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19.1 二次根式及其性质（第 2 课时）
知识点1：二次根式的基本性质
1．计算(√3) 2的结果是（ ）
A．9 B．−9 C．3 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握(√a) 2=a(a≥0)是解题关键．
【详解】解：(√3) 2=3，
故选：C．
2．（2024年安徽）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a5=a6 B．a6÷a3=a2
C．(−a) 2=a2 D．√a2=a
【答案】C
【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法
则依次判断即可
【详解】解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、a6÷a3=a3，选项错误，不符合题意；
C、(−a) 2=a2，选项正确，符合题意；
D、当a≥0时，√a2=a，当a<0时，√a2=− a，选项错误，不符合题意；
故选：C
3．（2022年湖南郴州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a6÷a3=a2
C． D．
(a+b) 2=a2+b2 √(−5) 2=5
【答案】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则，完全平方公式以及二次根式的计算法则进行计算即可．
【详解】A.a3+a2不能合并，故A错误；
B.a6÷a3=a3，故B错误；
C.(a+b) 2=a2+2ab+b2，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司D.√(−5)2=5，故D正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则等知识．
掌握合并同类项、同底数幂的除法法则、完全平方公式以及二次根式的计算法则是解答本题的关键．
4．下列等式中正确的是（ ）
A． B．
−√(−6) 2=−6 (−√6) 2=36
C．√(−36) 2=±36 D．√ 16 1 =4 1
9 3
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用算术平方根的性质逐项计算
判断即可．
【详解】解： A： ，故等式成立．
−√(−6) 2=−|−6|=−6
B：∵(−√6) 2=6，故错误．
C：∵ ，故错误．
√(−36) 2=36
D：∵√ 16 1 = √145 = √145 ，故错误．
9 9 3
故选：A．
5．计算： ．
√(−2) 2+(√5) 2=
【答案】7
【分析】该题考查了二次根式的性质和算术平方根，先计算平方根和平方，再求和．
【详解】解： ， ，
√(−2) 2=√4=2 (√5) 2=5
所以2+5=7．
故答案为：7．
6．（2023年四川凉山州）计算 ．
(π−3.14)0+√(√2−1) 2=
【答案】√2
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
(π−3.14)0+√(√2−1) 2
=1+√2−1
=√2．
故答案为：√2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1
是解题的关键．
7．（2024年四川乐山）已知 ，化简 的结果为（ ）
10, x−2<0，
∴|x−1|+|x−2|=x− 1+2x−=1，
∴ ，
√(x−1) 2+|x−2|=1
故选：B．
8．化简：
2
(1)(√2) 2； (2)√0.042； (3)√0.64； (4) ( 2 √7) ；
8
(5)(√9) 2； (6) √ ( 8 ) 2 ； (7)√121； (8) (√4 ) 2 ．
17 25
【详解】（1）解：(√2) 2=2；
（2）解：√0.042=|0.04|=0.04；
（3）解：√0.64=0.8；
2 2
（4）解： ( 2 √7) =22× (√7) =22× 7 = 7 ．
8 8 8 2
（5）解：(√9) 2=9；
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学科网（北京）股份有限公司√ 8 2 8
（6）解： ( ) = ；
17 17
（7）解：√121=√112=11；
2
(√4 ) 4
（8）解： = ．
25 25
知识点2：数轴背景下二次根式的化简
9．如图，正方形ABCD，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，
则点E所表示的数为√7+1，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．√7 B．7 C．8−2√7 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=√7．根据题意得出
AB=AE=√7，得出正方形ABCD的面积为(√7)2=7．
【详解】解：∵顶点A在数轴上表示的数为1，AB=AE，点E所表示的数为√7+1，
∴AB=AE=√7，
∴正方形ABCD的面积为(√7)2=7，
故选：B．
10．已知实数 在数轴上的对应点位置如图，则化简 的结果是 ．
a (√a−1) 2 −√(a−2) 2
【答案】2a−3/−3+2a
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，
解题关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质．由数轴知0<10，
∴ ．
(√a−1) 2 −√(a−2) 2=(a−1)+( a−2)=2 a−3
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2a−3．
11．（2024年内蒙古）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则√(a−b)2 −(b−a−2)的化简结果是
（ ）
A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得−30，x−2<0，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】解：原式=√(x−1)2 −√(x−2)2，
∵10，x−2<0，
∴原式=x− 1− (2x−)
=x−1+x−2
=2x−3．
故答案为：2x−3．
14．化简：
2
(1) 4 √ ( 3 ) 2； (2) (10√1.69) 2 ； (3)[√ ( 2 ) 2] ．
16 3
√ 3 2
【详解】（1）解：4 ( )
16
3
=4×
16
3
= ；
4
（2）解：(10√1.69) 2
=102×(√1.69) 2
=100×1.69
=169；
2
（3）解：[√
(
2
)
2]
3
2 2
=( )
3
4
= ．
9
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学科网（北京）股份有限公司15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：√1×3+1=√4=2；
第②个等式：√2×4+1=√9=3；
第③个等式：√3×5+1=√16=4；
第④个等式：√4×6+1=√25=5：
(1)计算：√5×7+1=_____；√16×18+1=_____；
(2)若√n(n+2)+1=20，则正整数n=_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
√1×3+1−√3×5+1+√5×7+1−√7×9+1+⋯+√17×19+1−√19×21+1．
【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键．
（1）根据规律运算即可；
（2）根据规律运算即可；
（3）根据规律运算即可．
【详解】（1）解：√5×7+1=√36=6，√16×18+1=√289=17，
故答案为：6，17；
（2）∵ ， ，
√n(n+2)+1=√(n+1) 2=20 n>0
∴n+1=20，
∴n=19，
故答案为：19；
（3）√1×3+1−√3×5+1+√5×7+1−√7×9+1+⋯+√17×19+1−√19×21+1
解：原式=2− 4+6− 8+⋯+18−20
=−2×5
=−10．
16．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分）
化简：(√1−3x)2 −|1− x|．
1
解：隐含条件1−3x≥0，解得x≤ ．
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学科网（北京）股份有限公司所以1− x>0．
所以原式=(1−3 x)− (1x−)=1−3 x−1+x=−2x．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：√x2 −8x+16−(√3− x)2．
【类比迁移】（2）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简√b2+√(a−b)2 −|b−a|．
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝
对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出x的取值范围，再根据范围进行开方和绝对
值的化简即可解答．
（2）由数轴得出b、a−b、b−a的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
【详解】（1）∵3− x≥0，
∴x≤3，
∴x−4<0，
∴原式=√(x−4)2 − (3−x)，
=−(x− 4)−x，3+
=− x+4−3+ x，
=1．
（2）∵实数a,b在数轴上的位置如图所示，
∴b<0，a−b>0，b−a<0
∴原式=− b+(a−b)− [−(b−a)]，
=− b+a−b+b−a，
=− b．
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