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八上数学期末复习计算题组训练（20 天计划 120 道）
【人教版】
【计算题组训练1】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
1．（2023秋•掇刀区校级期末）（1）计算：（a﹣b）2﹣（4ab3﹣8a2b2）÷4ab；
1 1 6−x
（2）解方程： = − ．
2−x x−2 3x2−12
【分析】（1）根据完全平方公式，多项式除以单项式计算各项，再去括号合并同类项即可；
（2）先整理方程，再按照解分式方程的过程进行求解即可．
【解答】解：（1）（a﹣b）2﹣（4 a b3﹣8 a2b2）÷4 a b
＝a2﹣2ab+b2﹣（b2﹣2ab）
＝a2﹣2ab+b2﹣b2+2ab
＝a2；
1 1 6−x
（2） = − ，
2−x x−2 3x2−12
1 1 6−x
整理得：− = − ，
x−2 x−2 3(x−2)(x+2)
6−x 2
移项得： = ，
3(x−2)(x+2) x−2
去分母得：6﹣x＝2×3（x+2），
去括号得：6﹣x＝6x+12，
移项合并同类项得：7x＝﹣6，
6
系数化为1得：x=− ．
7
6
经检验：x=− 是原方程的根，
7
6
∴原方程的解为x=− ．
7
2．（2023秋•十堰期末）（1）已知5x＝3，5y＝2，试求53x﹣4y的值；
（2）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）由5x＝3，5y＝2可得53x＝27，54y＝16，根据同底数幂的书法计算即可；
（2））将（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4展开后得x2+2xy+y2＝12，x2﹣2xy+y2＝4，则x2+y2＝8，3xy＝6，
代入即可．
【解答】解：（1）∵5x＝3，5y＝2，
∴（5x）3＝33＝27，（5y）4＝24＝16，
∴53x＝27，54y＝16，
27
∴53x﹣4y＝53x÷54y= ；
16
（2）∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝12①，x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①+②得：2x2+2y2＝16，即x2+y2＝8，
①﹣②得：4xy＝8，即3xy＝6，
∴x2+3xy+y2＝8+6＝14．
a−b a2−b2
3．（2023秋•广水市期末）（1）计算：1− ÷ ．
a+2b a2+4ab+4b2
4 x+2
（2）解方程： + =−1．
x2−1 1−x
【分析】（1）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分并利
用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
a−b (a+2b) 2 a+2b b
【解答】解：（1）原式＝1− • =1− =− ；
a+2b (a+b)(a−b) a+b a+b
（2）去分母得：4﹣（x+2）（x+1）＝1﹣x2，
整理得：3x＝1，
1
解得：x= ，
3
1
经检验x= 是分式方程的解．
3
4．（2023秋•洪山区期末）因式分解．
（1）x3﹣2x2y+xy2（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
【分析】（1）首先提公因式x，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）首先变号，然后再提公因式a﹣b，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a），
＝m2（a﹣b）﹣n2（a﹣b），
＝（a﹣b）（m2﹣n2），
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）．
5．（2023秋•黄冈期末）已知（3x﹣m）（x2+x+1）的展开式中不含x的二次项，a2+5b2+4（ab+b+1）＝
0，求：
（1）m的值；
（2）（a﹣b）m的值．
【分析】运用整式的混合运算确定m，a，b的值，并进行正确地计算、求解．
【解答】解：（1）∵（3x﹣m）（x2+x+1）
＝3x3+（3﹣m）x2+（3﹣m）x﹣m
由题意得3﹣m＝0，
解得m＝3，
即m的值为3；
（2）∵a2+5b2+4（ab+b+1）
＝（a2+4ab+4b2）+（b2+4b+4）
＝（a+2b）2+（b+2）2
＝0
∴a+2b＝0，b+2＝0，
解得a＝4，b＝﹣2，
∴（a﹣b）m
＝[4﹣（﹣2）]3
＝63
＝216．x+2 x−1 x−4
6．（2023 秋•武汉期末）先化简，再求值： ( − )÷ ，其中 x 是方程
x2−2x x2−4x+4 x
x−3 3
+1= 的解．
x−2 2−x
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
x+2 x−1 x−4
【解答】解：( − )÷
x2−2x x2−4x+4 x
x+2 x−1 x
＝[ − ]•
x(x−2) (x−2) 2 x−4
(x+2)(x−2) x(x−1) x
＝[ − ]•
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x x
= •
x(x−2) 2 x−4
x−4 x
=
•
x(x−2) 2 x−4
1
=
，
(x−2) 2
x−3 3
解方程 +1= ，
x−2 2−x
去分母得，x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的根，
1 1
= =
∴当x＝1时， 1．
(x−2) 2 (1−2) 2
【计算题组训练2】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
7．（2023秋•江汉区期末）（1）计算：3x2y•6x3y2÷（﹣3x2y）2；
（2）因式分解：ab2﹣a．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）先提公因式a，再利用平方差公式分解因式．
【解答】解：（1）3x2y•6x3y2÷（﹣3x2y）2；＝18x5y3÷9x4y2
＝2xy；
（2）ab2﹣a
＝a（b2﹣1）
＝a（b+1）（b﹣1）．
5 m−3
8．（2023秋•江汉区期末）（1）化简：(m+2− )÷ ；
m−2 2m−4
1 1−x
（2）解方程： = −4．
x−2 2−x
【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可；
（2）利用解分式方程的步骤解方程即可．
(m+2)(m−2)−5 2m−4
【解答】解：（1）原式= •
m−2 m−3
m2−9 2(m−2)
= •
m−2 m−3
(m+3)(m−3) 2(m−2)
= •
m−2 m−3
＝2m+6；
（2）原方程去分母得：1＝﹣（1﹣x）﹣4（x﹣2），
去括号得：1＝﹣1+x﹣4x+8，
移项，合并同类项得：3x＝6，
系数化为1得：x＝2，
检验：将x＝2代入（x﹣2）得2﹣2＝0，
则x＝2是分式方程的增根，
故原方程无解．
ax 4
9．（2023秋•汉阳区期末）关于x的方程 + =1．
x−2 2−x
（1）若a＝3，则解这个分式方程；
（2）若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
3x 4
【分析】（1）把a＝3代入方程得出 + =1，再方程两边都乘x﹣2得出3x﹣4＝x﹣2，求出方
x−2 2−x
程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都横x﹣2得出ax﹣4＝x﹣2，整理得出（a﹣1）x＝2，分为两种情况：①a﹣1＝0，②2
=2，再求出a即可．
a−1
ax 4 3x 4
【解答】解：（1）把a＝3代入方程 + =1，得 + =1，
x−2 2−x x−2 2−x
方程两边都乘x﹣2，得3x﹣4＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝1；
ax 4
（2） + =1，
x−2 2−x
方程两边都横x﹣2，得ax﹣4＝x﹣2，
整理得：（a﹣1）x＝2，
2
x= ，
a−1
①当a﹣1＝0时，分式方程无解，解得：a＝1，
②要使分式方程有增根（此时方程无解），x﹣2＝0，
即x＝2，
2
所以 = 2，
a−1
解得：a＝1，
所以当a＝1时，分式方程无解．
10．（2024春•仁寿县期末）分解因式：
（1）x2y﹣4y；
（2）（a﹣3b）（a﹣b）+b2．
【分析】（1）先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可．
（2）先将原式化为a2﹣4ab+4b2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝a2﹣4ab+4b2
＝（a﹣2b）2．
11．（2023秋•枣阳市期末）计算：
（1）x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）÷3x2y；1 1
（2）求（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）的值，其中x= ，y=− ．
3 2
【分析】（1）利用单项式乘多项式，多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把 x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可
解答．
【解答】解：（1）x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）÷3x2y
＝x3y2﹣x2y﹣（x2y﹣x3y2）÷3x2y
1 1
＝x3y2﹣x2y﹣（ − xy）
3 3
1 1
＝x3y2﹣x2y− + xy；
3 3
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
1 1 1 1 1 1 5 1
当x= ，y=− 时，原式＝12× ×（− ）+10×（− ）2＝﹣2+10× =−2+ = ．
3 2 3 2 2 4 2 2
12．（2023秋•孝南区期末）（1）计算：（a﹣2b）2+（12a2b2﹣3a3b）+3ab；
x−4 7
（2）先化简，再求值： ÷（x﹣3− ），其中x＝﹣1．
x+3 x+3
【分析】（1）展开整理按照a的降幂排列即可；
（2）将分式化简后代入x值计算即可．
【解答】解：（1）（a﹣2b）2+（12a2b2﹣3a3b）+3ab
＝a2﹣4ab+4b2+12a2b2﹣3a3b+3ab
＝a2﹣ab+4b2+12a2b2﹣3a3b
＝﹣3a3b+a2+12a2b2﹣ab+4b2
x−4 7
（2） ÷（x﹣3− ）
x+3 x+3
x−4 x2−32 7
= ÷( − )
x+3 x+3 x+3
x−4 x2−16
= ÷（ ）
x+3 x+3x−4 x+3
= ⋅
x+3 (x−4)(x+4)
1
= ，
x+4
1
当x＝﹣1时，原式= ．
3
【计算题组训练3】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
13．（2023秋•公安县期末）计算：
（1）（﹣x3）2•（﹣x﹣1y2）+8x7y3÷4x2y；
（2）[（2a﹣b）2+（2a﹣b）（2a+b）]÷4a．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）（﹣x3）2•（﹣x﹣1y2）+8x7y3÷4x2y
＝x6•（﹣x﹣1y2）+2x5y2
＝﹣x5y2+2x5y2
＝x5y2；
（2）[（2a﹣b）2+（2a﹣b）（2a+b）]÷4a
＝（4a2﹣4ab+b2+4a2﹣b2）÷4a
＝（8a2﹣4ab）÷4a
＝2a﹣b．
14．（2023秋•孝南区期末）（1）分解因式：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）；
2 x
（2）解方程： + =1．
x2−4 x−2
【分析】（1）将原式变形，提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（2）原方程去分母得：2+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
整理得：2+2x＝﹣4，解得：x＝﹣3，
检验：将x＝﹣3代入（x+2）（x﹣2）得﹣1×（﹣5）≠0，
故原方程的解为x＝﹣3．
15．（2023秋•大冶市期末）分解因式：
1
（1）a3b−a2b+ ab；
4
（2）a2（x+y）﹣4b2（x+y）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
1
【解答】解：（1）原式= ab（4a2﹣4a+1）
4
1
= ab（2a﹣1）2；
4
（2）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）
＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）．
16．（2023秋•大冶市期末）解分式方程：
2 3
（1） = ；
x+2 x
4 x+1
（2） − =−1．
x2−1 x−1
【分析】（1）方程两边都乘x（x+2）得出2x＝3（x+2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出4﹣（x+1）2＝﹣（x2﹣1），求出方程的解，再进行检验即
可．
2 3
【解答】解：（1） = ，
x+2 x
方程两边都乘x（x+2），得2x＝3（x+2），
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x（x+2）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣6；
4 x+1
（2） − =−1，
x2−1 x−1
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得4﹣（x+1）2＝﹣（x2﹣1），
解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
17．（2023秋•阳新县期末）（1）计算：（﹣2x2y）2•3xy÷（﹣6x2y）．
（2）利用整式乘法公式计算：3.52+7×1.5+1.52．
【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）根据完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣2x2y）2•3xy÷（﹣6x2y）
＝4x4y2•3xy÷（﹣6x2y）
＝[4×3÷（﹣6）]x4+1﹣2y2+1﹣1
＝﹣2x3y2；
（2）3.52+7×1.5+1.52
＝3.52+2×3.5×1.5+1.52
＝（3.5+1.5）2
＝52
＝25．
18．（2023秋•襄城区期末）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2．
A 1
（1）若 = ，求C的值；
B 5
2B+C
（2）在（1）的条件下，且 为整数，求整数x的值．
B
A 1
【分析】（1）把代数式A＝x+y，B＝x2﹣y2代入 = ，求出x﹣y的值，再整理化简C代数式，整体
B 5
代入即可求解；
2B+C 2B+C
（2）把代数式B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入 ，再根据 为整数即可求解．
B B
A 1
【解答】解：（1）∵将A＝x+y，B＝x2﹣y2代入 = 得：
B 5
x+ y 1
=
，
x2−y2 5
x+ y 1
=
∴ ，
(x+ y)(x−y) 51 1
∴ = ，
x−y 5
∴x﹣y＝5，
∴C＝x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝52
＝25；
2B+C
（2）将B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入 中得：
B
2B+C 2(x2−y2 )+x2−2xy+ y2
=
B x2−y2
(x−y)(2x+2y+x−y)
=
(x−y)(x+ y)
3x+ y
=
x+ y
x+ y+2x
=
x+ y
2x
＝1+ ，
x+ y
∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
2x
∴原式＝1+
2x−5
2x−5+5
＝1+
2x−5
5
＝1+1+ ，
2x−5
2B+C
∵ 为整数，
B
5
∴ 也是整数，
2x−5
∴①2x﹣5＝﹣5，则x＝0，
②2x﹣5＝﹣1，则x＝2，
③2x﹣5＝1，则x＝3，④2x﹣5＝5，则x＝5，
∴整数x的值为：0或2或3或5．
【计算题组训练4】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
19．（2023秋•广水市期末）因式分解：
（1）12xyz﹣9x2y2
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36．
【分析】（1）直接提取公因式3xy，进而分解因式得出即可；
（2）把（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）12xyz﹣9x2y2＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36＝（a+b﹣6）2．
1
20．（2023秋•广水市期末）已知2x+y＝4，求代数式[（x+y）2﹣（x﹣y）2﹣2y（x− y）]÷4y的值．
2
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把2x+y＝4代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[x2+y2+2xy﹣x2﹣y2+2xy﹣2xy+y2]÷4y
＝（2xy+y2）÷4y
1
= （2x+y）
4
1
= ×4
4
＝1．
21．（2023秋•武汉期末）计算：
x+1 1
（1） − +2；
x x
a+b b−a 1
（2） ⋅ ÷ ．
a−b a+b b−a
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，然后约分后进行有理数的加法运算；
（2）先把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
x+1−1
【解答】解：（1）原式= +2
x
＝1+2
＝3；a+b −(a−b)
（2）原式= • •[﹣（a﹣b）]
a−b a+b
＝a﹣b．
22．（2023春•商河县校级期末）解方程：
x 3
（1） =2− ；
2x−1 1−2x
x+1 4
（2） − = 1．
x−1 x2−1
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：（1）去分母得到：x＝4x﹣2+3，
1
解得：x=− ，
3
1
检验：把x=− 代入得：2x﹣1≠0，
3
1
∴x=− 是分式方程的解；
3
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
m2 m2−1
23．（2023秋•随县期末）先化简(1−m+ )÷ ，再从不等式﹣2＜m＜2中选择一个适当
m+1 m2+2m+1
的整数，代入求值．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从﹣2＜m＜2中选择一
个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
m2 m2−1
【解答】解：(1−m+ )÷
m+1 m2+2m+1(1−m)(m+1)+m2 (m+1) 2
= •
m+1 (m+1)(m−1)
1−m2+m2
=
m−1
1
= ，
m−1
∵﹣2＜m＜2且（m+1）（m﹣1）≠0，m为整数，
∴m＝0，
1
当m＝0时，原式= =−1．
0−1
m−1 2m
24．（2023秋•长乐区期末）已知：A= ，B= ．
2 1−m
（1）当m＞1时，比较A与B的大小关系；
2
（2）设y= +B．
A
①当y＝2时，求m的值；
②若m是整数，求y的负整数值．
m−1 2m
【分析】（1）首先得到A−B= − ，然后利用分式的运算法则即可求出答案；
2 1−m
（2）①根据题意列出分式方程即可求出m的值．
2
②首先得到y=−2+ ，然后根据m为整数，y是负整数，进而求解即可．
m−1
【解答】解：（1）当m＞1时，A≥B．理由：
由题意，得：
m−1 2m
A−B= −
2 1−m
(m−1) 2 4m
= +
2(m−1) 2(m−1)
(m+1) 2
= ，
2(m−1)
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，∴2（m﹣1）＞0，
又（m+1）2＞0，
(m+1) 2
∴ ＞0，
2(m−1)
∴A﹣B＞0，即A＞B；
2
（2）∵y= +B，
A
4 2m 4−2m
∴y= + = ，
m−1 1−m m−1
∵y＝2，
4−2m
∴ =2，
m−1
3
解得m= ，
2
3 1
检验：当m= 时，m−1= ≠0，
2 2
3
∴m= 是方程的解．
2
3
∴m的值为 ；
2
4−2m 2(m−1)−2 2
②y= =− =−2+ ，
m−1 m−1 m−1
∵m为整数，y是负整数，
∴m﹣1＝2或m﹣1＝﹣1或m﹣1＝﹣2，
∴y的负整数值为﹣1或﹣4或﹣3．
【计算题组训练5】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
25．（2023秋•东西湖区期末）计算：
（1）（2x+1）（x﹣3）；
（2）（6x4﹣8x3）÷2x2．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算；
（2）利用多项式除以单项式法则计算．【解答】解：（1）（2x+1）（x﹣3）
＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3；
（2）（6x4﹣8x3）÷2x2
＝6x4÷2x2﹣8x3÷2x2
＝3x2﹣4x．
26．（2023秋•公安县期末）分解因式：
（1）2a3+8a2b+8ab2；
（2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）2a3+8a2b+8ab2
＝2a（a2+4ab+4b2）
＝2a（a+2b）2；
（2）m2（n﹣3）+4（3﹣n）
＝（n﹣3）（m2﹣4）
＝（n﹣3）（m+2）（m﹣2）．
27．（2023秋•恩施市期末）解分式方程：
3 2
（1） − =0；
x x+2
2 2x−1
（2） + =2．
x−1 1−x
【分析】（1）去分母，解方程，检验得到方程的解；
（2）去分母，解方程，检验得到方程的解．
【解答】解：（1）去分母，得：3（x+2）﹣2x＝0，
解得：x＝﹣6，
经检验，x＝﹣6是原方程的根，
∴x＝﹣6；
（2）去分母，得：2﹣（2x﹣1）＝2（x﹣1），
5
解得：x= ，
45
经检验，x= 是原方程的根，
4
5
∴x= ．
4
8 x2−6x+9
28．（2023秋•赤坎区校级期末）化简( −x+1)÷ ，再从﹣1，1，3中选择一个合适的数
x+1 x+1
代入求值．
【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘
法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣1和3，取x＝1，最后代入求出答案即可．
8 x2−6x+9
【解答】解：( −x+1)÷
x+1 x+1
8−(x−1)(x+1) (x−3) 2
= ÷
x+1 x+1
−x2+9 x+1
= •
x+1 (x−3) 2
(x+3)(x−3) x+1
=− •
x+1 (x−3) 2
x+3
=− ，
x−3
要使分式有意义，x+1≠0且x﹣3≠0，
所以x不能为﹣1和3，
取x＝1，
1+3
所以原式=− = 2．
1−3
5 2m−4
29．（2023秋•监利市期末）（1）先化简，再求值：(m+2− )× ，其中m＝4．
m−2 m−3
x−1 m
（2）若分式方程 = 无解，求m的值．
x−5 10−2x
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可；
（2）先根据分式方程无解得出x的值，进而可得出结论．
5 2m−4
【解答】解：（1）(m+2− )×
m−2 m−3
m2−4−5 2(m−2)
= •
m−2 m−3(m+3)(m−3) 2(m−2)
= •
m−2 m−3
＝2（m+3），
当m＝4时，原式＝2×（4+3）＝14；
x−1 m
（2）∵分式方程 = 无解，
x−5 10−2x
∴x﹣5＝0，
解得x＝5，
∵10﹣2x＝﹣2（x﹣5），
∴m＝﹣2（x﹣1）＝﹣2×（5﹣1）＝﹣8．
30．（2023秋•阳新县期末）已知x+y＝3，xy＝2．
（1）求（7﹣x）（7﹣y）的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加，由此计算，然后整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形即可求值．
【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝2，
∴（7﹣x）（7﹣y）
＝49﹣7y﹣7x+xy
＝49﹣7（x+y）+xy
＝49﹣7×3+2
＝49﹣21+2
＝30；
（2））∵x+y＝3，xy＝2，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1．【计算题组训练6】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
31．（2023秋•监利市期末）计算：
（1）（a﹣2）（a+1）；
（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）先算乘方，再算除法，即可解答．
【解答】解：（1）（a﹣2）（a+1）
＝a2+a﹣2a﹣2
＝a2﹣a﹣2；
（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）
＝4a2b4÷（﹣4a2b）
＝﹣b3．
32．（2023秋•监利市期末）分解因式：
（1）9a3﹣ab2；
（2）（x+2y）2﹣8xy．
【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（9a2﹣b2）
＝a（3a+b）（3a﹣b）；
（2）原式＝x2+4xy+4y2﹣8xy
＝x2﹣4xy+4y2
＝（x﹣2y）2．
33．（2023秋•赤壁市期末）解方程：
x+3 x
（1） − =1；
x2−3x 3−x
x−1 x+1 4
（2） = + ．
x+1 x−1 x2−1
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解．
x+3 x
【解答】解：（1） − =1，
x2−3x 3−x
去分母得：x+3+x2＝x2﹣3x，
3
解得：x=− ，
4
3
检验：当x=− 时，x2﹣3x≠0，
4
3
∴x=− 是分式方程的解；
4
x−1 x+1 4
（2） = + ，
x+1 x−1 x2−1
去分母得：（x﹣1）2＝（x+1）2+4，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1是分式方程的增根，原分式方程无解．
34．（2023秋•赤壁市期末）用乘法公式计算下列各式：
（1）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）；
（2）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）；
（3）199×201；
（4）20232﹣4046×2024+20242．
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先变形，然后平方差公式和完全平方公式计算即可；
（3）先变形，然后根据平方差公式计算即可；
（4）先变形，然后根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）
＝4a2﹣1﹣4a2+3a
＝3a﹣1；
（2）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）
＝[m+（2n﹣3）][m﹣（2n﹣3）]
＝m2﹣（2n﹣3）2
＝m2﹣4n2+12n﹣9；
（3）199×201＝（200﹣1）×（200+1）
＝2002﹣12
＝40000﹣1
＝39999；
（4）20232﹣4046×2024+20242
＝20232﹣2×2023×2024+20242
＝（2023﹣2024）2
＝（﹣1）2
＝1．
2x 2x+4 x+2
35．（2023春•西宁）化简： − ÷ ，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适
x+1 x2−1 x2−2x+1
当的数代入求值．
【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解
即可求得答案．
2x 2(x+2) (x−1) 2
【解答】解：原式= − ⋅
x+1 (x+1)(x−1) x+2
2x 2x−2
= −
x+1 x+1
2x−2x+2
=
x+1
2
=
x+1
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
2
∴把x＝0代入 =2．
x+1
36．（2023秋•樊城区期末）王老师在黑板上书写了一个代数式及其正确的演算结果，随后用手掌捂住了
x2−1 x 2
一部分，形式如：− )÷ =− ．求“所捂部分”化简后的结果．
x2−2x+1 x−1 x
【分析】根据分式的乘法法则、加法法则计算，得到答案．2 x x2−1
【解答】解：− × +
x x−1 (x−1) 2
2 (x+1)(x−1)
=− +
x−1 (x−1) 2
2 x+1
=− +
x−1 x−1
x−1
=
x−1
＝1，
则“所捂部分”化简后的结果1．
【计算题组训练7】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
37．（2023秋•巴东县期末）计算：
（1）（5x+2y）（3x﹣2y）；
a2+2a
（2） −a﹣1．
a+1
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算即可；
（2）利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2
＝15x2﹣4xy﹣4y2；
a2+2a
（2）原式= −（a+1）
a+1
a2+2a−(a+1) 2
=
a+1
a2+2a−a2−2a−1
=
a+1
1
=− ．
a+1
38．（2023秋•东西湖区期末）分解因式：
（1）a2﹣4b2；
（2）3ax2+6axy+3ay2．【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
39．（2023秋•硚口区期末）解下列方程：
2 1
（1） = ；
x+3 x−1
3x+1 5 1
（2） − = ．
6x−2 2 3x−1
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：2（x﹣1）＝x+3，
去括号得：2x﹣2＝x+3，
移项，合并同类项得：x＝5，
检验：将x＝5代入（x﹣1）（x+3）得4×8＝32≠0，
故原方程的解为x＝5；
（2）原方程去分母得：3x+1﹣5（3x﹣1）＝2，
去括号得：3x+1﹣15x+5＝2，
移项，合并同类项得：﹣12x＝﹣4，
1
系数化为1得：x= ，
3
1
检验：将x= 代入2（3x﹣1）得2×0＝0，
3
1
则x= 是原方程的增根，
3
故原方程无解．
40．（2023秋•应城市期末）计算：
a−b 2ab−b2
（1） ÷(a− )；
a a
1 1
（2）（﹣4ab3）（− ab）﹣（ ab2 ）2．
8 2
【分析】（1）先对括号内的式子通分，然后再把除法转化为乘法化简即可解答本题；
（2）根据积的乘方和同底数幂的乘法、合并同类项可以解答本题．a−b 2ab−b2
【解答】解：（1） ÷(a− )
a a
a−b a2 2ab−b2
= ÷( − )
a a a
a−b a
= ×
a a2−2ab+b2
a−b a
= ×
a (a−b) 2
1
= ；
a−b
1 1
（2）（﹣4ab3）（− ab）﹣（ ab2 ）2
8 2
1 1
＝（﹣4ab3）（− ab）﹣（ a2b4 ）
8 4
1 1
= a2b4− a2b4
2 4
1
= a2b4 ．
4
a2−6a+9 1
41．（2023秋•十堰期末）先化简，再求值： ÷(1− )，其中a从0、1、2、3中取一个你
a2−2a a−2
认为合适的数代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
a2−6a+9 1
【解答】解： ÷(1− )
a2−2a a−2
(a−3) 2 a−3
= ÷
a(a−2) a−2
(a−3) 2 a−2
= •
a(a−2) a−3
a−3
= ，
a
∵a≠0，a﹣2≠0，a＝3≠0，
∴a≠0，2，3，1−3
∴当a＝1时，原式= =−2．
1
a−1 a 1
42．（2023秋•阳信县期末）先化简再求值：1− ÷( − )，然后从0，1，2中选择一个合
a a+2 a2+2a
适的数代入求值．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即
可．
a−1 a2 1
【解答】解：原式＝1− ÷（ − ）
a a2+2a a2+2a
a−1 a2−1
＝1− ÷
a a2+2a
a−1 a(a+2)
＝1− •
a (a+1)(a−1)
a+2
＝1−
a+1
a+1 a+2
= −
a+1 a+1
1
=− ，
a+1
由题意得：a≠0、±1、﹣2，
1 1
当a＝2时，原式=− =− ．
2+1 3
【计算题组训练8】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
43．（2023秋•恩施市期末）计算：
（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2；
（2）（x+2y）（x﹣y）﹣（x+y）2．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（2）利用多项式乘多项式，完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2
＝a8+a8+4a8＝6a8；
（2）（x+2y）（x﹣y）﹣（x+y）2
＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣（x2+2xy+y2）
＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣x2﹣2xy﹣y2
＝﹣xy﹣3y2．
44．（2023秋•竹山县期末）分解因式与解方程
（1）分解因式：x3﹣16x；
3 x
（2）解方程： − =1．
x2−9 3−x
【分析】（1）先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）先乘以公分母（x+3）（x﹣3），化为整式方程，解方程，即可求解，最后要检验．
【解答】解：（1）x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）；
3 x
（2） − =1，
x2−9 3−x
3 x
即
+ =1，
x2−9 x−3
两边同时乘以（x+3）（x﹣3），
得3+x（x+3）＝x2﹣9，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣4是原方程的解．
45．（2023秋•汉川市期末）按要求解答下列各题：
（1）分解因式：3x2﹣3y2；
2 3 11
（2）解分式方程： + = ．
x+1 x−1 x2−1
【分析】（1）原式提取公因式3，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）；（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝11，
解答：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
46．（2023秋•孝昌县期末）按要求完成下列各题．
2 1 1 1
（1）先化简，再求值： + ÷ ，其中a= ．
a2+2a a2−4 a−2 3
x 2 3
（2）解方程 = + ．
4x−4 x−1 4
（3）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y．
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可；
（2）先去分母，去括号，求出方程的解，再代入最简公分母进行检验即可；
（3）直接提取公因式即可．
2 1 1
【解答】解：（1） + ÷
a2+2a a2−4 a−2
2 1
= + •（a﹣2）
a(a+2) (a+2)(a−2)
2 a
= +
a(a+2) a(a+2)
2+a
=
a(a+2)
1
= ，
a
1
1 = =
当a= 时，原式 1 3；
3
3
x 2 3
（2） = + ，
4x−4 x−1 4
方程两边同时乘以4（x﹣1）得，x＝8+3（x﹣1），
x＝8+3x﹣3，
x﹣3x＝8﹣3，
﹣2x＝5，
5
x=− ，
25
经检验，x=− 是原分式方程的解；
2
（3）4xy2﹣4x2y﹣y＝y（4xy﹣4x2﹣1）．
1 x2−4x+4
47．（2024•泸州校级二模）先化简，再求值：(1− )÷ ，从﹣1，1，2，3中选择一个合
x−1 x2−1
适的数代入并求值．
【分析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解．
x−1 1 (x+1)(x−1)
【解答】解：原式＝（ − ）⋅
x−1 x−1 (x−2) 2
x−2 (x−1)(x+1)
= ⋅
x−1 (x−2) 2
x+1
= ．
x−2
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
3+1
∴取x＝3，原式= =4．
3−2
x−2 x+1 1
48．（2023秋•通山县期末）先化简： • + ，再从﹣1，0，1，2中选取一个合适的x
x2−1 x2−4x+4 x−1
的值代入求值．
【分析】先化简题目中的式子，然后将x＝0代入化简后的式子即可解答本题．
x−2 x+1 1
+
【解答】解： •
x2−1 x2−4x+4 x−1
x−2 x+1 1
= ⋅ +
(x+1)(x−1) (x−2) 2 x−1
1 1
= +
(x−1)(x−2) x−1
1 x−2
= +
(x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
1
= ，
x−2
1 1 1
当x＝0时，原式= = =− ．
x−2 0−2 2【计算题组训练9】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
49．（2023秋•孝昌县期末）计算：
（1）x（x+4y）﹣（x﹣y）2；
5 2m−4
（2）(m+2+ )⋅ ．
2−m 3−m
【分析】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式展开，然后去括号后合并即可；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+4xy﹣（x2﹣2xy+y2）
＝x2+4xy﹣x2+2xy﹣y2
＝6xy﹣y2；
(m+2)(m−2)−5 2(m−2)
（2）原式= •
m−2 −(m−3)
(m+3)(m−3) 2(m−2)
=− •
m−2 m−3
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6．
50．（2023秋•通山县期末）（1）计算：（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）因式分解：4a2b﹣9b3．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可；
（2）先提公因式b，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝4xy﹣2y2；
（2）原式＝b（4a2﹣9b2）
＝b（2a+3b）（2a﹣3b）．
1 −1
51．（2023秋•随县期末）（1）计算：(−1) 2023−(π−3) 0−( ) ；
2
（2）分解因式：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）．
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
1 −1
【解答】解：（1）(−1) 2023−(π−3) 0−( )
21
=−1−1−
1
2
＝﹣1﹣1﹣2
＝﹣4；
（1）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2﹣16）
＝（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
52．（2023秋•定陶区期末）解分式方程：
2 1
（1） = ；
x+3 x−1
4 x
（2） + =−1．
x2−2x 2−x
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得2（x﹣1）＝x+3，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的根，
∴x＝5；
（2）去分母，得4﹣x2＝﹣（x2﹣2x），
解得x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
a 4−a2
53．（2023•银川一模）化简：(1+ )÷ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求
2−a a2−4a+4
值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到
最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
2−a+a (a−2) 2
【解答】解：原式= •
2−a (2−a)(2+a)2 (a−2) 2
= •
2−a (2−a)(2+a)
2
= ，
2+a
当a＝﹣2或2时，原式没有意义，
当a＝0时，
2
原式=
2+0
＝1．
x2 x−1
54．（2023•福田区校级二模）先化简，再求值：( −x+1)÷ ，再从﹣1、0、1三个数中选
x+1 x2+2x+1
择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把x的值代入计算即可求出值．
x2 (x+1)(x−1) (x+1) 2
【解答】解：原式＝[ − ]•
x+1 x+1 x−1
1 (x+1) 2
= •
x+1 x−1
x+1
= ，
x−1
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
0+1
则当x＝0时，原式= =−1．
0−1
【计算题组训练10】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
55．（2023秋•咸宁期末）（1）用简便方法计算：20232﹣2023×46+232；
a2 b2 a+b
（2）化简：( + )÷ ．
a−b b−a ab
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）20232﹣2023×46+232＝20232﹣2×2023×23+232
＝（2023﹣23）2
＝20002
＝4000000；
a2 b2 a+b
（2）( + )÷
a−b b−a ab
a2−b2 ab
= •
a−b a+b
(a+b)(a−b) ab
= •
a−b a+b
＝ab．
56．（2023秋•安陆市期末）化简：
3a3b2
（1）(−ab2 ) 3÷(− )；
c
（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．
【分析】（1）先算乘方，再变除为乘进行计算即可得到答案；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法计算，再去括号，最后合并同类项即可得出答
案．
c
【解答】解：（1）原式＝﹣a3b6×(− )
3a3b2
b4c
= ；
3
（2）原式＝a2﹣4﹣（a2﹣2a+1）
＝a2﹣4﹣a2+2a﹣1
＝2a﹣5．
57．（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．
1 x x 3
（1） =2+ ； （2） −1= ．
x−3 3−x x−1 (x−1)(x+2)
1 x
【分析】（1）首先对分式方程进行整理得： =2− ，然后通过方程两边同乘以最简公分母，
x−3 x−3
把分式方程转化为整式方程，再解整式方程即可，最后要把 x的值代入到最简公分母进行检验，（2）
方程两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（x+2），把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程求x
的值，最后要把x的值代入最简公分母进行检验，以确定原方程的根．1 x
【解答】解：（1）原方程变形得： =2− ，
x−3 x−3
方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，
整理的：1＝2x﹣6﹣x，
移项得：x＝7，
检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，
所以，x＝7，是原方程的根，
（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
合并同类项得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，
所以，x＝1是原方程的增根，
所以，原分式方程无解．
58．（2023秋•江岸区期末）分解因式：
（1）m（a﹣3）+2（a﹣3）；
（2）a3b﹣ab．
【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣3）（m+2）；
（2）原式＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）．
1
59．（2023秋•微山县期末）已知关于x的代数式(x+2m)(x2−x+ n)的中不含x项与x2项．
2
（1）求m，n的值；
（2）求代数式m2023n2024的值．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出 2m﹣1＝0，
1
n−2m=0，即可得出m，n的值；
2
（2）将m，n的值代入进行计算即可．
1
【解答】解：（1）(x+2m)(x2−x+ n)
21
=x3−x2+ nx+2mx2−2mx+mn
2
1
=x3+(2m−1)x2+( n−2m)x+mn，
2
∵不含x项与x2项，
{
2m−1=0
)
∴ 1 ，
n−2m=0
2
{ m= 1 )
解得： 2 ；
n=2
1 2023 1 2023
（2）m2023n2024=( ) ⋅22024=( ×2) ×2=2．
2 2
x+2 x−1 x−4
60．（2023秋•老河口市期末）先化简，再求值：( − )÷ 其中x满足（x﹣1）（x
x2−2x x2−4x+4 x
﹣3）＝1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，然后把（x﹣1）（x﹣3）＝1整理后整体代入计算即
可．
x+2 x−1 x−4
【解答】解：( − )÷
x2−2x x2−4x+4 x
x+2 x−1 x−4
=[ − ]÷
x(x−2) (x−2) 2 x
(x+2)(x−2)−x(x−1) x−4
= ÷
x(x−2) 2 x
x−4 x
= ×
x(x−2) 2 x−4
1
=
，
(x−2) 2
∵（x﹣1）（x﹣3）＝1，
∴x2﹣4x＝﹣2，
1 1 1 1
= = = =
∴原式 ．
(x−2) 2 x2−4x+4 −2+4 2【计算题组训练11】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
1．（2023秋•建水县期末）计算：
1 −2
（1）−12024+(5−π) 0−( ) ；
3
（2）（x+y）2﹣（x3+xy2）÷x．
【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，以及负整数指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）先运用完全平方公式展开，再进行多项式除以单项式，最后再合并同类项即可．
1 −2
【解答】解：（1）−12024+(5−π) 0−(
)
3
＝﹣1+1﹣9
＝﹣9；
（2）（x+y）2﹣（x3+xy2）÷x
＝x2+2xy+y2﹣x3÷x﹣xy2÷x
＝x2+2xy+y2﹣x2﹣y2
＝2xy．
1
2．（2024春•霍邱县期末）（1）已知10m＝50，10n= ，求10m﹣n的值；
2
（2）已知3•2t•4t﹣23t＝16，求t的值．
【分析】（1）运用同底数幂的除法法则进行求解；
（2）运用幂的乘方、同底数幂相乘和乘法分配律知识进行变形、计算．
1
【解答】解：（1）∵10m＝50，10n=
，
2
∴10m﹣n
＝10m÷10n
1
＝50÷
2
＝100；
（2）∵3•2t•4t﹣23t＝3•2t•22t﹣23t＝3•23t﹣23t＝23t×（3﹣1）＝23t×2＝23t+1，
∴3•2t•4t﹣23t＝16＝24时，
23t+1＝24，∴3t+1＝4，
解得t＝1．
3．（2023秋•甘井子区校级期末）因式分解：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）3ax2+6axy+3ay2
【分析】（1）根据提取公因式法分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）；
（2）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
4．（2023秋•南沙区期末）已知x2+3x﹣3＝0．
（1）2x2+6x＝ 6 ；
（2）求代数式3（x+1）2﹣（x+5）（x﹣5）的值．
【分析】（1）根据已知得出x2+3x＝3，把2x2+6x变形为2（x2+3x），然后整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式计算得出2（x2+3x）+28，再代入求值即可．
【解答】解：∵x2+3x﹣3＝0，
∴x2+3x＝3；
（1）2x2+6x＝2（x2+3x）＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）3（x+1）2﹣（x+5）（x﹣5）
＝3（x2+2x+1）﹣（x2﹣25）
＝3x2+6x+3﹣x2+25
＝2x2+6x+28
＝2（x2+3x）+28
＝2×3+28
＝34．
5．（2023秋•宁河区期末）解分式方程5 3
（1） = ；
x−1 x+3
x 3
（2） = −1．
x−1 2(x−1)
【分析】（1）方程两边乘（x﹣1）（x+3）得出5（x+3）＝3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即
可；
（2）方程两边乘2（x﹣1）得出2x＝3﹣2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
5 3
【解答】解：（1） = ，
x−1 x+3
方程两边乘（x﹣1）（x+3），得5（x+3）＝3（x﹣1），
解这个方程得：5x+15＝3x﹣3，
5x﹣3x＝﹣3﹣15，
2x＝﹣18，
x＝﹣9，
检验：当x＝﹣9时，（x﹣1）（x+3）≠0．
所以原分式方程的解为x＝﹣9；
x 3
（2） = −1，
x−1 2(x−1)
方程两边乘2（x﹣1），得2x＝3﹣2（x﹣1），
5
解得：x= ，
4
5
检验：当x= 时，2（x﹣1）≠0，
4
5
所以原分式方程的解为x= ．
4
x−2 1 x2−2x+1
6．（2023秋•仓山区校级期末）已知x2+3x＝1，求代数式 − ⋅ 的值．
x+1 x−1 x+2
【分析】先计算分式乘法，再通分计算分式减法，最后整体代入求值．
x−2 1 x2−2x+1
【解答】解： − ⋅
x+1 x−1 x+2
x−2 1 (x−1) 2
= − ⋅
x+1 x−1 x+2
x−2 x−1
= −
x+1 x+2(x−2)(x+2) (x−1)(x+1)
= −
(x+1)(x+2) (x+1)(x+2)
x2−4−x2+1
=
x2+3x+2
−3
=
，
x2+3x+2
当x2+3x＝1时，
−3
原式= =−1．
1+2
【计算题组训练12】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
7．（2023秋•广州期末）（1）计算：(2022+❑√2) 0+(−3) −2；
（2）计算：a2•a4+（a3）2﹣2a7÷a；
2a 1
（3）计算： − ．
a2−b2 a+b
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂化简，然后再计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同类项即可；
（3）通分化成同分母，再利用同分母分式的减法计算即可．
【解答】解：（1）(2022+❑√2) 0+(−3) −2
1
=1+
9
1
=1 ；
9
（2）a2⋅a4+（a3）2﹣2a7÷a
＝a6+a6﹣2a6
＝0；
2a 1
（3） −
a2−b2 a+b
2a a−b
= −
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)2a−a+b
=
(a+b)(a−b)
a+b
=
(a+b)(a−b)
1
= ．
a−b
8．（2023秋•宁河区期末）计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
【分析】根据整式的除法和乘法计算即可．
【解答】解：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
＝x3﹣y3．
9．（2023秋•广水市期末）因式分解：
（1）12xyz﹣9x2y2
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36．
【分析】（1）直接提取公因式3xy，进而分解因式得出即可；
（2）把（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）12xyz﹣9x2y2＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36＝（a+b﹣6）2．
1
10．（2023秋•广水市期末）已知2x+y＝4，求代数式[（x+y）2﹣（x﹣y）2﹣2y（x− y）]÷4y的值．
2
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把2x+y＝4代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[x2+y2+2xy﹣x2﹣y2+2xy﹣2xy+y2]÷4y
＝（2xy+y2）÷4y
1
= （2x+y）
4
1
= ×4
4
＝1．2x 1
11．（2023秋•滨海新区期末）（Ⅰ）计算： − ；
x2−1 x−1
x 5
（Ⅱ）解分式方程： − =1．
x−3 x+3
【分析】（1）利用分式的加减法则计算即可；
（2）利用解分式方程的步骤解方程即可．
2x x+1
【解答】解：（1）原式= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
2x−x−1
=
(x+1)(x−1)
x−1
=
(x+1)(x−1)
1
= ；
x+1
（2）原方程去分母得：x（x+3）﹣5（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
去括号得：x2+3x﹣5x+15＝x2﹣9，
移项，合并同类项得：﹣2x＝﹣24，
系数化为1得：x＝12，
检验：将x＝12代入（x+3）（x﹣3）得（12+3）×（12﹣3）≠0，
故原方程的解为x＝12．
2 a−2 1
12．（2023秋•广州期末）先化简： ÷( − )，再从﹣1，0，﹣2，2中选一个合适的数
a2−4 a2−4a+4 a
代入求值．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法，然后化简，再舍去使分母
为0的数，然后代入求值即可．
2 a−2 1
【解答】解： ÷( − )
a2−4 a2−4a+4 a
2 a−2 1
= ÷[ − ]
(a+2)(a−2) (a−2) 2 a
2 2
= ÷[ ]
(a+2)(a−2) a(a−2)
2 a(a−2)
= ⋅
(a+2)(a−2) 2
a
= ，
a+2∵a+2≠0，a﹣2≠0，a≠0，
a
∴将a＝﹣1代入 得：
a+2
a −1
原式= = =−1．
a+2 −1+2
【计算题组训练13】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
13．（2023秋•滨海新区校级期末）计算
x 4x2
（1） ÷ ；
5 y 5 y2
2x 1
（2） − ．
x2−64 y2 x−8 y
【分析】（1）将除法变成乘法计算求解即可；
（2）先通分，然后计算减法即可．
x 4x2
【解答】解：（1） ÷
5 y 5 y2
x 5 y2
= ⋅
5 y 4x2
y
= ；
4x
2x 1
（2） −
x2−64 y2 x−8 y
2x−(x+8 y)
=
(x−8 y)(x+8 y)
2x−x−8 y
=
(x−8 y)(x+8 y)
x−8 y
=
(x−8 y)(x+8 y)
1
= ．
x+8 y
14．（2023秋•滨海新区校级期末）（1）先化简，再求值x（x+1）+3x（x﹣1），其中x＝2；
（2）计算：（y﹣4）2﹣（y﹣2）（y+3）．【分析】（1）根据单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将 x的值代入化简后的
式子计算即可；
（2）根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）x（x+1）+3x（x﹣1）
＝x2+x+3x2﹣3x
＝4x2﹣2x，
当x＝2时，原式＝4×22﹣2×2＝12．
（2）（y﹣4）2﹣（y﹣2）（y+3）
＝y2﹣8y+16﹣（y2+y﹣6）
＝y2﹣8y+16﹣y2﹣y+6
＝﹣9y+22．
15．（2023秋•滨海新区校级期末）因式分解：
（1）x2﹣5x﹣6＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 6 ） ；
（2）3a2﹣27；
（3）（x+2y）2﹣8xy．
【分析】（1）本题利用十字相乘法进行因式分解即可．
（2）本题先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可．
（3）本题先打开括号进行合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6），
故答案为：（x+1）（x﹣6）．
（2）3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．
（3）（x+2y）2﹣8xy
＝x2+4xy+4y2﹣8xy
＝x2﹣4xy+4y2
＝（x﹣2y）2．
a−b a2−b2
16．（2023秋•广水市期末）（1）计算：1− ÷ ．
a+2b a2+4ab+4b2
4 x+2
（2）解方程： + =−1．
x2−1 1−x
【分析】（1）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分并利
用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
a−b (a+2b) 2 a+2b b
【解答】解：（1）原式＝1− • =1− =− ；
a+2b (a+b)(a−b) a+b a+b
（2）去分母得：4﹣（x+2）（x+1）＝1﹣x2，
整理得：3x＝1，
1
解得：x= ，
3
1
经检验x= 是分式方程的解．
3
2 1
17．（2023秋•番禺区期末）（1）解分式方程： − =0；
x+1 x
x2−1 x+1 1−x
（2）先化简，再求值： ÷ ⋅ ，其中x＝2．
x2−2x+1 x−1 1+x
【分析】（1）①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④求出未知数；
（2）根据分式的乘除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
2 1
【解答】解：（1） − =0，
x+1 x
方程两边同乘x（x+1），得2x﹣（x+1）＝0，
解得：x＝1，
当x＝1时，x（x+1）＝2≠0，
所以原方程的解为x＝1；
(x+1)(x−1) x−1 1−x
（2）原式= • •
(x−1) 2 x+1 1+x
1−x
= ，
1+x
1−2 1
当x＝2时，原式= =− ．
1+2 3
x2+2x+1 x
18．（2023秋•海珠区期末）已知A= − ．
x2−1 x−1
（1）化简A；x 3
（2）当x满足 = −2时，A的值是多少？
x−1 2x−2
【分析】（1）先化简分式，再计算减法即可；
（2）解分式方程求出x的值，再代入计算即可．
(x+1) 2 x
【解答】解：（1）原式= −
(x+1)(x−1) x−1
x+1 x
= −
x−1 x−1
1
= ；
x−1
（2）方程两边都乘以2（x﹣1），得：2x＝3﹣4（x﹣1），
7
解得x= ，
6
1
= =
则原式 7 6．
−1
6
【计算题组训练14】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
19．（2023秋•滨海新区期末）计算：
（Ⅰ）（a2b3）﹣1•（ab﹣2）2；
（Ⅱ）x2•x4﹣（2x3）2+x7÷x．
【分析】（Ⅰ）根据负整数指数幂、分式的乘除法法则计算；
（Ⅱ）根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则、合并同类项计算．
【解答】解：（Ⅰ）（a2b3）﹣1•（ab﹣2）2
＝a﹣2b﹣3•a2b﹣4
＝a0b﹣7
1
=
；
b7
（Ⅱ）x2•x4﹣（2x3）2+x7÷x
＝x6﹣4x6+x6
＝﹣2x6．
20．（2023秋•滨海新区期末）因式分解：（Ⅰ）mx2﹣2m2x+m3；
（Ⅱ）8m2n+2mn．
【分析】（1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案．
（2）利用提取公因式方法进行因式分解，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）原式＝m（x2﹣2mx+m2）
＝m（x﹣m）2；
（Ⅱ）原式＝2mn（4m+1）．
21．（2023秋•河西区期末）（Ⅰ）分解因式：3x2﹣27y2．
（Ⅱ）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣y）2]÷2y，其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】（Ⅰ）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
（Ⅱ）利用完全平方公式和平方差公式计算括号内的乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同
类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：（Ⅰ）原式＝3（x2﹣9y2）
＝3（x+3y）（x﹣3y）；
（Ⅱ）原式＝[x2﹣4y2﹣（x2﹣2xy+y2）]÷2y
＝（x2﹣4y2﹣x2+2xy﹣y2）÷2y
＝（﹣5y2+2xy）÷2y
5
=− y+x，
2
当x＝1，y＝﹣2时，
5
原式=− ×（﹣2）+1
2
＝5+1
＝6．
22．（2023秋•天津期末）解分式方程：
3 2
（1） − =0；
x−1 x
3 2 1
（2） − = ．
x2−9 x−3 x+3
【分析】根据等式的性质将分式方程转化为整式方程，再根据整式方程的解法求出 x的值，再进行检验
即可．
【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣1），得3x﹣2（x﹣1）＝0，
解得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是原方程的解，
所以原方程的解为x＝﹣2；
（2）两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3﹣2（x+3）＝x﹣3，
解得x＝0，
经检验，x＝0是原方程的解，
所以原方程的解为x＝0．
23．（2023秋•河西区期末）（Ⅰ）计算：（2a﹣1b2）﹣2；
3 x2−4x+4
（Ⅱ）先化简，再求值：(x−1− )÷ ，其中x＝﹣1．
x+1 x+1
【分析】（1）根据单项式的乘方的运算法则计算，再转化为分式的形式即可；
（Ⅱ）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）原式＝2﹣2a2b﹣4
a2
= ；
4b4
x2−1 3 (x−2) 2
（Ⅱ）原式＝（ − ）÷
x+1 x+1 x+1
(x+2)(x−2) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
x+2
= ，
x−2
当x＝﹣1时，
−1+2 1
原式= =− ．
−1−2 3
x3y2 2 2y
24．（2023秋•宁河区期末）（1）计算：(− ) ⋅ ；
2 x
a−b 2ab−b2
（2）先化简，再求值： ÷(a− )，其中a＝2，b＝﹣1．
a a
【分析】（1）先算乘方，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法
法则进行计算即可．x3y2 2y
【解答】解：（1）（− ）2•
2 x
x6 y4 2y
= ⋅
4 x
x5 y5
= ；
2
a−b 2ab−b2
（2） ÷(a− )
a a
a−b a2 2ab−b2
= ÷（ − ）
a a a
a−b a2−2ab+b2
= ÷
a a
a−b (a−b) 2
= ÷
a a
a−b a
= ⋅
a (a−b) 2
1
= ，
a−b
1 1
当a＝2，b＝﹣1时，原式= = ．
2−(−1) 3
【计算题组训练15】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
25．（2024春•甘孜州期末）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
【分析】已知两等式利用完全平方公式展开，相加求出a2+b2的值；相减求出ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝30，即a2+b2＝15；
（2）①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1．
26．（2023秋•天津期末）计算：
（1）（2x+1）（x﹣3）；
（2）（a﹣3）（a+3）（a2+9）．【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（2x+1）（x﹣3）
＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3；
（2）（a﹣3）（a+3）（a2+9）
＝（a2﹣9）（a2+9）
＝a4﹣81．
27．（2023秋•番禺区期末）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
28．（2023秋•红桥区期末）先化简，再求值：
1 1
（Ⅰ）（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中x= ，y=− ；
3 2
5 2m−4 7
（Ⅱ）(m+2+ )⋅ ，其中m=− ．
2−m 3−m 2
【分析】（Ⅰ）先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后
的式子进行计算，即可解答；
（Ⅱ）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计
算，即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣2xy+6xy﹣3y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+2xy﹣6xy+3y2＝8xy+12y2，
1 1 1 1 1 4 1 4 5
当x= ，y=− 时，原式＝8× ×（− ）+12×（− ）2=− +12× =− +3= ；
3 2 3 2 2 3 4 3 3
5 2m−4
（Ⅱ）(m+2+ )⋅
2−m 3−m
(2+m)(2−m)+5 2(m−2)
= •
2−m 3−m
9−m2 2(m−2)
= •
2−m 3−m
(3+m)(3−m) 2(m−2)
= •
2−m 3−m
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
7 7
当m=− 时，原式＝﹣2×（− ）﹣6＝7﹣6＝1．
2 2
a2−9 a−3 1 1
29．（2023秋•河北区校级期末）先化简，再求值：( ÷ − )⋅ ，其中a＝5．
a2−2a+1 a−1 a−1 a+2
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面同分计算，再根据分式混合运算的运算法
则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可．
(a+3)(a−3) a−1 1 1
【解答】解：原式 =[ × − ]⋅
(a−1) 2 a−3 a−1 a+2
a+3 1 1
=( − )⋅
a−1 a−1 a+2
a+2 1
= ⋅
a−1 a+2
1
= ，
a−1
1 1
当a＝5时，原式= = ．
5−1 4
x−3 1
30．（2023秋•南沙区期末）已知：A= ，B= ．
x2−1 x−1
（1）求A与B的和；
（2）若A＝3B，求x的值；2x+6
（3）若关于x的方程mA+B= 无解，实数m＜﹣2，求m的值．
x2−1
【分析】（1）根据异分母的分式相加减的计算法则计算即可；
（2）先确定最简公分母，然后求出整式方程的解，检验是否是分式方程的解即可；
5+3m
（3）把分式方程化为（m﹣1）x＝5+3m，根据分式方程无解得出m﹣1＝0或 =±1，再结合m＜
m−1
﹣2即可确定m的值．
x−3 1
【解答】解：（1）∵A= ，B= ，
x2−1 x−1
∴A+B
x−3 1
= +
x2−1 x−1
x−3 x+1
= +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x−3+x+1
=
(x+1)(x−1)
2x−2
=
(x+1)(x−1)
2(x−1)
=
(x+1)(x−1)
2
= ；
x+1
（2）∵A＝3B，
x−3 3
=
∴ ，
x2−1 x−1
x−3 3
=
方程可化为 ，
(x+1)(x−1) x−1
方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得，x﹣3＝3（x+1），
解得x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原分式方程的解，
所以x的值是﹣3；
2x+6
（3）∵mA+B= ，
x2−1
m(x−3) 1 2x+6
∴ + = ，
x2−1 x−1 x2−1mx−3m x+1 2x+6
+ = ，
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
mx﹣3m+x+1＝2x+6，
（m﹣1）x＝5+3m，
2x+6
∵关于x的方程mA+B= 无解，
x2−1
5+3m
∴m﹣1＝0或 =±1，
m−1
解得m＝1或m＝﹣3或m＝﹣1，
∵m＜﹣2，
∴m＝﹣3．
【计算题组训练16】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
31．（2023秋•滨海新区期末）（Ⅰ）计算：（12a3﹣6a2+2a）+2a；
（Ⅱ）计算：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）；
（Ⅲ）因式分解：4x3﹣8x2+4x．
【分析】（Ⅰ）利用去括号，合并同类项进行计算即可；
（Ⅱ）利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可；
（Ⅲ）先提公因式4x，再利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）原式＝12a3﹣6a2+2a+2a
＝12a3﹣6a2+4a；
（Ⅱ）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2
＝2x2+4xy；
（Ⅲ）原式＝4x（x2﹣2x+1）
＝4x（x﹣1）2．
32．（2023秋•河北区校级期末）（1）计算：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．
（2）分解因式：﹣x3+2x2﹣x．
【分析】（1）根据平方差和完全平方公式以及合并同类项的方法计算即可；
（2）根据分解因式的方法分解因式即可．
【解答】解：（1）2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．
＝2b2+a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2＝2ab；
（2）﹣x3+2x2﹣x
＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2．
33．（2023秋•天津期末）计算：
1 x2+x
（1）(1+ )÷ ；
x x
a2−9 a−3 1 1
（2）先化简，再求值：（ ÷ − ）• ，其中a＝2．
a2−2a+1 a−1 a−1 a−2
【分析】（1）括号内通分，再将除法变成乘法化简即可；
（2）直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
1 x2+x
【解答】解：（1）(1+ )÷
x x
x+1 x
= ⋅
x x(x+1)
1
= ；
x
(a−3)(a+3) a−1 1 1
（2）原式＝[ • − ]•
(a−1) 2 a−3 a−1 a+2
a+3 1 1
＝（ − ）•
a−1 a−1 a+2
a+2 1
= •
a−1 a+2
1
= ，
a−1
当a＝2时，
1
原式= = 1．
2−1
34．（2023秋•长葛市期末）分解因式：
（1）y3﹣4xy2+4x2y；
（2）9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）．
【分析】（1）先提取y，然后再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取（x﹣y），然后再根据平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）y3﹣4xy2+4x2y
＝y（y2﹣4xy+4x2）
＝y（y﹣2x）2；
（2）9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
a−b 2ab−b2
35．（2023秋•望花区期末）（1）计算： ÷(a− )；
a a
2x 1
（2）解方程： − =1．
2x−3 2x+3
【分析】（1）先算括号里面的，再把除法变为乘法，约分即可；
（2）先去分母，在去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可，注意检验．
a−b a2−2ab+b2
【解答】解：（1）原式= ÷
a a
a−b a
= •
a (a−b) 2
1
= ；
a−b
（2）方程两边乘以（2x+3）（2x﹣3），得
2x（2x+3）﹣（2x﹣3）＝（2x﹣3）（2x+3），
4x2+6x﹣2x+3＝4x2﹣9，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（2x+3）（2x﹣3）＝﹣3×（﹣9）＝27≠0．
所以，原分式方程的解为x＝﹣3．
7 2x2−8x
36．（2023秋•潮南区期末）先化简再求值：(x+3− )÷ ，再从2≤x≤4中选一个适合的整
x−3 x−3
数代入求值．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x的值，代入计算即
可．
x2−9 7 x−3
【解答】解：原式=( − )⋅
x−3 x−3 2x(x−4)
x2−16 x−3
= ⋅
x−3 2x(x−4)(x−4)(x+4) x−3
= ⋅
x−3 2x(x−4)
x+4
= ．
2x
在2≤x≤4中，整数x有2、3、4，
由题意得：x≠3，4，
∴x＝2，
2+4 3
当x＝2时，原式= = ．
2×2 2
【计算题组训练17】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
37．（2023秋•崇川区期末）计算：
1
（1）8×2+(π−2) 0+( ) −2 ；
2
（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【分析】（1）先根据有理数的乘法法则，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加法即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号，最后合并同类项即可．
1
【解答】解：（1）8×2+(π−2) 0+( ) −2
2
＝16+1+4
＝21；
（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2+8x+4﹣4x2+9
＝8x+13．
38．（2023秋•建邺区一模）已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变
形代入计算即可求出值．
【解答】解：由2a2+3a﹣6＝0得：2a2+3a＝6，
原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．
39．（2023秋•新抚区期末）因式分解：
（1）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先去括号，合并同类项，然后对化简后的式子利用完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）；
＝（a2﹣4b2）（x﹣y）；
＝（a﹣2b）（a+2b）（x﹣y）；
（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab
＝a2﹣5ab+4b2+ab
＝a2﹣4ab+4b2
＝（a﹣2b）2．
1 3
40．（2023秋•清原县期末）（1）解方程： +1= ；
x−1 2x−2
x2 x2−1 1
（2）先化简，再求值：( −x)÷ ，其中x= ．
1+x x2+2x+1 2
【分析】（1）根据解分式方程的方法可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
1 3
【解答】解：（1） +1= ，
x−1 2x−2
方程两边同乘2（x﹣1），得：2+2（x﹣1）＝3，
3
解得x= ，
2
3
检验：当x= 时，2（x﹣1）≠0，
2
3
∴x= 是原分式方程的解；
2
x2 x2−1
（2）( −x)÷
1+x x2+2x+1
x2−x(1+x) (x+1) 2
= •
1+x (x+1)(x−1)
x2−x−x2
=
x−1x
= ，
1−x
1
1 2
当x= 时，原式= = 1．
2 1
1−
2
2 a2−4 a2+2a
41．（2023秋•大连期末）先化简，再求值：（ − ）÷ ，其中a＝﹣3．
a−2 a2−4a+4 a−2
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝﹣3代入进行计算即可．
2 a2−4 a2+2a
【解答】解：（ − ）÷
a−2 a2−4a+4 a−2
2 (a+2)(a−2) a−2
＝[ − ]•
a−2 (a−2) 2 a(a+2)
2 a+2 a−2
＝（ − ）•
a−2 a−2 a(a+2)
2−a−2 a−2
= •
a−2 a(a+2)
−a a−2
= •
a−2 a(a+2)
1
=− ，
a+2
1
当a＝﹣3时，原式=− =1．
−3+2
42．（2023秋•新抚区期末）先化简，再求值：
（1）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
1 1 2 1
（2）( − )÷ ，其中a=( ) −2−1．
a−1 a+1 a2−2a+1 2
【分析】（1）先去掉小括号，再进行合并同类项，化简求值即可；
（2）先将分式进行通分，再用分式乘法的法则进行化简，最后求出 a的值，代入化简的式子，即可求
出结果．
【解答】解：（1）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x
＝[x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy]÷2x
＝[﹣2x2﹣2xy]÷2x＝﹣x﹣y，
把x＝1，y＝﹣2代入式子中，
则﹣x﹣y＝﹣1﹣（﹣2）＝1；
1 1 2
（2）( − )÷
a−1 a+1 a2−2a+1
(a+1)−(a−1) (a−1) 2
= ×
(a+1)(a−1) 2
a−1
= ，
a+1
1
∵a=( ) −2−1，
2
∴a＝3，
a−1 3−1 1
∴ = = ．
a+1 3+1 2
【计算题组训练18】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
43．（2023秋•庄河市期末）计算：
（1）﹣12024+|﹣3|﹣（ +1）0；
2 π 4
（2）解方程： = ．
x+2 x2−4
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的解法求解即可．
【解答】解：（1）﹣12024+|﹣3|﹣（ +1）0
＝﹣1+3﹣1 π
＝1；
2 4
（2） = ，
x+2 x2−4
2 4
原方程可化为 = ，
x+2 (x+2)(x−2)
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），
2（x﹣2）＝4，
解得x＝4，检验：当x＝4时（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝4是原方程的解，
所以原方程的解是x＝4．
44．（2023秋•新抚区期末）计算：
（1）2（a2）3•a3﹣（3a3）3+（4a7）•a2；
（2）x（x2+x﹣1）﹣（2x2﹣1）（x﹣4）．
【分析】（1）根据幂的乘方、积的乘方和同底数的幂相乘的计算方法来进行计算；
（2）按照单项式乘多项式和多项式乘多项式的计算方法去掉括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）2（a2）3•a3﹣（3a3）3+（4a7）•a2
＝2a6a3﹣27a9+4a9
＝2a9﹣27a9+4a9
＝﹣21a9；
（2）x（x2+x﹣1）﹣（2x2﹣1）（x﹣4）
＝x3+x2﹣x﹣2x3+8x2+x﹣4
＝﹣x3+9x2﹣4．
45．（2023秋•鞍山期末）计算：
a2
（1） −a−1；
a−1
2xy 1 1
（2） ÷( + )．
x2−y2 x−y x+ y
【分析】（1）先通分，再把分子相加减即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
a2
【解答】解：（1） −a−1
a−1
a2 (a+1)(a−1)
= −
a−1 a−1
a2−(a2−1)
=
a−1
1
= ；
a−1
2xy 1 1
（2） ÷( + )
x2−y2 x−y x+ y
2xy x+ y+x−y
= ÷
(x+ y)(x−y) (x−y)(x+ y)2xy 2x
= ÷
(x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y)
2xy (x+ y)(x−y)
= •
(x+ y)(x−y) 2x
＝y．
46．（2023秋•潮南区校级期末）计算：
（1）因式分解：5x2﹣45；
12 3 1
（2）解方程： − = ．
x2−9 x−3 x+3
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式；
（2）按解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）5x2﹣45；
＝5（x2﹣9）
＝5（x+3）（x﹣3）；
12 3 1
（2） − = ，
x2−9 x−3 x+3
去分母，得12﹣3（x+3）＝x﹣3．
3
解这个方程，得x= ．
2
3
检验：当x= 时，（x+3）（x﹣3）≠0，
2
3
∴x= 是原方程的解．
2
47．（2023秋•望花区期末）（1）分解因式：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）；
（2）计算：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷3a2b．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；
（2）[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷3a2b
＝（a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2）÷3a2b
＝（2a3b2﹣2a2b）÷3a2b2 2
= ab− ．
3 3
m 1
48．（2023秋•潮南区期末）设A=1− ÷(1+ )．化简A，若A是整数，求整数m的值．
m2−1 m−1
1
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后根据 A＝1− ，A是整数，
m+1
m是整数，从而可得m+1＝±1，进而可得m＝﹣2或0，最后根据m≠±1且m≠0，即可解答．
m 1
【解答】解：A=1− ÷(1+ )
m2−1 m−1
m m−1+1
＝1− ÷
(m+1)(m−1) m−1
m m
＝1− ÷
(m+1)(m−1) m−1
m m−1
＝1− •
(m+1)(m−1) m
1
＝1−
m+1
m+1−1
=
m+1
m
= ，
m+1
1
∵A＝1− ，A是整数，m是整数，
m+1
∴m+1＝±1，
解得：m＝﹣2或0，
∵m≠±1且m≠0，
∴m＝﹣2．
【计算题组训练19】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
49．（2023秋•西岗区期末）计算：
1
（1）（ ）﹣1﹣（2+❑√3）（2−❑√3）+（﹣3）0；
3
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
【分析】（1）先根据负整数指数、零指数的意义，乘法公式计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
1
【解答】解：（1）（ ）﹣1﹣（2+❑√3）（2−❑√3）+（﹣3）0
3
＝3﹣4+3+1
＝3；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy
＝15x2y÷5xy﹣10x2y÷5xy
＝3x﹣2y．
50．（2023秋•和平区期末）计算：
（Ⅰ）（2x+5y）2﹣（2x﹣3y）（3y+2x）；
（Ⅱ）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x2y））+3x2y．
【分析】（Ⅰ）先用完全平方公式和平方差公式运算，再合并同类项即可；
（Ⅱ）先用单项式乘以多项式法则计算括号内的多项式，再由多项式除以单项式法则计算求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）（2x+5y）2﹣（2x﹣3y）（3y+2x）
＝4x2+20xy+25y2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）
＝4x2+20xy+25y2﹣（4x2﹣9y2）
＝4x2+20xy+25y2﹣4x2+9y2
＝20xy+34y2；
（Ⅱ）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x2y）]+3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x2y2）+3x2y
＝x3y2﹣2x2y+x2y2+3x2y
＝x3y2+x2y+x2y2．
51．（2023秋•和平区期末）分解因式：
（Ⅰ）y2+7y﹣18＝ （ y + 9 ）（ y ﹣ 2 ） ；
（Ⅱ）（x﹣4）（x+1）+3x＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ；
（Ⅲ）（要求写过程）6ab2﹣9a2b﹣b3．
【分析】（Ⅰ）用十字相乘法因式分解即可；
（Ⅱ）先用多项式乘以多项式法则运算，合并同类项后再用平方差公式因式分解；
（Ⅲ）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解．
【解答】解：（Ⅰ）y2+7y﹣18＝（y+9）（y﹣2）；
故答案为：（y+9）（y﹣2）；
（Ⅱ）（x﹣4）（x+1）+3x
＝x2﹣4x+x﹣4+3x
＝x2﹣4
＝（x+2）（x﹣2）；
故答案为：（x+2）（x﹣2）；
（Ⅲ）6ab2﹣9a2b﹣b3
＝﹣b3﹣9a2b+6ab2
＝﹣b（b2﹣6ab+9a2）
＝﹣b（3a﹣b）2．
52．（2023秋•南昌期末）（1）分解因式：﹣（a+b）2+12（a+b）﹣36；
x 2x
（2）解分式方程： = −1．
x+1 3x+3
【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行计算即可；
（2）根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1求出x的值，再进
行检验，写出答案即可．
【解答】解：（1）原式﹣[（a+b）2﹣12（a+b）+36]
＝﹣（a+b﹣6）2；
（2）两边都乘以3x+3，得
3x＝2x﹣3x﹣3，
3
解得x=− ，
4
3
经检验x=− 是原方程的解，
4
3
所以原方程的解为x=− ．
4
53．（2023秋•南昌期末）已知xa＝2，xb＝4，xc＝8．
（1）求证：a+c＝2b；
（2）求xa﹣b+2c的值．
【分析】（1）先求出b的值，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的除法与幂的乘方与积的乘方法则解答即可．【解答】（1）证明：∵xa＝2，xb＝4，xc＝8，
∴xa+c＝xa•xc＝2×8＝16，x2b＝（xb）2＝16，
∴a+c＝2b；
（2）解：∵xa＝2，xb＝4，xc＝8，
1
∴xa﹣b+2c＝xa÷xb•（xc）2＝2÷4×82= ×64＝32．
2
1 a2−1 2a−2
54．（2024春•四川期末）先化简：(1+ )÷ − ，再从﹣1，0，1，2中取一个合适的数
a a a2−2a+1
作为a的值代入求值．
【分析】先将原分式化简，再根据分式有意义的条件选择合适的数代入，即可求解．
1 a2−1 2a−2
【解答】解：(1+ )÷ −
a a a2−2a+1
a+1 (a−1)(a+1) 2(a−1)
= ÷ −
a a (a−1) 2
a+1 a 2
= × −
a (a−1)(a+1) a−1
1 2
= −
a−1 a−1
1
= ，
1−a
根据分式有意义的条件可知：a≠0，a﹣1≠0，a+1≠0，
则有a≠0，a≠1，a≠﹣1，
在﹣1，0，1，2中，a只能取2，
1 1
当a≠2时，有：原式= = =−1，
1−a 1−2
1
即化简结果为： ，值为：﹣1．
1−a
【计算题组训练20】
题量： 6 道 建议时间： 10 分钟
55．（2023秋•南昌期末）计算：
（1）化简：（3t+1）2﹣（3t﹣1）（3t+1）；（2）化简：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
【分析】（1）先提取公因式，再去括号合并同类项；
（2）先算括号内的，再算除法．
【解答】解：（1）（3t+1）2﹣（3t﹣1）（3t+1）
＝（3t+1）（3t+1﹣3t+1）
＝（3t+1）×2
＝6t+2；
（2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
2 2
= xy− ．
3 3
56．（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形
式如下：
1 1
− +
×（ 2xy）＝3x2y﹣xy2 2xy
（1）求所捂的多项式；
2 1
（2）若x= ，y= ，求所捂多项式的值．
3 2
1 1
【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2+ xy）÷（− xy）计算即可．
2 2
2 1
（2）把x= ，y= 代入多项式求值即可．
3 2
【解答】解：（1）设多项式为A，
1 1
则A＝（3x2y﹣xy2+ xy）÷（− xy）＝﹣6x+2y﹣1．
2 2
2 1
（2）∵x= ，y= ，
3 2
2 1
∴原式＝﹣6× +2× −1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
3 2
57．（2023秋•桓台县期末）分解因式：
（1）﹣x2﹣4y2+4xy；
1
（2） +(x+1)(x+2)．
4【分析】（1）先提负号，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先展开，化简后，再由完全平方和公式因式分解即可得到答案．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4y2+4xy
＝﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣（x﹣2y）2；
1
（2） +(x+1)(x+2)
4
1
=x2+3x+2+
4
9
=x2+3x+
4
3 2
=(x+ ) ．
2
58．（2023秋•朝天区期末）解分式方程
3−x 1
（1） + =1
x−4 4−x
3 2 1
（2） − = ．
x−1 x+1 x2−1
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【解答】解：（1）去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
a+4 4
59．（2023秋•西安区校级期末）先化简，再求值： ÷( −a−2)，其中a＝（3﹣ ）0．
a2−4 a+2
π
【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再代入a值即可求解．
a+4 4
【解答】解： ÷( −a−2)
a2−4 a+2
a+4 4 (a+2)(a+2)
= ÷[ − ]
a2−4 a+2 a+2a+4 4−(a+2) 2
= ÷
(a+2)(a−2) a+2
a+4 −a(a+4)
= ÷
(a+2)(a−2) a+2
a+4 a+2
= ⋅
(a+2)(a−2) −a(a+4)
−1
= ，
a(a−2)
∵a＝（3﹣ ）0＝1，
π−1 −1
∴原式= = =1．
a(a−2) 1−2
60．（2024春•新昌县期末）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是多项式，请写出多项式
M，并将该例题的解答过程补充完整．
4 1
例 计算： + 并求当a＝﹣
M 2−a
3时原式的值．
4 1
解 原式= +
(a+2)(a−2) 2−a
…
4 1
【分析】通过观察已知条件所给的解答过程，求出M，再代入 + ，进行通分和约分，最后把a
M 2−a
＝﹣3代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：多项式M＝a2﹣4，
4 1
+
a2−4 2−a
4 1
= −
(a+2)(a−2) a−2
4 a+2
= −
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
4−a−2
=
(a+2)(a−2)
2−a
=
(a+2)(a−2)
1
=−
a+2当a＝﹣3时，
1
原式=−
−3+2
1
=−
−1
＝1．
