字“6”旋转 ，得到数字“9”，将数字“9”旋转 ，得到
数字“6”，现将数字“609”整体旋转 ，得到的数字是 60 9 ．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：将数字“609”整体旋转 ，得到的数字是609．故答案为：609．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
25．（2024春•罗湖区校级期末）在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有 3 个．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180度，旋转后的
图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】解：圆、正六边形、正八边形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
所以是中心对称图形，
所以属于中心对称图形的有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重
合．
26．（2023秋•绥阳县期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图甲中的三个网格
中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 中心对称图形 对称图形，都不是 对称图形．
（2）请在图乙中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图甲中所给出的图案
相同．
【分析】（1）观察图甲中三个图形的阴影部分，利用中心对称图形和轴对称图形的概念即可解答；
（2）根据中心对称的性质设计图案即可，此外还需满足阴影部分的面积为4．
【解答】解：（1）结合中心对称图形以及轴对称图形的概念，可得图甲中的三个网格中阴影部分构成的
图案，都是中心对称图形，都不是轴对称图形．
故答案为：中心对称图形，轴对称图形；
（2）设计出的图形，如图中的阴影部分所示（答案不唯一）．
每个小正方形的边长为1，
图乙中阴影部分的面积为 ．【点评】本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
八．关于原点对称的点的坐标
27．（2023秋•昭通期末）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标是
A． B． C． D．
【分析】平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．
【解答】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对
称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
28．（2023秋•合川区期末）若点 与 关于原点对称，则 的值为
A．1 B． C．5 D．
【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出 ， 的值，
进而得出答案．
【解答】解： 点 与 关于原点对称，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相
反，即点 关于原点 的对称点是 ．29．（2024秋•思明区校级月考）在平面直角坐标系中，点 关于原点中心对称的点的坐标是
．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点 关于原点中心对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即
点 关于原点 的对称点是 是解题的关键．
30．（2023秋•北林区校级期末）如图，在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶
点都是格点的三角形叫做格点三角形．已知格点 与点 关于 轴对称，点 与点 关于原点对称．
（1）写出点 的坐标，点 的坐标，并在图中描出点 、 ；
（2）求 的面积；
（3）平面内有一格点 ，若格点 与 全等，写出所有点 的坐标．
【分析】（1）根据轴对称、中心对称的点坐标特征进行判断即可；
（2）根据三角形的面积的计算方法进行计算即可；
（3）根据对称和全等三角形的判定方法进行判断即可．
【解答】解：（1） 点 与点 关于 轴对称，点 的坐标为 ，
又 点 与点 关于原点对称，
点 的坐标为 ，
在平面直角坐标系中描出的点如图所示：
（2） ，
答： 的面积为4；
（3）点 的坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题考查关于 轴、 轴对称的点坐标的特征，关于原点对称的点坐标的特征以及全等三角形的
判定，掌握关于 轴、 轴对称的点坐标的特征，关于原点对称的点坐标的特征以及全等三角形的判定方
法是正确解答的前提．
九．坐标与图形变化-旋转
31．（2023秋•福州期末）将点 绕原点逆时针旋转 得到的点的坐标是
A． B． C． D．
【分析】根据将点 绕原点逆时针旋转 得到的点的坐标是 ，即可得将点 绕原点逆时针
旋转 得到的点的坐标是 ．
【解答】解：根据将点 绕原点逆时针旋转 得到的点的坐标是 ，
得将点 绕原点逆时针旋转 得到的点的坐标是 ．故选： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．
32．（2024秋•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，点 先向右平移4个单位，再向上平移2
个单位，得到 点，再把 点绕 点旋转 得到 点，那么 点的坐标是 ．
【分析】设 ，由平移得 ，再利用旋转可得 ， ，求解即可得解．
【解答】解：设点 的坐标为 ，
点 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到 点，
，即 ，
把 点绕 点旋转 得到 点，
， ，
解得 ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查点的平移和中心对称的性质，掌握平移的特点和旋转的性质是解题的关键．
33．（2024秋•中山区校级月考）如图，点 ， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 与 轴交于点 ，求点 的坐标．（用含有 的式子表示）
【分析】过点 作 轴，垂足为点 ，证明△ △ ，得到 ， ，进
而得到点 的坐标，求出直线 的解析式，即可解答．【解答】解：过点 作 轴，垂足为点 ，
由旋转的性质得： ， ，
，
，
，
△ △ ，
， ，
， ， ，
， ，
，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
直线 与 轴交点坐标为 ，即 ．
【点评】本题考查坐标与图形，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，一次函数的解析式及一次函数与
坐标轴的交点问题，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
34．（2023•河东区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 是等边三角形，点 的坐标是
，点 在第一象限， 的平分线交 轴于点 ，把 绕着点 按逆时针方向旋转，使边
与 重合，得到 ，连接 ．
求： 的长及点 的坐标．
【分析】根据等边三角形的每一个角都是 可得 ，然后根据对应边的夹角 为旋转角求
出 ，再判断出 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 ，根据，
的平分线交 轴于点 ， ，利用三角函数求出 ，从而得到 ，再求出 ，
然后写出点 的坐标即可．
【解答】解： 是等边三角形，
，
绕着点 按逆时针方向旋转边 与 重合，
旋转角 ， ，
是等边三角形，
， ，
的坐标是 ， 的平分线交 轴于点 ，
， ，
，
， ，
，点 的坐标为 ， ．
【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性
质并判断出 是等边三角形是解题的关键．
一十．作图-旋转变换
35．（2021•海南模拟）如图，正方形 的边长为1；将其绕顶点 按逆时针方向旋转一定角度到
的位置，使得点 落在对角线 上，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】依据 、 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：正方形 的边长为1，将其绕顶点 按逆时针方向旋转一定角度到 位置，使得点
落在对角线 上，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ，
故选： ．【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用 、 为等腰直角三角形求解
线段的长．
36．（2023秋•游仙区校级月考）如图所示，把一个直角三角尺 绕着 角的顶点 顺时针旋转，使
直角顶点 与 的延长线上的点 重合．给出以下结论：① ；② ；③ 是等腰
三角形；④ ；⑤ 、 、 可能不共线．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】依据旋转的性质以及等腰三角形的性质进行推算，即可得出正确的结论．
【解答】解：把一个直角三角尺 绕着 角的顶点 顺时针旋转，使直角顶点 与 的延长线上的
点 重合，
， ，
，故①正确；
由旋转可得， ，
，
，故③正确；
又 ，
，故②错误；
， ，
（三线合一），故④正确；
如图所示，连接 ，
， ，
是等边三角形，，
，
、 、 三点共线，故⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握旋转的性质：
旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
37．（2024秋•安宁市校级月考）如图，在所给的格点图形中．
（1）画出△ 向下平移4个单位后的△ ；
（2）画出△ 关于点 成中心对称的图形△ ；
（3）画出△ 绕点 顺时针旋转 后的△ ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求，（2）如图，△ 即为所求，
（3）如图，△ 即为所求，
【点评】本题考查作图 旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属
于中考常考题型．
一十一．利用旋转设计图案
38．（2024•河北三模）如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点 旋转可以和原图形重合，则旋转
角可以是A． B． C． D．
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【解答】解： 为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到 ，
所以旋转 后与原图形重合．
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，以圆心 为旋转中心，要使图形重合，就要
注意旋转角度，注意题目条件，避免误认是 的答案．
39．（2024•前郭县校级三模）将如图所示的图案绕其中心至少旋转 9 0 度后能与原图案完全重合．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转 ，旋转4次所组成，故最小旋转角为 ．
故答案为：90．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
40．（2024•榆社县模拟）同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在
的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对
称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对
称图形．
【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形是
轴对称图形．中心对称图形：是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心，根据定义即可求解．
【解答】解：如图，答案不唯一．
【点评】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的
关键．
